基于神經網絡的串級控制方法研究

0自適應神經網絡控制方案嚴格的反饋系統具有下三個結構。由于不滿足匹配條件，它一直是研究的困難和熱點。Backstepping設計方法(反步設計法)可以處理非匹配不確定性問題,是對上述研究的一種突破。文獻詳細地闡述了嚴格反饋型非線性系統的Backstepping方案。對具有參數不確定性的非線性系統,文獻提出了基于Backstepping技術的自適應控制方法。對于同時存在結構不確定性和參數不確定性的系統,文獻利用基于Backstepping的技術提出一個自適應神經網絡控制方案。文獻通過定義積分型的Layapunov函數,解決了神經網絡控制器的奇異問題,但是由于積分型的Layapunov函數的引入,使得控制器非常復雜。文獻提出了直接神經網絡控制方法,解決了奇異問題,同時也簡化了控制器的設計。針對多輸入多輸出的嚴反饋非線性系統,由于難度較大,取得的成果相對較少,現有的控制方案包括基于Backstepping技術的魯棒控制方法和神經網絡控制方法。對于嚴反饋非線性系統的控制問題,盡管從理論上已經取得了很多研究成果,但是現有的控制器常常結構比較復雜,工程實踐困難。而對于這樣一類特殊的非線性系統,工業中常采用的方法是串級控制。大部分的串級控制選擇PID控制器作為主副回路,由于其結構簡單,在工業中已經得到了廣泛的應用,如蒸餾塔、氨汽提塔、四氟乙烯生產系統以及原油污水處理系統等等。盡管基于PID控制器的串級控制已經取得成功應用,但是當系統存在較強非線性時控制效果差,并且不能嚴格保證系統的穩定性。針對上述問題,文獻綜合了基于Backstepping的非線性控制方法控制精度高以及串級控制結構簡單的優勢,提出了一種非線性自適應控制方法。但是,文獻只針對單輸入單輸出系統。本文受到文獻的啟發,針對結構和參數未知的多輸入多輸出嚴反饋非線性系統,研究一種基于Backstepping的串級控制方法,采用神經網絡逼近結構和參數未知的非線性系統,并分析本文所提方法的穩定性和收斂性,最后將本文所提方法進行了數字仿真實驗,并在機械手系統上進行物理實驗。1準備知識和問題描述1.1bf神經網絡RBF神經網絡是一種前饋式神經網絡,不失一般性,隱層基函數采用高斯函數,文中RBF神經網絡用于逼近函數,式中:輸入變量;權重矢量W∈Rb×l;神經網絡節點數l>1;為基函數,數學描述為文獻已經證明RBF神經網絡可以以任意精度逼近緊集內的連續函數,即式中:W*T是理想的常量權重,ε是神經網絡建模誤差。定義如下理想權重矢量W*:1.2系統的控制輸入一類嚴反饋多輸入多輸出非線性系統結構形式為式中:向量xi∈Rm表示第i個子系統的狀態,ue0afi=[x1T,x2T,…,xiT]T,x=ue0afn表示整個系統的狀態,u∈Rm表示系統的控制輸入向量,y∈Rm是系統的輸出,Fi(ue0afi)是由連續函數組成的m維向量,Gi(ue0afi)是由連續函數組成的m×m維矩陣。對系統(3)有以下假設:假設1:Gi(ue0afi)為在緊集Ω內正定或負定,。不失一般性,假設為正定。假設2:Gi(ue0afi)對于所有的ue0afi是滿秩的。假設3:‖dGi-1(ue0afi)/dt‖有界,。控制目標:針對一類結構和參數未知的嚴反饋多輸入多輸出非線性系統(3),設計穩定的控制器,使系統(3)的輸出y=x1跟蹤有界的給定信號xd1,整個閉環系統是半全局一致最終有界的。2神經網絡期望控制輸入在本節中詳細分析一類嚴反饋非線性系統(3)的串級控制器設計過程,采用Backstepping設計步驟,第1步設計過程將詳細描述,其他步驟的設計過程類似,具體的設計過程如下。將x2看作為虛擬的控制輸入,即選擇α1*=x2作為z1-子系統的控制輸入。選擇Lyapunov函數為,對其求導可得因此可以根據式(5)設計一個期望的虛擬輸入為式中:c1>0是設計參數,將式(6)代入到式(5)可以得到。因此z1=0是漸近穩定的。因為函數F1(x1)和G1(x1)是未知的,因此實際上期望的虛擬輸入α1*并不能實現。由式(6)可以看到,期望的虛擬輸入α1*中的未知部分是由x1和構成的連續函數。定義式中,Z1=[x1T,xTd1]T。采用RBF神經網絡來估計未知函數h1(Z1),α1*可以表示為式中:W1*表示理想的由常數組成的矩陣;‖ε1‖≤ε1*為逼近誤差,ε1*>0為常數。因為理想權重矩陣W1*是未知的,定義為矩陣的W1*的估計,φ1[Z1]為基函數。x2僅僅是z1-子系統期望的虛擬控制輸入,并不是實際的虛擬控制輸入。引入誤差變量z2=x2-α1,并且設計虛擬控制輸入為設計神經網絡的權重調節律為式中:Γ1,σ1>0為小的常數。因此根據式(4)~式(10),可以得到子系統z1的閉環方程為第i步(3≤i≤n-1):對zi=xi-αi-1求導得將xi+1看作是子系統(z1,…,zi)虛擬的控制輸入,設計期望的虛擬控制輸入αi*=xi+1為式中,ci>0是設計參數。采用RBF神經網絡WiTφi(Zi)來估計未知函數,αi*可以表示為式中:Wi*表示理想的由常數組成的矩陣;‖εi‖≤εi*為逼近誤差,εi*>0為常數;定義為矩陣的Wi*的估計;φi[Zi]為基函數。xi+1僅僅是(z1,…,zi)-系統期望的虛擬控制輸入,并不是實際的虛擬控制輸入。引入誤差變量zi+1=xi+1-αi,并且設計虛擬控制輸入為式中,Zi=[x1T,…,xiT,xTd1,α1T,…,αiT-1]T。設計神經網絡權重的調節律為式中:Γi,σi>0是小的常數。因此根據式(12)~式(14),可以得到子系統zi的閉環方程第n步:這是控制器設計的最后一步,在這一步中將得到最終的控制輸入。對zn=xn-αn-1求導可以得到設計期望的控制輸入為因為Fn(ue0afn)和Gn(ue0afn)是未知的。因此期望的控制輸入u*實際上不能實現。由式(18)可以看到,控制輸入u*中的未知部分也是由連續函數組成,定義采用RBF神經網絡估計函數hn(Zn),期望的控制輸入u*可以表示為式中,cn>0是設計參數,Wn*為神經網絡的理想權重,‖εn‖≤εn*為神經網絡的逼近誤差,εn*>0為常數。定義W^n為Wn*的估計,φn[Zn]為基函數。設計控制輸入為設計神經網絡的權重調節律為式中,Γn,σn>0為一個小的常數。最后根據式(17)~式(21),可得到子系統zn的閉環方程為注:從控制器式(9)、式(14)以及式(21)的結構可以看到,每個子控制器為比例控制器和神經網絡補償器的結構,只與本回路的誤差有關系,而現有的文獻如中的方法,還與其他回路的誤差有關系,因此與現有的嚴反饋非線性系統理論方法相比,該方法具有串級結構,這樣在控制器投入使用時可以分級進行調試。3閉環系統穩定性的證明由于神經網絡理想權重Wi*是由常數組成的矩陣,且,因此可以得到。由式(10)、式(11)、式(15)、式(16)、式(22)和式(23),可以得到系統的閉環方程為式中,2≤i≤n-1。定理1針對非線性系統(3),設計控制器為式(9)、式(14)和式(21),采用相應的神經網絡權重調節律式(10)、式(15)和式(22),那么:1)閉環系統式(24)是半全局一致最終有界的;2)系統所有信號都是有界的。證明從閉環系統方程式(24)可以看到,整個閉環系統是一個級聯系統,即子系統Σi受到下一級子系統Σi+1的狀態zi+1的驅動,其中i=1,2,…,n-1。因此可以利用閉環系統這一特點,采用遞歸的方法證明整個系統的穩定性,具體的證明步驟如下。令cn=cn0+cn1,并且cn0和cn1>0。于是式(25)可以變為由于緊集Ω可以任意大,因此由式(29)可以得到子系統Σn是半全局一致最終有界的,因此zn是有界的。第2步到第n步:重復第1步的證明過程,可以得到子系統Σn-2到Σ1也是半全局一致最終有界的。綜上可以得到整個系統(24)是半全局一致最終有界的。因為z1=x1-xd1和xd1是有界的,可以得到x1也是有界的。由zi=xi-αi,i=2,…,n和虛擬輸入定義(9)和(16),可以得到xi,i=2,…,n都是有界的。根據式(21),可以得到實際的控制輸入u是有界的,因此系統所有的信號都是有界的。4神經網絡仿真實驗為了驗證本文控制方法的有效性和可實現性,在本節中進行仿真實驗驗證,考慮文獻中的兩輸入兩輸出嚴反饋非線性系統:實驗的控制目標是使系統輸出跟蹤給定參考軌跡yd=xd1=[0.5sint,0.5cost]T。控制器參數設計為:c1=2,c2=2,外環神經網絡輸入變量個數為4,輸出變量個數為2,神經網絡隱層單元數為11,高斯函數中心點平均分布,高斯函數寬度為4,神經網絡的初始權重均為零,Γ1=2,σ1=0.2。內環神經網絡輸入變量個數為8,輸出變量個數為2,神經網絡隱層單元數為11,高斯函數中心點平均分布,高斯函數寬度為4,神經網絡的初始權重均為零,Γ2=4,σ2=0.4。圖1和圖2為系統的跟蹤性能曲線,從圖中可以看到系統實際軌跡和參考軌跡基本重合。圖3為本文控制方法的跟蹤誤差曲線e1,定義e1=yd-y。圖4和圖5分別為本文控制器總輸出(u1和u2)和神經網絡部分的輸出(un1和un2)。為了說明神經網絡的作用,在不采用神經網絡時,也進行了仿真實驗,系統地跟蹤誤差如圖6所示。經過對仿真曲線的分析,可以看到:1)對圖4和圖5進行比較可以看出,神經網絡分量un1和un2在控制器輸出u1和u2中起主導作用,而PID控制器只是在初始階段神經網絡還未得到充分訓練時,起到關鍵的穩定系統作用,當神經網絡訓練完成后,PID控制器則起到輔助的控制作用。2)對比圖3和圖6的跟蹤誤差曲線,可以看到,采用神經網絡時,系統的跟蹤誤差明顯更小。5參考軌跡和實際軌跡為了進一步驗證,將所研究方法應用于機械手系統。所采用的實驗對象為ZEBRAZERO六自由度機械手(如圖7所示),控制系統為dSPACE系統,關于該機械手系統的詳細介紹見文獻[16-17]。只考慮機械手終端夾手的位置控制問題,在笛卡爾空間的位置可以表示為X=[x,y,z]T。參考軌跡Xd(t)使以機械手終端夾手跟蹤笛卡兒空間內半徑為0.1m的圓形曲線,角速度為3rad/s。經過參數化過程,計算得到參考軌跡為根據機械手運動學的運動學關系和機械手的動力學關系,得到式中:X∈Rm為機械手夾手在笛卡兒空間的位姿(位置和方向);J(q)∈Rm×n為雅可比矩陣;q∈Rn為關節位置矢量;為關節速度矢量;u∈Rn為輸入轉矩矢量;M(q)∈Rn×n為對稱正定機械手慣量矩陣;為向心力矩和哥氏力矩矢量;G(q)∈Rn為重力矩矢量。機械手的任務一般在笛卡兒空間內給定,大部分機械手控制方法需要離線求解逆運動學方程,將機械手的任務分解到機械手各關節電機,然后進行底層的閉環控制。然而對于機械手的任務來說,這實際上是開環控制,使得機械手各關節的協調能力變差。而應用本文所提方法可以實現機械手末端的閉環控制。考慮運動學模型式(30)和動力學模型式(31)的機械手系統模型屬于本文所研究的嚴反饋非線性系統。因此可以應用本文所提方法進行控制器設計。針對運動學關系模型式(30)設計外環運動學控制策略控制器,為內環提供速度給定信號,針對機械手的動力學模型式(31)設計內環速度跟蹤控制器。采用本文方法實現了機械手終端的閉環控制。詳細的設計過程可參考文獻。機械手各關節參考軌跡和實際軌跡如圖8所示,而笛卡兒空間控制器的控制誤差曲線如圖9所示。為了說明本文方法的優勢與文獻中的關節空間控制方法進行比較。文獻中方法的跟蹤誤差曲線如圖10所示。對比圖9和圖10,可以看到本文方法實現了機械手末端的閉環控制,與現有的關節空間控制方法相比,有明顯的優勢。6實驗結果和數據分析以一類嚴反饋多輸入多輸出非線性系統為研究對象,提出了一種基于神經網絡的串級控制方法,同時采用Backstepping的設計步驟來設計控制器。本文的控制方法解決了以下問題:1)控制方法具有串級結構,這樣在控制器投入使用時可以分級進行調試,改善了傳統嚴反饋控制方法的工業應用問題;2)控制方法采用非線性的設計工具,提高了傳統串級的控制性能;同時還可以保證系統的穩定性,并且證明系統穩定性時,可以采用遞歸的方法完成,不需要像已有的方法那樣,需要寫出整個