第16課二元一次方程（組）的相關概念目標導航目標導航課程標準1.理解二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的含義；2.會檢驗一組數是不是某個二元一次方程（組）的解.知識精講知識點01二元一次方程知識精講含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1．像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.知識點02二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的一組解．注意：(1)二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來如：(2)一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．（3）在一直二元一次方程的解，可將這組解代入方程；知識點03二元一次方程組把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.注意：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數.例如也是二元一次方程組.知識點04二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.注意：（1）二元一次方程組的解是一組數對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個．能力拓展能力拓展考法01二元一次方程【典例1】已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是關于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【分析】根據二元一次方程的定義作答．【答案與解析】解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是關于x、y的二元一次方程，∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程為2y=2，不合題意，舍去，則m=0，n=2．【點睛】二元一次方程和二元一次方程組中系數的求解，要同時考慮兩個未知數的系數與次數，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個未知數，含未知數的項的次數是一次且方程左右兩邊都是整式這三個條件．【即學即練】已知方程是二元一次方程，則m=，n=.【答案】-2，【即學即練】方程，當時，它是一元一次方程．【答案】；考法02二元一次方程的解【典例2】已知SKIPIF1<0是方程2x﹣6my+8=0的一組解，求m的值．【分析】把方程的解代入方程可得到關于m的方程，可求得m的值．【答案與解析】解：∵SKIPIF1<0是方程2x﹣6my+8=0的一組解，∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【點睛】本題主要考查二元一次方程解的定義，掌握方程的解滿足方程是解題的關鍵．【即學即練】已知方程2x-y+m-3=0的一個解是，求m的值.【答案】解：將代入方程2x-y+m-3=0得，解得.答：m的值為3.【典例3】寫出二元一次方程的所有正整數解.【分析】可以把二元一次方程中的一個未知數看成已知數，先解關于另一個未知數的一元一次方程，當兩個未知數的取值均為正整數才是方程的解，寫時注意按一定規律寫，做到不重、不漏.【答案與解析】解：由原方程得，因為都是正整數，所以當時，.所以方程的所有正整數解為：，，，.【點睛】對題意理解，要注意兩點：①要正確；②不重、不漏.兩個未知數的取值均為正整數才是符合題意的解.【即學即練】已知SKIPIF1<0是關于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．【答案】解：把SKIPIF1<0代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：2a+3（2a﹣3）=7，解得：a=2．【即學即練】在方程中，若分別取2、、0、－1、－4，求相應的的值.【答案】將變形得.把已知值依次代入方程的右邊，計算相應值，如下表：20－1－4－226考法03二元一次方程組及解【典例4】甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為．乙看錯了方程②中的b．得到方程組的解為．試計算：的值．【分析】把x、y的值代入正確的方程，就可以求出字母的值．【答案與解析】解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，所以．【點睛】一組數是方程的解，那么它一定滿足這個方程，利用方程解的定義可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的學習中要會靈活運用它．【即學即練】已知關于的二元一次方程組，求．【答案】解：將代入原方程組得：，解得，所以．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．有下列方程組：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中二元一次方程組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】略2．已知SKIPIF1<0是二元一次方程，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】【分析】根據二元一次方程的定義，即含有兩個未知數，且未知數的次數均為1，即可求解．【詳解】解：∵SKIPIF1<0是二元一次方程，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故選：C【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握含有兩個未知數，且未知數的次數均為1．3．若關于x，y的方程SKIPIF1<0是二元一次方程，則m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根據二元一次方程的定義得出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，再求出答案即可．【詳解】解：∵關于x，y的方程SKIPIF1<0是二元一次方程，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得：m=1，故選C．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，能熟記二元一次方程的定義是解此題的關鍵．4．已知x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一組解，則a的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】【分析】把x=2，y=﹣1代入方程ax+y=3中，得到2a-1=3，解方程即可．【詳解】∵x=2，y=﹣1是方程ax+y=3的一組解，∴2a-1=3，解得a=2，故選A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解即使方程兩邊相等的一組未知數的值，一元一次方程的解法，正確理解定義，規范解一元一次方程是解題的關鍵．5．下列各組數值是二元一次方程2x﹣y＝5的解是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】將選項中的解分別代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即為所求．【詳解】解：A.把SKIPIF1<0代入方程2x﹣y＝5，-4-1=-5≠5，不滿足題意；B.把SKIPIF1<0代入方程2x﹣y＝5，0-5=-5≠5，不滿足題意；C.把SKIPIF1<0代入方程2x﹣y＝5，2-5=-3≠5，不滿足題意；D.把SKIPIF1<0代入方程2x﹣y＝5，6-1=5，滿足題意；故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．能正確掌握方程的解得概念是解答此題的關鍵．6．方程x+y＝6的正整數解有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．無數個【答案】A【解析】【分析】根據題意求二元一次方程的特殊解，根據解為正整數，分別令SKIPIF1<0進而求得對應SKIPIF1<0的值即可【詳解】解：方程的正整數解有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共5個，故選：A．【點睛】本題考查了求二元一次方程的特殊解，理解解為正整數是解題的關鍵．7．已知SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的解，則SKIPIF1<0的值為（）A．3 B．-3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】知道了方程的解，可以把這對數值代入方程，得到一個含有未知數m的一元一次方程，從而可以求出m的值．【詳解】解：把SKIPIF1<0代入二元一次方程5x+my-1=0，得10-3m-1=0，解得m=3．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．8．已知方程組SKIPIF1<0是關于x，y的二元一次方程組，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】二元一次方程組：由兩個整式方程組成，兩個方程一共含有兩個未知數，且含未知數的項的最高次數是SKIPIF1<0，這樣的方程組是二元一次方程組，根據定義列方程或不等式，從而可得答案.【詳解】解：SKIPIF1<0方程組SKIPIF1<0是關于x，y的二元一次方程組，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<0【點睛】本題考查的是二元一次方程組的定義，掌握二元一次方程組的定義是解題的關鍵.9．已知關于x，y的二元一次方程組SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B【解析】【分析】將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可求出a與b的值；【詳解】解：將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴a+b=2；故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程組的解；熟練掌握方程組與方程組的解之間的關系是解題的關鍵．題組B能力提升練10．在（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0這三組數值中，_______是方程x-3y=9的解，______是方程2x+y=4的解，_________是方程組SKIPIF1<0的解．【答案】（1），（2）（1），（3）（1）【解析】【分析】根據二元一次方程解的定義：使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數的值，分別將三組數值代入兩個方程中求出各自的解，即可得到方程組的解．【詳解】解：當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊相等，∴SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊相等，∴SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊不相等，∴SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊相等，∴SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊不相等，∴SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0的左邊為：SKIPIF1<0，方程左右兩邊相等，∴SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的解；∴方程組SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0；故答案為：①（1），（2）；②（1），（3）；③（1）．【點睛】本題主要考查了二元一次方程和二元一次方程組的解，數值二元一次方程解得定義是解題的關鍵．11．若SKIPIF1<0是二元一次方程SKIPIF1<0的解，則SKIPIF1<0______．【答案】-1【解析】【分析】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可求出a的值．【詳解】把SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做二元一次方程的解．12．若x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，則a﹣b＝__．【答案】3【解析】【分析】先根據二元一次方程的定義求出a、b的值，然后代入a﹣b計算即可．【詳解】解：∵x2a﹣3+yb+2＝3是二元一次方程，∴2a﹣3＝1，b+2＝1，∴a＝2，b＝﹣1，則a﹣b＝2﹣(﹣1)＝2+1＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解答本題的關鍵．方程的兩邊都是整式，含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1次的方程叫做二元一次方程．13．已知5xm﹣2﹣SKIPIF1<0y2n+5＝0是關于x、y的二元一次方程，則m﹣n＝___．【答案】5【解析】【分析】根據二元一次方程的定義（如果一個方程含有兩個未知數，并且所含未知項的次數都為1次，那么這個整式方程就叫做二元一次方程）列出方程求解可得SKIPIF1<0，nSKIPIF1<0﹣2，然后代入代數式求值即可得．【詳解】解：由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：5．【點睛】題目主要考查二元一次方程的定義及求代數式的值，深刻理解二元一次方程的定義是解題關鍵．14．已知SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的一組解，則SKIPIF1<0=______．【答案】1【解析】【分析】把SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，再變形，最后代入求出即可．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一組解，SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案是：1．【點睛】本題考查了二元一次方程的解和求代數式的值，解題的關鍵是能夠整體代入求值．15．若方程SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二元一次方程，則SKIPIF1<0_______．【答案】-1【解析】【分析】根據二元一次方程定義：一個含有兩個未知數，并且未知數的都指數是1的整式方程，叫二元一次方程，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值即可得出答案．【詳解】解：SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二元一次方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了二元一次方程的概念以及有理數的乘方運算，根據二元一次方程的概念得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值是解本題的關鍵．16．已知方程組SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0，則方程組SKIPIF1<0的解是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】【詳解】試題分析：根據題意，把方程組的解SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，把①和②分別乘以5可得SKIPIF1<0，和所求方程組SKIPIF1<0比較，可知SKIPIF1<0，因此方程組的解為SKIPIF1<0.17．已知SKIPIF1<0是關于x，y的二元一次方程組SKIPIF1<0的一組解，則a+b=_____．【答案】5【解析】【分析】根據方程組解的定義，把問題轉化為關于a、b的方程組，求出a、b即可解決問題；【詳解】∵SKIPIF1<0是關于x，y的二元一次方程組SKIPIF1<0的一組解，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴a+b=5，故答案為5．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，理解題意，用轉化的思想解答是解題的關鍵.18．小亮解方程組SKIPIF1<0的解為SKIPIF1<0，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數●和★，則兩個數●和★的值為__________．【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【解析】【分析】把x=5代入方程組中第二個方程求出y的值，即為“★”表示的數，再將x與y的值代入第一個方程求出“●”表示的數即可．【詳解】解：把x=5代入2x-y=12中，得：y=-2，把x=5，y=-2代入得：2x+y=10-2=8，則“●”“★”表示的數分別為8，-2．故答案為：8，-2．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，能使方程組中每個方程的左右兩邊相等的未知數的值即是方程組的解．解題的關鍵是要知道兩個方程組之間解的關系．題組C培優拔尖練19．已知關于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.(1)當m為何值時，它是一元一次方程？(2)當m為何值時．它是二元一次方程？【答案】(1)當m＝－2時，它是一元一次方程；(2)當m＝2時，它是二元一次方程．【解析】【分析】(1)根據一元一次方程的定義，得到m2－4＝0且m＋2＝0或m2－4＝0且m＋1＝0；(2)根據二元一次方程的定義，得到m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0.【詳解】(1)依題意，得①m2－4＝0且m＋2＝0，解得m＝－2，②m2－4＝0且m＋1＝0，無解，即當m＝－2時，它是一元一次方程；(2)依題意，得m2－4＝0且m＋2≠0，m＋1≠0，解得m＝2，即當m＝2時，它是二元一次方程．【點睛】此題主要考查二元一次方程的定義，熟知一元一次方程與二元一次方程的定義是解題的關鍵.20．已知關于x，y的二元一次方程組SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0求m＋n的值．【答案】m＋n＝1.【解析】【分析】先把SKIPIF1<0代入二元一次方程組SKIPIF1<0中可得:SKIPIF1<0,從而解得:SKIPIF1<0,最后代入計算即可.【詳解】解：∵SKIPIF1<0是二元一次方程組SKIPIF1<0的解,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0∴m＋n＝1.【點睛】本題主要考查二元一次方程組的定義和解方程組,解決本題的關鍵是要理解二元一次方程組的解.21．已知方程2x-y+m-3=0的一個解是SKIPIF1<0，求m的值．【答案】3【解析】【分析】將SKIPIF1<0代入方程2x-y+m-3=0中進行求解即可得．【詳解】解：將SKIPIF1<0代入方程2x-y+m-3=0得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，則m的值為3．【點睛】本題考查了二元一次方程，解題的關鍵是將方程的解代入到方程中去．22．（1）若等式SKIPIF1<0的x，y滿足方程組SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的值．（2）求二元一次方程SKIPIF1<0的正整數解．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）先利用非負性的性質求出x、y的值，從而求出m、n的值，然后代值計算即可；（2）先根據題意得到SKIPIF1<0，再由x、y都是正整數，即可得到SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，從而得到答案．【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0