第二章一元二次方程用因式分解法求解一元二次方程

1課堂講解因式分解法的依據用因式分解法解方程用適當的方法解一元二次方程2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數是幾？你是怎樣求出來的？

小穎、小明、小亮都設這個數為x，根據題意，可得方程x2＝3x.但他們的解法各不相同．

由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.因此x＝，x1＝0，x2＝3.所以這個數是0或3.方程x2＝3x兩邊同時約去x，得x＝3.所以這個數是3.由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.因此x1＝0，x2＝3.所以這個數是0或3.如果a·b=0,那么a=0或b=0.1知識點因式分解法的依據我們知道，如果兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反之，如果兩個因式中任何一個為0，那么它們的積也等于0.

例1

解方程：10x－4.9x2＝0.解：方程的右邊為0，左邊可以因式分解,得x(10－4.9x)＝0.知1－講這個方程的左邊是兩個一次因式的乘積，右邊是0.所以x＝0，或10－4.9x＝0.②所以，方程的兩個根是x1＝0，x2＝≈2.04.知1－講知1－講總

結因式分解法的依據：

如果a·b=0,那么a=0或b=0．1我們解一元二次方程3x2－6x＝0時，可以運用因式分解法，將此方程化為3x(x－2)＝0，從而得到兩個一元一次方程3x＝0或x－2＝0，進而得到原方程的解為x1＝0，x2＝2.這種解法體現的數學思想是(

)A．轉化思想B．函數思想C．數形結合思想D．公理化思想知1－練（來自《典中點》）2用因式分解法解方程，下列過程正確的是(

)A．(2x－3)(3x－4)＝0化為2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1化為x＋3＝0或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化為x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0化為x＋2＝0知1－練（來自《典中點》）2知識點用因式分解法解方程知2－導（來自教材）他們做得對嗎？為什么？你是怎么做的？

議一議知2－講（來自《點撥》）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)整理方程，使其右邊為0；(2)將方程左邊分解為兩個一次式的乘積；(3)令每個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；(4)分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．

例2解下列方程：(1)5x2＝4x；(2)x(x－2)＝x－2.解：(1)原方程可變形為5x2－4x＝0，

x(5x－4)＝0.

x＝0，或5x－4＝0.∴x1＝0，x2＝(2)原方程可變形為

x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x－1)＝0.

x－2＝0，或x－1＝0.∴x1＝2，x2＝1.知2－講（來自教材）原來的一元二次函數轉化成了兩個一元一次方程.例3

解下列方程：

（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）

解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.

于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

知2－講知2－講（2）移項、合并同類項，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，知2－講（來自《點撥》）總

結采用因式分解法解一元二次方程的技巧為：

右化零，左分解，兩因式，各求解.2.用因式分解法解一元二次方程時，不能將“或”

寫成“且”，因為降次后兩個一元一次方程并

沒有同時成立，只要其中之一成立了就可以了1用因式分解法解下列方程：(1)(x+2)(x－4)＝0；(2)

4x(2x＋1)

＝3(2x＋1)

.已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，則該三角形的周長可以是(

)A．5B．7C．5或7D．10知2－練（來自《典中點》）2（來自教材）知2－練（來自《典中點》）3△ABC的三邊長都是方程x2－6x＋8＝0的解，則△ABC的周長是(

)A．10B．12C．6或10或12D．6或8或10或123知識點用適當的方法解一元二次方程知3－講1.解一元二次方程的方法：

直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法適合于所有一元二次方程，直接開方法適合于某些特殊方程.2．解一元二次方程的基本思路是：

將二次方程化為一次方程，即降次．知3－講3．解一元二次方程方法的選擇順序：

先特殊后一般，即先考慮直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法時，再用公式法；沒有特殊要求的，一般不用配方法．（來自點撥）例4用適當的方法解下列一元二次方程：(1)x2－2x－3＝0；(2)2x2－7x－6＝0；(3)(x－1)2－3(x－1)＝0.導引：方程(1)選擇配方法；方程(2)選擇公式法；

方程(3)選擇因式分解法．知3－講（來自點撥）知3－講解：(1)x2－2x－3＝0，移項，得x2－2x＝3，

配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.(2)2x2－7x－6＝0，

∵a＝2，b＝－7，c＝－6，∴Δ＝b2－4ac＝97>0，知3－講(3)(x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0，∴x－1＝0或x－4＝0，∴x1＝1，x2＝4.（來自點撥）知3－講（來自《點撥》）總

結在沒有規定方法的前提下解一元二次方程，首先考慮用因式分解法，其次考慮用公式法．對于系數較大時，一般不適宜用公式法，如果一次項系數是偶數，可選用配方法.1解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最適當的方法是(

)A．直接開平方法

B．配方法C．公式法

D．因式分解法知3－練（來自《典中點》）2已知下列方程，請把它們的序號填在相應最適當的解法后的橫線上．①2(x－1)2＝6；②(x－2)2＋x2＝4；③(x－2)(x－3)＝3；④x2－2x－1＝0；⑥x2－2x－99＝0.(1)直接開平方法：________；(2)配方法：____________；(3)公式法：____________；(4)因式分解法：________．知3－練（來自《典中點》）解一元二次方程方法的口訣方程沒有一次項，直接開方最理想；如果缺少常數項，因式分解沒商量；b，c相等都為0，等根是0不要忘；b，c同時不為0，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方．3.3垂徑定理

情景導入1等腰三角形是軸對稱圖形嗎？2如果將一等腰三角形沿底邊上的高對折，可以發現什么結論？3如果以這個等腰三角形的頂角頂點為圓心，腰長為半徑畫圓，得到的圖形是否是軸對稱圖形呢？新知講解小貼士1400多年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋（如圖）的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形高）為7.2m，求橋拱的半徑（精確到0.1m）.新知講解問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為P.你能發現圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒OABDPC·想一想·OABDCP已知：在☉O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD，垂足為P.求證：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.從而∠AOD=∠BOD.能不能用所學過的知識證明你的結論？結論垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.CD為⊙O的直徑CD⊥AB

題設CDABMO結論AM=BM

新知講解溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.·OABCDP∵CD是直徑，CD⊥AB，(條件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(結論)推導格式：練一練下列圖形，符合垂徑定理的條件嗎？EOABDCOBAEDEOCDABEABCDOEABDCOEOABC×××√√√想一想如圖，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M（1）圖是軸對稱圖形嗎?如果是其對稱軸是什么？（2）你能發現圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.CDABMO動手探究連接OA、OB，易證OM⊥AB，∠AOC=∠BOC∴AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒即直徑CD⊥AB，直徑CD平分AB所對的劣弧AB和優弧ADB⌒⌒CDABMO總結MCD垂徑定理推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。符號語言：在⊙O中，∵CD是直徑，AM=BM，且AB不是直徑，∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒歸納總結根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所對的優弧；（5）平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論.探究新知

我們現在解答本課開始的問題典例精析

例、如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.●

OCDEF┗典例精析解:連接OC.設這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.●

OCDEF┗典例精析

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm方法點撥在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：弓形中重要數量關系ABCDOhrdd+h=r

OABC·課堂練習