專題集訓10等腰三角形探究一、選擇題1．如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點與0刻度線的一端重合，∠ABC＝40°，射線CD繞點C轉動，與量角器外沿交于點D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點D在量角器上對應的度數是(D)A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°,第1題圖),第2題圖)2．如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OPM，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(D)A．1個B．2個C．3個D．3個以上【解析】如圖，在OA，OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等邊三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，可證△PEM≌△PON(ASA)，∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△POM是等邊三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等邊三角形，故這樣的三角形有無數個．二、填空題3．正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點，若△PBE是等腰三角形，則腰長為__2eq\r(5)或eq\f(5,2)或eq\f(\r(65),2)__．【解析】如圖①，當E，C重合時，PB＝PC＝2eq\r(5)；在AB上取E使PE＝EB，如圖②，設AE＝x，∴(4－x)2＝x2＋4，解得x＝eq\f(3,2)，使PE＝eq\f(5,2)；在BP上取中點M，如圖③，作ME⊥PB交DC于E.設EC＝x，由PE＝BE知42＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝eq\f(1,2)，∴PE＝eq\r(22＋（4－\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(65),2).4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，點E，F同時由A，C兩點出發，分別沿AB，CB方向向點B勻速移動(到點B為止)，點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為__eq\f(4,3)__.三、解答題5．如圖，已知點A(1，2)是反比例函數y＝eq\f(k,x)圖象上的一點，連結AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，求點P的坐標．解：∵反比例函數y＝eq\f(k,x)圖象關于原點對稱，∴A，B兩點關于O對稱，∴O為AB的中點，且B(－1，－2)，∴當△PAB為等腰三角形時有PA＝AB或PB＝AB，設P點坐標為(x，0)，∵A(1，2)，B(－1，－2)，∴AB＝eq\r([1－（－1）]2＋[2－（－2）]2)＝2eq\r(5)，PA＝eq\r(（x－1）2＋22)，PB＝eq\r(（x＋1）2＋（－2）2)，當PA＝AB時，則有eq\r(（x－1）2＋22)＝2eq\r(5)，解得x＝－3或5，此時P點坐標為(－3，0)或(5，0)；當PB＝AB時，則有eq\r(（x＋1）2＋（－2）2)＝2eq\r(5)，解得x＝3或－5，此時P點坐標為(3，0)或(－5，0)．綜上可知P點的坐標為(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)6．已知拋物線c1的頂點為A(－1，4)，與y軸的交點為D(0，3)，拋物線c1關于y軸對稱的拋物線記作c2.(1)求c2的解析式；(2)若c2與x軸正半軸交點記作B，試在x軸上求點P，使△PAB為等腰三角形.解：(1)∵拋物線的頂點為A(－1，4)，∴c1設的解析式為：y＝a(x＋1)2＋4，∵拋物線c1與y軸的交點為D(0，3)∴3＝a＋4，即a＝－1，∴y＝－(x＋1)2＋4.∵拋物線c1關于y軸對稱的拋物線記作c2，∴c2：y＝－x2＋2x＋3(2)∵c2與x軸正半軸交點記作B，∴點B(3，0)，∵點A(－1，4)，∴AB＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，當PB＝AB時，點P(3－4eq\r(2)，0)或(3＋4eq\r(2)，0)；當PA＝AB時，點P(－5，0)；當PA＝PB時，點P(－1，0)，所以，當點P為(3－4eq\r(2)，0)或(3＋4eq\r(2)，0)或(－5，0)或(－1，0)時，△PAB為等腰三角形7．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點D在直線MN上(不與點A重合)，如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD＝DP.(無需寫證明過程)(1)在圖2中，DE與CA的延長線交于點P，BD＝DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；(2)在圖3中，DE與AC的延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結論，無需證明．(這是邊文，請據需要手工刪加)解：(1)BD＝DP成立，證明：如圖②，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線與點F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠2＝∠1，,DF＝DA，,∠DFB＝∠DAP＝45°，))∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP(2)BD＝DP.證明：如圖③，過點D作DF⊥MN，交BA的延長線于點F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠PAD＝45°，,DF＝DA，,∠BDF＝∠PDA，))∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP8．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形ABCO，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B(4，3)，C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線交于第四象限的F點．(1)求該拋物線解析式與F點坐標；(2)如圖2，動點P從點C出發，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發，沿線段AE以每秒eq\f(\r(13),2)個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H,連結MP，MH.設點P的運動時間為t秒．若△PMH是等腰三角形，求出此時t的值．解：(1)∵矩形ABCO，B點坐標為(4，3)，∴C點坐標為(0，3)，∵拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B，C，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3，,－8＋4b＋c＝3，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3，,b＝2，))∴該拋物線解析式y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋3，設直線AD的解析式為y＝k1x＋b1，∵A(4，0)，B(2，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k1＋b1＝0，,2k1＋b1＝3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(3,2)，,b1＝6，))∴y＝－eq\f(3,2)x＋6，聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,2)x＋6，,y＝－\f(1,2)x2＋2x＋3，))∵F點在第四象限，∴F(6，－3)(2)如圖①過M作MN⊥OA交OA于N，∵△AMN∽△AEO，∴eq\f(AM,AE)＝eq\f(AN,AO)＝eq\f(MN,EO)，∴AN＝t，MN＝eq\f(3,2)t，①如圖③，當PM＝HM時，M在PH的垂直平分線上，∴MN＝eq\f(1,2)PH，∴MN＝eq\f(3,2)t＝eq\f(3,2)，∴t＝1；②如圖①，當HM＝HP時，MH＝3，MN＝eq\f(3,2)t，HN＝OA－AN－OH＝4－2t，在Rt△HMN中，MN2＋HN2＝MH2，∴(eq\f(3,2)t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝2(舍去)，t2＝eq\f(14,25)；③如圖②，如圖④，當PH