本文格式為Word版，下載可任意編輯——構(gòu)造輔助函數(shù)總結(jié)(4篇)當(dāng)工作或?qū)W習(xí)進行到一定階段或告一段落時，需要回過頭來對所做的工作認真地分析研究一下，確定成績，找出問題，歸納出經(jīng)驗教訓(xùn)，提高認識，明確方向，以便進一步做好工作，并把這些用文字表述出來，就叫做總結(jié)。相信大量人會覺得總結(jié)很難寫？以下是我精心整理的總結(jié)范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

構(gòu)造輔助函數(shù)總結(jié)篇一

說白了，就是將所證明的表達式進行積分還原，假使能夠還原成功，那么成功找到的這個f(x)就是我們苦苦尋覓的輔助函數(shù)。

還不懂？沒事，舉兩個例子。

例1：設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且\[g(x)\ne0\]，證明：在（a,b）存在\[\xi\]，使得\[\frac{{f\left(\xi\right)-f\left(a\right)}}{{g\left(b\right)-g\left(\xi\right)}}=\frac{{f\left(\xi\right)}}{{g\left(\xi\right)}}\]。

解析：這是十分常見的一道題。估計即使做過了這道題，還有好多同學(xué)很迷惑，解答中的輔助函數(shù)終究是咋構(gòu)建出來的。其實利用原函數(shù)法，很簡單就找到這個輔助函數(shù)了。

首先先所證明的分式整理成易觀的式子，如下：

\[f(\xi)=g(\xi)f(\xi)+f(\xi)g(\xi)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)\]

然后我們令：

\[f(\xi)=g(\xi)f(\xi)+f(\xi)g(\xi)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)\]

好，對上式兩邊進行積分，如下：

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f(\xi)=\int{g(\xi)f(\xi)+f(\xi)g(\xi)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)d\xi}}\\{=\int{f\left(\xi\right)dg(\xi)}+\int{g(\xi)d}f\left(\xi\right)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)}\\{=f(\xi)g(\xi)-\int{g\left(\xi\right)}df\left(\xi\right)+\int{g(\xi)d}f\left(\xi\right)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)}\\{=f(\xi)g(\xi)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)}\end{array}\]

所以我們要尋覓的輔助函數(shù)就為：

\[f(x)=f(x)g(x)-f(a)g(x)-g(b)f(x)\]

很簡單驗證：

\[f(a)=f(b)=-f(a)g(b)\]

于是根據(jù)羅爾定理，在(a,b)上存在一點\[\xi\]，使得\[f\left(\xi\right)=0\]，也就是：

\[g(\xi)f(\xi)+f(\xi)g(\xi)-f(a)g(\xi)-g(b)f(\xi)=0\]

整理便可得題目中的式子，因此原題得證。

注：原函數(shù)法特別適合所證式子中包含f(x)和g(x)兩個函數(shù)的狀況。

解析：教材上給出了一種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法。其實我們利用原函數(shù)法完全可以找到另一種輔助函數(shù)。

分析式子\[\frac{{f(b)-f(a)}}{{b-a}}=f(\xi)\]，整理為\[f(\xi)-\frac{{f(b)-f(a)}}{{b-a}}=0\]，兩邊同時積分，得到\[f(\xi)=f(\xi)-\frac{{f(b)-f(a)}}{{b-a}}\xi=0\]。因此\[f(x)=f(x)-\frac{{f(b)-f(a)}}{{b-a}}x\]就是我們要找的輔助函數(shù)。是不是跟教材上的那個不太一樣啊。沒關(guān)系，我們來驗證下。

十分簡單驗證：

\[f(a)=f(b)=\frac{{bf(a)-af(b)}}{{b-a}}\]

因此滿足羅爾定理，拉格朗日得證。

構(gòu)造輔助函數(shù)總結(jié)篇二

上面兩種方法不是萬能，有時候總有更繁雜的輔助函數(shù)構(gòu)造起來很麻煩。根據(jù)經(jīng)驗，筆者之前整理了一個羅爾定理常用的輔助函數(shù)表格。現(xiàn)在再放一下，如下：

怎么用呢？還是用一道例題來說明。

例4：f(x)與g(x)在(a,b)上可導(dǎo)，且有f(a)=f(b)=0，試證明在(a,b)上存在一點\[\xi\]，使得\[f\left(\xi\right)+f\left(\xi\right)g\left(\xi\right)=0\]

解析：首先微分方程法行不通，由于包含了f(x)和g(x)兩個函數(shù)，沒學(xué)過這樣的微分方程如何求。再看看用原函數(shù)法呢？如下：

\[\begin{array}{l}\int{f\left(\xi\right)+f\left(\xi\right)g\left(\xi\right)d\xi}\\=f\left(\xi\right)+\int{f\left(\xi\right)}dg\left(\xi\right)\end{array}\]

也積不出什么函數(shù)出來。

這個時候我們可以使用上面的表格（其實表格不必死記硬背，經(jīng)常看看有個印象就行）。我們對照下所證表達式，是不是跟第四行的原式那一列十分相像，從而所構(gòu)造的輔助函數(shù)就為f(x)=f(x)*e^g(x)。

因此，我們構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x)*e^g(x)，根據(jù)題目易得f(a)=f(b)=0，那么根據(jù)羅爾定理就有在(a,b)上存在一點\[\xi\]使得\[f\left(\xi\right)=0\]，即\[f\left(\xi\right){e^{g\left(\xi\right)}}+f\left(\xi\right){e^{g\left(\xi\right)}}g\left(\xi\right)=0\]，我們約去\[{e^{g\left(\xi\right)}}\]，就得到\[f\left(\xi\right)+f\left(\xi\right)g\left(\xi\right)=0\]，題目得證。

=======================

特別說明：具體題目使用哪一種方法呢？沒有特別規(guī)定的情景，說不定一道題三種方法都行得通。但是這三種方法不是萬能的，題目無窮無盡啊，很難找到能夠適用于所有題目的方法。

然而上面的方法雖然不是萬能的，但在做題時卻能給我們指明方向，帶來一些靈感。下面筆者就再舉一個例題來說明這種狀況吧。

例5：函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，且過點a(0,f(0))與b(1,f(1))的直線與曲線y=f(x)相交于點c(c,f(c))，其中0\[\xi\]，使得\[f\left(\xi\right)=0\]

解法一：我們使用上面的原函數(shù)法來試一試。如下：

\[\begin{array}{l}\int{f\left(\xi\right)}d\xi=f\left(\xi\right)+c\\\int{f\left(\xi\right)+cd\xi=f\left(\xi\right)}+c\xi+k\end{array}\]

那么我們可以發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的輔助函數(shù)應(yīng)當(dāng)為\[f(x)+cx+k\]形式。也就是說雖然原函數(shù)法沒有給出我們具體的輔助函數(shù)是什么（由于c和k沒法求出），但是給出了我們構(gòu)造輔助函數(shù)的方向，這是相當(dāng)寶貴的！

好，那么我們的重點就應(yīng)當(dāng)看看\[f(x)+cx+k\]中的c和k要怎么來找出來。進一步觀測輔助函數(shù)形式，其實就為f(x)與一條直線的和，由于cx+k就是一條直線啊。那么就給我們一個啟示，往題目中的已知條件中來找尋這條直線。顯然題目示意的已經(jīng)很明顯了，就是直線ab。

很簡單就求出ab的表達式：y=[f(1)-f(0)]x+f(0)

那么我們所構(gòu)造的輔助函數(shù)就是f(x)=f(x)-y=f(x)-[f(1)-f(0)]x-f(0)

有同學(xué)奇怪這么為什么將加號換成了減號呢？在此時的方法中筆者是根據(jù)經(jīng)驗來的，往往就是減號（但在同濟版高數(shù)教材拉格朗日定理證明中有另一番解釋，感興趣者可回看）。即使你在這里按部就班的構(gòu)造成f(x)=f(x)+y，在下面的分析中會發(fā)現(xiàn)還是得回過頭將這里的加號改為減號。這里筆者為了篇幅，就直接根據(jù)經(jīng)驗來了。

好了，輔助函數(shù)找到了。經(jīng)驗告訴我們，題目讓證二階導(dǎo)數(shù)點為0，那么勢必要兩次運用羅爾定理。題目也給出了十明顯確的示意了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分別運用羅爾定理。那么就必需有f(0)=f(c)和f(c)=f(1)，也就是說必需有f(0)=f(c)=f(1)。那么終究有沒有呢？我們來驗證下。

很簡單驗證f(0)=f(1)=0。

然而f(c)=f(c)-[f(1)-f(0)]c-f(0)卻一時半會判斷不出來是否為0。這個時候就有同學(xué)開始慌張了，覺得是自己想錯方向了。別急，也別放棄。由于顯然題目中的已知條件你還沒用完啊。點c在直線ab上，這個條件你還沒用呢！！又這個條件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。代入f(c)的表達式，就有f(c)=0.

于是就有f(0)=f(c)=f(1)=0了。

那么我們首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次羅爾定理，就有在（0,c）上存在\[{\xi_1}\]使得\[f\left({{\xi_1}}\right)=0\]，同時在（c,1）上存在\[{\xi_2}\]使得\[f\left({{\xi_2}}\right)=0\]，那么再在\[\left({{\xi_1},{\xi_2}}\right)\]上運用羅爾定理，就得到在\[\left({{\xi_1},{\xi_2}}\right)\]上有一點\[\xi\]，使得\[f\left(\xi\right)=0\]，題目得證。

解法二：有的同學(xué)嫌兩次利用羅爾定理麻煩，而且假使不會用原函數(shù)法來尋覓思路方向。那么沒關(guān)系。我們完全可以根據(jù)對題目的深入剖析來得到另一種較好的思路。

我們根據(jù)題目中對三點a、b、c的狀態(tài)描述，來嘗試畫出f(x)的大約草圖。會發(fā)現(xiàn)只能如下所示：

那么大家觀測這個圖，特別是圖中三條平行的紅線直線，想到了什么？？熟悉拉格朗日中值定理的幾何意義的都會知道，這明顯跟拉格朗日中值定理的幾何意義圖示一模一樣啊。

因此我們依照方向，就分別有如下結(jié)果：

\[\frac{{f(c)-f(0)}}{{c-0}}=f({\xi_1})\]

\[\frac{{f(1)-f(c)}}{{1-c}}=f({\xi_2})\]

好了，題目讓證明二階導(dǎo)數(shù)點為0，顯然應(yīng)當(dāng)有\(zhòng)[f\left({{\xi_1}}\right)=f\left({{\xi_2}}\right)\]。那么他倆等于不等于呢？稍加思考就會發(fā)現(xiàn)鐵定等于啊。由于\[\frac{{f(c)-f(0)}}{{c-0}}\]和\[\frac{{f(1)-f(c)}}{{1-c}}\]表示的都是直線ab的斜率啊，確定是相等的！！

于是問題已經(jīng)得到證明白。剩下的步驟我就不寫了。

說明：其實問題分析到這個地步，題目的意義已經(jīng)很明顯了，說白了，就是假使二階導(dǎo)數(shù)存在，拉格朗日中值定理中隱含了存在二階導(dǎo)數(shù)為0的點。而題目就是要我們證明這個隱含條件而已，本質(zhì)上還是屬于拉格朗日中值定理的一部分。

構(gòu)造輔助函數(shù)總結(jié)篇三

方法簡述：將所證明的表達式\[\varphi\left({f\left(\xi\right),f\left(\xi\right),\xi}\right)=0\]看成是微分方程\[\varphi\left({f\left(x\right),f\left(x\right),x}\right)=0\]，從中求解f（y,x）=0，然后忽略掉常數(shù)項，替換為f(f(x),x)就是我們要找的輔助函數(shù)了。

運用該方法，關(guān)鍵在于構(gòu)造的微分方程比較簡單求出f(x)。舉個例題，如下：

例3：已知f(x)連續(xù)，且f(a)=f(b)=0，求證在(a,b)上有一點\[\xi\]使得\[\frac{{f\left(\xi\right)}}{{-2\xi}}=f\left(\xi\right)\]。

解析：先將式子進行整理為\[f\left(\xi\right)+2\xif\left(\xi\right)=0\]，那么這是一個很簡單的微分方程了\[\frac{{dy}}{{dx}}+2xy=0\]。學(xué)過微分方程的應(yīng)當(dāng)都會做，分開變量嘛。如下：

\[\begin{array}{l}\frac{1}{y}dy=-2x