1．本章內容是高中函數的一個分支，涉及的公式很多，常與實際問題相結合，因此必須牢固掌握．2．“高端數據庫”是教師組織本章復習的方向指南，對“考綱考點解讀”要從考綱要求的層面上了解近年來考綱變化中的新問題，新動向，從而把握高考趨勢，對“高考趨勢交流”應從高考問題與相應的高考題型中把握本章的復習重點與主要題型．3．“高端數據庫”需要專門安排時間講解典型例題，在講解過程中教師需要滲透三角函數公式的應用，切實弄清本章知識在高考中的地位與作用，弄清楚有哪些題型、試題如何綜合有關知識點、第四章三角函數與解三角形第一頁第二頁，共60頁。難度如何、近年來有哪些與實際問題相結合的試題等等，必須引導學生認真領會其中的指導意義．第二頁第三頁，共60頁。考點考

綱

要

求考

點

解

讀角的概念任意角的概念、弧度制1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.考查角的概念、角的集合表示方式、角度與弧度的互化．注意理解經過擴充之后，“第一象限角”、“小于90°的角”與“銳角”的概念，等式180°＝π≈3.14的含義．高考一般對角的概念不獨立命題，而是作為基礎穿插在其他三角問題之中考查．第三頁第四頁，共60頁。三角函數的化簡與求值三角函數1．理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義．2．掌握

±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數的周期性．3．理解正弦函數、余弦函數在區間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數在區間

內的單調性．4．理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，

＝tanx.5．了解函數y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響．6．了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題.考查單位圓中的三角函數線，考查同角基本關系、誘導公式，考查基本函數的圖象與性質．利用同角基本關系式時，由角的范圍確定開方后的三角函數的正負．高考試題常以求值題形式考查公式應用，以函數值的比較考查基本函數，三角函數線、基本三角函數的圖象作為數形結合工具也應用于解題過程中，通常體現在解決函數y＝Asin(ωx＋φ)的相關問題中．一般以選擇、填空題的形式出現，難度為中檔偏容易題，預計2012年高考仍以小題目綜合化的方式命題.第四頁第五頁，共60頁。考點考

綱

要

求考

點

解

讀和與差的三角函數公式1．會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．2．能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式．3．能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系．簡單的三角恒等變換能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).考查公式的綜合應用，注意通過“角”的關系選擇相應的公式．高考試題常以綜合運用和差及倍角公式解決求值問題、函數的化簡問題．一般為選擇、填空題中的中檔題，解答題中的容易題．第五頁第六頁，共60頁。解三角形解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．2．應用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.考查應用正弦定理、余弦定理解決三角形中的邊角互化，以及利用方程思想解決求值的問題．高考試題通常以三角形為背影，融匯三角函數公式、三角函數圖象與性質、解三角形等知識，新課標增加了解三角形應用之后，近幾年高考中相應出現了三角函數的實際應用題．一般為中檔題．預計2012年高考仍以綜合化題目的方式命題.第六頁第七頁，共60頁。問題1三角函數中的求值問題，一般以選擇、填空題的形式出現，試題涉及三角函數公式的綜合運用．題(2010年·全國Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(

)【解析】∵cos(－80°)＝cos80°＝k>0，【答案】

B第七頁第八頁，共60頁。問題2三角函數圖象：基本函數圖象、圖象變換、由圖定參等問題，一般以選擇、填空題的形式出現，試題涉及正弦、余弦、正切函數圖象，y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)型函數圖象的變換以及給定圖象確定函數解析式．題1

(2010年·四川)將函數y＝sinx的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數解析式是(

)第八頁第九頁，共60頁。

【答案】

C題2

(2010年·重慶)已知函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則(

)第九頁第十頁，共60頁。第十頁第十一頁，共60頁。問題3三角函數性質：對稱性、周期性．三角函數性質的考查，一般以選擇、填空題的形式考查對稱性、周期性，以解答題的形式考查指定區間上的最值．題1

(2010年·陜西)對于函數f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是(

)(B)f(x)的圖象關于原點對稱．(C)f(x)的最小正周期為2π.(D)f(x)的最大值為2.【解析】

f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期為π的奇函數．第十一頁第十二頁，共60頁。【答案】

B題2

(2010年·江西)已知函數f(x)＝(1＋cotx)·sin2x＋msin【解析】

(1)當m＝0時，第十二頁第十三頁，共60頁。第十三頁第十四頁，共60頁。問題4解三角形，一般以選擇、填空題的形式考查正弦定理、余弦定理的直接應用，以解答題的形式綜合考查解三角形問題，涉及三角函數公式、三角形面積公式等．題(2010年·天津)在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A等于(

)(A)30°.

(B)60°.

(C)120°.

(D)150°.第十四頁第十五頁，共60頁。【解析】由sinC＝2sinB結合正弦定理得：c＝2b，所以由余弦定理得：所以A＝30°，選A.【答案】

A第十五頁第十六頁，共60頁。問題5三角函數與解三角形的綜合應用，一般以選擇、填空題的形式考查三角函數與其他函數的復合關系，以及與方程、不等式、幾何的綜合，以解答題的形式考查三角函數公式、三角函數圖象與性質、解三角形的綜合問題，以及實際問題．題1

(2010年·江西)E，F是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF等于(

)第十六頁第十七頁，共60頁。題2

(2010年·遼寧)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．第十七頁第十八頁，共60頁。【解析】

(1)由已知，根據正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，題3

(2010年·陜西)如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點．現位于A點北偏東45°，B點北偏西第十八頁第十九頁，共60頁。60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？【解析】由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，第十九頁第二十頁，共60頁。又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得第二十頁第二十一頁，共60頁。1．三角函數、同角三角函數與誘導公式是本章學習的基礎，也是高中數學的基礎知識與必考內容．教學中要注意把握“高考問題導航”中所提出的兩個高考問題，它們揭示了高考對本節知識的考查重點與方向，是本節復習的重點與主要題型．2．復習時要注意公式的正用、逆用與變形，掌握一些特殊的解題方法，如數形結合法，代入檢驗法、特殊值法、待定系數法、排除法等．§4.1三角函數、同角三角函數與誘導公式第二十一頁第二十二頁，共60頁。3．高考對本節的考查主要為客觀題，因此復習這部分內容時，對一些題目在熟悉常規解法的前提下，重在靈、巧上下工夫，做到少時省力，以適應考場需要．4．本節的關鍵是要理解幾種主要題型的解題模式，要多做一些練習，教師并不需要過多的講解，因此應該對本節所列例題有所選擇，不一定要全部講完．第二十二頁第二十三頁，共60頁。高考問題1：考查任意角的三角函數定義結合角的相關概念考查任意角的三角函數定義，涉及角度與弧度互化、半角、象限角以及根據定義求三角函數值，一般為選擇、填空題中的容易題．高考問題2：考查同角基本關系式與誘導公式運用考查同角基本關系式sin2x＋cos2x＝1，＝tanx及其簡單變形，和涉及±α，π±α的誘導公式運用，一般為選擇、填空題中的中等偏容易題．

第二十三頁第二十四頁，共60頁。1．任意角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．我們規定：按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角．如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它形成了一個零角．2．終邊相同的角、象限角與非象限角(1)如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非第二十四頁第二十五頁，共60頁。負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．要特別注意：如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為非象限角．(2)終邊相同的角是指與某個角α具有相同終邊的所有角，可以表示為β∈{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．3．弧度制(1)長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)．角有正、負、零角之分，它的弧度數也有正、負、零之分．第二十五頁第二十六頁，共60頁。第二十六頁第二十七頁，共60頁。(2)三角函數線設α的終邊與單位圓的交點為P，過P點作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1,0)作單位圓的切線(x軸的垂線)，設α的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段MP，OM，AT分別是叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．第二十七頁第二十八頁，共60頁。5．同角三角函數關系式6．誘導公式記憶口訣：“符號看象限，奇變偶不變”.－απ－απ＋α2π－α－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα第二十八頁第二十九頁，共60頁。1．(2010年·山西康杰中學模擬)已知x∈[0,2π]，且集合M＝{x|sinx＞}，N＝{x|cosx＜}，則M∩N等于(

)【答案】

D第二十九頁第三十頁，共60頁。2．(2010年·東北四市聯考)已知函數f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，設h(x)＝f(x)g(x)，則下列說法不正確的是(

)【解析】因為h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝sin(－x＋)·cos(－x－)＝cos(－x)·sin(－x)＝－sinx·cosx.第三十頁第三十一頁，共60頁。而h(x)＝f(x)·g(x)＝sin(x＋)·cos(x－)＝cosx·sinx.顯然?x∈R，h(－x)≠h(x)．【答案】

C3．(2010年·上海嘉定區模擬)如圖所示，角α的終邊與單位圓(圓心在原點，半徑為1的圓)交于第二象限的點A(cosα，)，則cosα－sinα＝________.第三十一頁第三十二頁，共60頁。4．(2010年·蘇南六校模擬)已知cosA＋sinA＝－，A為第二象限角，則tanA＝________.【解析】由(cosA＋sinA)2＝1＋2sinAcosA，第三十二頁第三十三頁，共60頁。第三十三頁第三十四頁，共60頁。例1已知扇形的周長為10，面積為4，則扇形的中心角為________(弧度制)．【指點迷津】直接利用周長、面積公式可求出弧長和半徑，從而求出中心角．第三十四頁第三十五頁，共60頁。【點評】在弧度制下計算扇形面積和弧長比在角度制下更簡便．從扇形面積出發，在弧度制下，轉為關于r、l或α的方程、不等式、函數關系，再確定相應值．能力訓練1若θ角的終邊與168°角的終邊相同，求在[0°，360°)內終邊與角的終邊相同的角是________．【解析】∵θ＝k·360°＋168°，∴＝k·120°＋56°(k∈Z)，第三十五頁第三十六頁，共60頁。令0°≤k·120°＋56°<360°，當k＝0,1,2時所求角為56°，176°，296°.【答案】

56°，176°，296°(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2(－x)＋sin(π＋x)＋cos2(2π－x)的值．【指點迷津】已知sinx＋cosx的值可以通過平方求出sinx－cosx的值，再解方程組求出sinx，cosx，tanx的值，代入第二問即可．第三十六頁第三十七頁，共60頁。第三十七頁第三十八頁，共60頁。解出sinx，cosx即可(過程略)．【點評】在三角函數式的求值問題中，若已知其中一個式子的值可以求出其余兩個式子的值，繼而解決有關的問題，注意解題時要看清角度的范圍，準確判斷式子的符號．能力訓練2已知第三十八頁第三十九頁，共60頁。(1)化簡f(α)；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．第三十九頁第四十頁，共60頁。(3)∵α＝－1860°＝－6×360°＋300°，∴f(α)＝f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(1860°)第四十頁第四十一頁，共60頁。1．應用誘導公式，重點是“函數名稱”與“正負號”的正確判斷．求任意角的三角函數值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數的求值問題，具體步驟為“負角化正角”→“正角化小角”→“小角化銳角”→“求值”．2．角α與角的聯系第四十一頁第四十二頁，共60頁。如果用α1、α2、α3、α4表示第一、二、三、四象限角，則

分布如圖所示，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖解有關此類型的題就方便多了．3．求值題型：已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個求其他兩個，這里應特別注意開方運算時正、負號的選取，應根據題設條件是否指明所在的象限，確定最后結果是一組解還是兩組解．4．在計算、化簡或證明三角函數時常用的技巧有：(1)“1”的代換：為了解題的需要有時可以將“1”用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦：利用商數關系把正切化為正弦和余弦．(3)涉及sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα的問題常采用平方法求解(給一求二)．第四十二頁第四十三頁，共60頁。(4)涉及sinα，cosα的齊次分式(如)的問題常采用分子分母同時除以cosα或cos2α將弦化成切進行求解．第四十三頁第四十四頁，共60頁。例1已知α＝.(1)寫出所有與α終邊相同的角；(2)寫出在區間(－4π，2π)內與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則是第幾象限的角？【解析】

(1)所有與α終邊相同的角可表示為{θ|θ＝2kπ＋(k∈Z)}．(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，則有第四十四頁第四十五頁，共60頁。例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．第四十五頁第四十六頁，共60頁。第四十六頁第四十七頁，共60頁。第四十七頁第四十八頁，共60頁。第四十八頁第四十九頁，共60頁。1．(2010年·廣州高三訓練)如果角2α的終邊在x軸上方，那么α的范圍是(

)(A)第一象限角的集合．(B)第一或第二象限角的集合．(C)第一或第三象限角的集合．(D)第一或第四象限角的集合．【解析】∵2kπ<2α<π＋2kπ，∴kπ<α<＋kπ.當k＝2m(m∈Z)時，α為第一象限角；基礎過關第四十九頁第五十頁，共60頁。當k＝2m＋1(m∈Z)時，α為第三象限角．【答案】

C第五十頁第五十一頁，共60頁。3．(2010年·廣東廣州模擬)已知扇形的半徑為10