第頁專題6.6相交線與平行線十六大考點【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】 1【考點2三線八角中的截線問題】 4【考點3根據平行線的判定與性質進行證明】 6【考點4直線旋轉中的平行線的判定】 12【考點5與垂線有關的角度計算或證明】 15【考點6利用平行線的判定與性質計算角度】 20【考點7平行線的性質在生活中的應用】 25【考點8利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】 31【考點9平行線的運用（單一輔助線）】 38【考點10平行線的運用（多條輔助線）】 46【考點11平行線在折疊問題的運用】 56【考點12平行線在三角尺中的運用】 60【考點13平行線中的規律問題】 65【考點14平行線中的轉角問題】 74【考點15點到直線的距離的運用】 81【考點16利用平行線的判定與性質證明三角形中角度關系】 85【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉·七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁內角 B．∠1和∠3是對頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內錯角【答案】A【分析】根據對頂角、鄰補角、同位角、內錯角定義判斷即可．【詳解】A.∠1和∠2是鄰補角，故此選項錯誤；B.∠1和∠3是對頂角，此選項正確；C.∠3和∠4是同位角，此選項正確；D.∠1和∠4是內錯角，此選項正確；故選A.【點睛】此題考查對頂角，鄰補角，同位角，內錯角，

同旁內角，解題關鍵在于掌握各性質定義.【變式1-1】（2022·青海·中考真題）數學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內角、同位角、內錯角B．同位角、內錯角、對頂角C．對頂角、同位角、同旁內角D．同位角、內錯角、同旁內角【答案】D【分析】兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為內錯角；兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內角．據此作答即可．【詳解】解：根據同位角、內錯角、同旁內角的概念，可知第一個圖是同位角，第二個圖是內錯角，第三個圖是同旁內角．故選：D．【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，解題的關鍵是掌握同位角、內錯角、同旁內角，并能區別它們．【變式1-2】（2022·河北保定·七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是()A．∠C與∠1是內錯角B．∠2與∠3是內錯角C．∠A與∠B是同旁內角D．∠A與∠3是同位角【答案】B【分析】根據同位角，同旁內角，內錯角的定義可以得到A、C、D是正確的，∠2與∠3是鄰補角，不是內錯角．【詳解】A、∠C與∠1是內錯角，故本選項正確；B、∠2與∠3是鄰補角，故本選項錯誤；C、∠A與∠B是同旁內角，故本選項正確；D、∠A與∠3是同位角，故本選項正確．故選B．【點睛】本題主要考查了同位角，內錯角，同旁內角的概念，比較簡單．【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內錯角有b對，同旁內角有c對，則a+b?c的值是____________【答案】6【分析】根據同位角，內錯角，同旁內角的定義分別得到a，b，c的值，即可求解．【詳解】∵同位角有：∠8與∠4，∠5與∠1，∠7與∠3，∠6與∠2，∠4與∠9，∠7與∠9，共6對；內錯角有：∠7與∠1，∠6與∠4，∠5與∠9，∠2與∠9，共4對，同旁內角有：∠7與∠4，∠6與∠1，∠1與∠9，∠6與∠9共4對，∴a=6，b=4,c=4，∴a+b?c=6，故答案是：6．【點睛】本題主要考查同位角，內錯角，同旁內角的定義，掌握它們的定義，是解題的關鍵．【考點2三線八角中的截線問題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學七年級期末）如圖，已知∠1和∠2是內錯角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的【答案】B【分析】根據內錯角的定義進行判斷即可求解．【詳解】解：如圖，∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的內錯角．故選：B【點睛】本題考查了內錯角的判斷，熟知內錯角的定義是解題關鍵，弄清哪兩條直線被第三條直線所截才能形成內錯角是解題關鍵．【變式2-1】（2022·山東濟寧·七年級期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內錯角A．直線AD、BC被直線BD所截 B．直線AB、CD被直線BD所截C．直線AB、CD被直線AC所截 D．直線AD、BC被直線AC所截【答案】B【分析】根據內錯角的定義即可完成．【詳解】由圖知，∠ABD與∠BDC是直線AB、CD被直線BD所截形成的內錯角故選：B【點睛】本題考查了內錯角的識別，兩條直線被第三條直線所截，若兩個角在兩條截線之間，且在被截線的兩旁，則稱這對角為內錯角，掌握內錯角的含義是正確識別內錯角的關鍵．【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學七年級期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．【答案】

AB

AC

BD

同旁內角【分析】根據同旁內角的定義即可判斷．【詳解】由同旁內角的概念可知：如圖所示，∠2與∠3是直線AB，AC被直線BD所截而成的同旁內角；故答案為：AB；AC；BD；同旁內角；【點睛】本題考查了同旁內角的定義，熟悉掌握同旁內角的定義是解題的關鍵．【變式2-3】（2022·全國·七年級）如圖所示，從標有數字的角中找出：(1)直線CD和AB被直線AC所截構成的內錯角.(2)直線CD和AC被直線AD所截構成的同位角.(3)直線AC和AB被直線BC所截構成的同旁內角.【答案】(1)直線CD和AB被直線AC所截構成的內錯角是∠2和∠5；(2)直線CD和AC被直線AD所截構成的同位角是∠1和∠7；(3)直線AC和AB被直線BC所截構成的同旁內角是∠3和∠4【分析】根據兩條直線被第三條直線所截，所形成的角中，兩角在兩條直線的中間，第三條直線的兩旁，可得內錯角，兩角在兩直線的中間，第三條直線的同側，可得同旁內角，兩角在兩條直線的同側，第三條直線的同側，可得同位角.【詳解】解：(1)直線CD和AB被直線AC所截構成的內錯角是∠2和∠5.(2)直線CD和AC被直線AD所截構成的同位角是∠1和∠7.(3)直線AC和AB被直線BC所截構成的同旁內角是∠3和∠4.【點睛】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成F形，內錯角的邊構成Z形，同旁內角的邊構成U形．【考點3根據平行線的判定與性質進行證明】【例3】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【答案】DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等【分析】先通過已知條件證明DE∥AF，再由兩直線平行同位角相等和等量代換證出AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等得出∠B=∠C．【詳解】證明：∵∠1=∠2（已知），∴DE∥AF（同位角相等，兩直線平行）．∴∠A=∠BED（兩直線平行，同位角相等）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．∴∠B=∠C（兩直線平行，內錯角相等）．故答案為：DE；AF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等．【點睛】本題考查平行線的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關系？請直接寫出你的猜想不必證明．【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，兩直線平行；(2)成立(3)不成立，GM⊥HN．【分析】（1）根據平行線的性質可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠MGE=∠NHG，再利用平行線的判定即可；（2）根據平行線的性質可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM=∠NHG，再利用平行線的判定即可；（3）設GM與HN交于點P，根據平行線的性質可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分線的定義和等量代換可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形內角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．（1）證明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分線∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和（2）解：（1）中的結論還成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分線，∴∠AGM=∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代換）∴GM∥HN．（3）（3）（1）中的結論不成立，GM⊥HN，理由：如圖：設GM與HN交于點P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分線，∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分線，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+∠NHG）=90°∴【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質是解答本題的關鍵．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【答案】①②③④【分析】根據平行線的性質逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+12∴∠3+12綜上，正確的結論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學七年級期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點E在線段AD上，點G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；(3)如圖3，在(2)的條件下，點E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)57°【分析】（1）根據平行線的性質得到∠A+∠B=180°，進而推出∠C+∠B=180°，即可證明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，據此即可證明結論；（2）先由平行線的性質得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，進而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可證明BG是∠EBC的平分線；（3）設∠GDH=∠HDC=α，設∠EBG=∠CBG=β，根據平行線的性質推出66°+2β+2α=180°，則α+β=57°，過點H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，則∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；（1）解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D；（2）解：∵AD∥BC，∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G，∴∠EBG+∠CBG=2∠G，∴∠EBG=∠CBG=∠G，∴BG是∠EBC的平分線；（3）解：∵DH是∠GDC的平分線，∴∠GDH=∠HDC，設∠GDH=∠HDC=α，∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α，設∠EBG=∠CBG=β，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°，過點H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°，∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α，∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°；【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，熟知平行線的性質與判定條件是解題的關鍵．【考點4直線旋轉中的平行線的判定】【例4】（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直，當橫板AB的A端著地時，測得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可以轉動的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【答案】B【分析】此題可以構造平行線，根據平行線的性質進行分析計算．【詳解】解：如圖所示，過點O作DE∥AC，則有∠1=∠OAC=28°而∠2=∠1，所以，上下最大可以轉動的角度為∠2=∠1=56°．故選：B．【點睛】本題是一道生活問題，將其轉化為關于平行線的問題，解題關鍵是利用“兩直線平行,同位角相等”解答．【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時針旋轉了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據平行線的判定定理求解即可．【詳解】解：如圖，根據題意得，∠1=75°，∠AOB=35°，∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，當∠2=∠AOB時，a∥b，∴∠2=40°，故選：C．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線上，現將三角板DEF繞點D順時針旋轉，當EF第一次與AB平行時，∠CDF的度數是（A．15° B．30° C．45° D．75°【答案】A【分析】過點D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，由平行線的性質得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，則可求出答案．【詳解】解：過點D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．故答案為：15°．【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級期末）如圖，直線l1∥l2，現將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點B放在直線l2上，將三角板繞點B旋轉，使直角頂點C落在l1與l2之間的區域，邊AC與直角l1相交于點A．65° B．75° C．85° D．80°【答案】A【分析】過A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根據平行線的性質得出∠3，進而求得∠4，再根據平行線的性質可求出答案．【詳解】解：過C作CE∥l1，∵l1∥l2，∴CE∥l1∥l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故選：A．【點睛】題考查了平行線的性質和判定，能靈活運用平行線的性質和判定定理進行推理是解此題的關鍵．【考點5與垂線有關的角度計算或證明】【例5】（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？【答案】見解析【分析】根據∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．【詳解】證明：∵∠1=∠C，∴ED∥BC，∴∠2=∠DBC，∵∠2=∠3，∴∠DBC=∠3∴BD∥FG，∵FG⊥AC，∴BD⊥AC．【點睛】本題綜合考查了平行線的性質及判定，正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題的關鍵，不能遇到相等或互補關系的角就誤認為具有平行關系，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出兩被截直線平行．【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因為DG//所以∠2=∠BAD（____________）．因為∠1=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）因為EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【答案】兩直線平行，內錯角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC【分析】根據平行線的判定定理與性質定理求解即可．【詳解】解：因為DG//所以∠2=∠BAD（兩直線平行，內錯角相等），因為∠1=∠2（已知），所以∠1=∠BAD（等量代換），所以EF//所以∠EFB=∠ADB（兩直線平行，同位角相等），因為EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（垂直的定義），所以∠ADF=90°（等量代換），所以AD⊥BC（垂直的定義），故答案為：兩直線平行，內錯角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵.【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們平行（不必說明理由）．【答案】（1）平行，理由見解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．【分析】（1）根據平行線的判定定理，即可得到結論；（2）根據平行線的判定定理，即可得到結論．【詳解】（1）平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，∴AD∥BC；（2）不能判斷AB與CD平行，添加CD⊥AC即可判斷AB與CD平行．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AB∥CD．【點睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握“同旁內角互補，兩直線平行”，“內錯角相等，兩直線平行”，是解題的關鍵．【變式5-3】（2022·全國·七年級）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點C是線段AB上一定點，點D是射線AN上一動點，連接CD．(1)在圖1中過點C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點．①依題意補全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點F是射線BQ上一動點，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點G，請用含有α的代數式來表示∠DGF，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠DGF=180°-12α【分析】（1）①根據要求作出圖形即可．②過點C作CT∥MN．利用平行線的性質和判定以及垂線的性質解決問題．（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本結論可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分線的定義及鄰補角的性質即可求解．(1)解：①圖形如圖所示．②證明：過點C作CT∥MN．∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∵CT∥MN，MN∥PQ，∴CT∥MN∥PQ，∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．(2)解：∠DGF=180°-12α如圖，由（1）的結論可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠∴∠DGF=12（∠CDN+∠CFQ）=12（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=12（360°-∠DCF）=180°-【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，鄰補角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．【考點6利用平行線的判定與性質計算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，點F，G在BC上，EF與DG交于點O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)62【分析】（1）由∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180°，得到∠1=∠DOE，則BD∥EF，∴∠B=∠EFC，由∠B=∠3，∠3=∠EFC，即可證明（2）由（1）的結論得到∠3=∠EFC，則∠AEF=118°，再由同旁內角的性質得到（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∴∠1=∠DOE，∴BD∥EF，∴∠B=∠EFC，∵∠B=∠3，∴∠3=∠EFC，∴DE∥BC．（2）由（1）知：∠3=∠EFC∵∠AED+∠EFC=118°∴∠3+∠AED=∠AEF=由（1）知BD∥EF,且∠AEF、∠A互為同旁內角，∴∠AEF+∠A=180∴∠A=【點睛】本題考查平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定式關鍵．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數；(2)判斷BE與CD的位置關系，并證明你的猜想．【答案】(1)45°(2)BE∥【分析】（1）根據∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠EDC+∠C=180°，結合∠EDC＝3∠C，代入計算即可．（2）根據∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠E=∠ABE，結合∠C＝∠E，得到∠ABE=∠C，得到BE∥CD．（1）∵∠A＝∠ADE，∴DE∥AC，∴∠EDC+∠C=180°，∵∠EDC＝3∠C，∴4∠C=180°，∴∠C=45°．（2）BE與CD的位置關系是BE∥CD．理由如下：∵∠A＝∠ADE，∴DE∥AC，∴∠E=∠ABE，∵∠C＝∠E，∴∠ABE=∠C，∴BE∥CD．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級期末）如圖所示，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數；(3)若平行移動AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠EOB=35°(3)不變，∠OBC:∠OFC=1:2．【分析】（1）根據平行線的性質得出∠COA，再根據∠COA+∠OAB=180°，可得（2）根據∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1（3）根據平行線的性質，即可得出∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA，再根據∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出答案．（1）∵CB∥OA，∴∠COA=180°?∠C=180°?110°=70°，∴∠COA+∠OAB=180°，∴OC∥（2）∵∠FOB=∠AOB，∴OB平分∠AOF，又OE平分∠COF，∴∠EOB（3）不變．∵CB∥∴∠OBC=∠BOA∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA，又∵∠FOA∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2．【點睛】本題考查平行線、角平分線的性質及三角形內角和定理，熟記各性質并準確識圖理清各角間的關系時解題關鍵．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內部一點，射線CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過點O作射線OE，使得OE//CD．（其中點E在∠AOB內部）．①依據題意，補全圖1；②直接寫出∠BOE的度數．(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當∠AOB=α0°<α≤180°時，過點F作射線FH，使得FH//CD（其中點H在∠AOB的外部），用含α的代數式表示∠OCD與∠BFH【答案】(1)①見解析；②30°(2)∠OCD＋∠BFH＝360°－α，證明見解析【分析】（1）①根據題意補圖即可；②根據平行線的性質求出即可；（2）過點O作OM∥CD∥FH，根據平行線的性質得出兩角的數量關系即可．(1)解：①依據題意，補全圖1如下：②∵CD∥OE，∴∠OCD+∠COE＝180°，∵∠OCD＝120°，∴∠COE＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；(2)解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，證明：過點O作OM∥CD∥FH，∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，又∵∠BFH+∠OFH＝180°，∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．【點睛】本題主要考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．【考點7平行線的性質在生活中的應用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH.光線反射時，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結論：①直線EF平行于直線GH；②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；④當CD繞點G順時針旋轉90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【答案】B【分析】根據平行線的性質定理逐個證明，看是否正確即可.【詳解】①正確，根據AB//CD，可得∠2=∠3，再根據已知可得∠1=∠2=∠3=∠4，進而證明∠EFC=∠FGH,因此可得EF//GH；②正確，根據∠3=∠4，可得∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③正確，因為①證明了∠1=∠4，所以只要證明∠1的角平分線垂直于∠BFE的角平分線即可；④不正確，因為∠2+∠3=90°,所以故正確的有①②③，因此選B.【點睛】本題主要考查平行線的性質和定理，這是基本知識點，必須熟練掌握.【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線AB射在其中一塊MN上，經另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明【答案】會，理由見解析【分析】作BE⊥NB，CF⊥NC，根據NB⊥NC可得出∠2+∠3=∠1+∠4=90°，再由平行線的判定定理即可得出結論．【詳解】解：AB//CD．理由如下：作BE⊥NB，CF⊥NC，如圖，∵∠1=∠2，∠3=∠4，BE//NC，∴∠2=∠NCB，∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD．【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質，熟知入射角等于反射角是解答此題的關鍵．【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過調整CF和后拉桿BC的位置來調整籃筐的高度．當∠CDB=25°時，點H，D，B在同一直線上，求∠H的度數．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【分析】（1）根據∠1，∠2的兩邊分別平行，所以∠1，∠2相等或互補列出方程求解則得到答案．（2）過D點作DI∥EF，根據兩直線平行，同旁內角互補可求∠FDI=35°，根據平角的定義可求∠ADB=30°，根據直角三角形的性質可求∠ABH=60°，再根據兩直線平行，同旁內角互補可求∠H．【詳解】解：（1）①當∠1=∠2時，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②當∠1+∠2=180°時，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）過D點作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行線性質定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時針旋轉至PB便立即回轉，燈Q射線自QD逆時針旋轉至OC便立即回轉，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視．設燈P轉動的速度是10度/秒，燈Q轉動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉至PB，或者燈Q自QD轉至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的時間；（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時開啟后的35秒內，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？【答案】（1）P、Q兩燈照射一次各需要的時間分別為18秒、45秒；（2）∠PMQ=108°；（3）當開啟15s或1357s或2257【分析】（1）直接利用180除以兩燈的速度即可求得結果；（2）過點M作FM//AB，利用平行線的相關性質求解即可；（3）分三種情況：①當兩燈開啟時間小于18秒時，②當兩燈開啟時間大于18秒，小于36秒時，PM返回時，第一次與DM相遇，③當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，PM返回時，第二次與DM相遇，分別根據兩燈的光束互相垂直，利用平行線的相關性質，找準等量關系，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵燈P轉動的速度是10度/秒，燈Q轉動的速度是4度/秒，∴P燈照射一次需要的時間是：18010Q燈照射一次需要的時間是：1804（2）∵轉動12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，∴∠APM=10∠DQM=4如下圖示，過點M作FM//AB，則有FM//AB//CD∴∠APM+∠PMF=180°，∴∠PMF=180∴∠PMQ=∠PMF+∠FMQ=60（3）①當兩燈開啟時間小于18秒時，如圖1所示，過點M作FM//AB，則有FM//AB//CD∵∠APM=10t，∠FMQ=∠DQM=4t，∴∠PMF=180∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：180解之得：t=15；②當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，PM返回時，第一次與DM相遇，則如圖2所示，過點M作FM//AB，則有FM//AB//CD∴∠PMF=∠BPM=10t?180°，∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：10t?解之得：t=135③當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，PM返回時，第二次與DM相遇，則如圖3所示，過點M作FM//AB，則有FM//AB//CD∵∠BPM=10t?180°，∴∠PMF=180∠FMQ=∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：360解之得：t=225綜上所述，當開啟15s或1357s或225【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想進行求解，熟悉相關性質是解題的關鍵．【考點8利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】【例8】（2022·河北唐山·七年級期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線(1)如圖1，若點F在邊BC上，直接寫出∠BAC與∠EFD的數量關系；(2)若點F在邊BC的延長線上，（1）中的數量關系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的數量關系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由．【答案】(1)∠BAC=∠EFD(2)不成立，當點F在邊BC的延長線上時，∠BAC+∠EFD=180°，圖見解析，證明見解析【分析】（1）根據平行線的性質即可得到∠BAC與∠EFD的數量關系；（2）首先作出圖形，再結合平行線的性質即可得到結論．（1）解：∠BAC=∠EFD，證明：∵EF∥∴∠BAC=∠BEF，∵DF∥∴∠EFD=∠BEF，∴∠BAC=∠EFD；（2）如圖2，當點F在邊BC的延長線上時，（1）中的數量關系不成立，數量關系為∶∠BAC+∠EFD=180°，證明：∵DF∥∴∠D=∠BAC．∵EF∥∴∠EFD+∠D=180°，∴∠BAC+∠EFD=180°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等以及兩直線平行，同旁內角互補等知識．【變式8-1】（2022·湖北襄陽·七年級期末）如圖，已知AM∥BN，P是射線AM上一動點（不與點A重合），BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，分別交射線AM于點C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數；(2)在點P的運動過程中，∠BPA與∠BDA的數量關系是否隨之發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出∠BPA與∠BDA的數量關系；(3)當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，探究∠ABC與∠DBN的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)65°(2)在點P的運動過程中，∠BPA與∠BDA的數量關系不隨之發生變化，∠BPA＝2∠BDA(3)∠ABC＝∠DBN．證明見解析【分析】（1）根據AM∥BN，可得∠A＋∠ABN＝180°，從而得到∠ABN＝130°，再由BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，可得（2）根據AM∥BN，可得∠BPA＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由∠PBD=∠DBN=12∠PBN（3）根據AM∥BN，可得∠ACB＝∠CBN，再由∠ACB＝∠ABD，可得∠CBN＝∠（1）解：∵AM∥∴∠A＋∠ABN＝180°，又∠A＝50°，∴∠ABN＝130°，∵BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，∴∠CBP=12∠ABP∴∠CBD=∠CBP+∠PBD=1（2）解：在點P的運動過程中，∠BPA與∠BDA的數量關系不隨之發生變化，∠BPA＝2∠BDA．理由如下：∵AM∥∴∠BPA＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵∠PBD=∠DBN=1∴∠PBN＝2∠BDA，∴∠BPA＝2∠BDA．（3）解：∠ABC＝∠DBN．理由如下：∵AM∥∴∠ACB＝∠CBN，∵∠ACB＝∠ABD﹐∴∠CBN＝∠ABD﹐即∠ABC＋∠CBD＝∠DBN＋∠CBD，∴∠ABC＝∠DBN．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，有關角平分線的計算，熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．【變式8-2】（2022·安徽合肥·七年級期末）已知：直線AB∥CD，經過直線AB上的定點P的直線EF交CD于點O，點M，N為直線CD上的兩點，且點M在點O右側，點N的左側時，連接PM，PN，滿足(1)如圖1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接寫出∠COP的度數為：______．(2)如圖2，射線PQ為∠MPE的角平分線，用等式表示∠NPQ與∠POM之間的數量關系，并證明．【答案】(1)125°(2)∠POM=2∠NPQ，見解析【分析】（1）根據平行線的性質以及題干中∠MPN=∠MNP即可推出∠COP的度數．（2）結合平行線性質和題干條件進行推理即可找到∠NPQ與∠POM的等量關系．（1）∵AB∥∴∠COP=∠BPO，∠BPN=∠MNP=50°．∵∠MPO=25°，∠MPN=∠MNP=50°，∴∠COP=∠BPO=∠MPO+∠MPN+∠BPN=25°+50°+50°=125°．（2）結論：∠POM=2∠NPQ．理由：∵AB∥∴∠EPB=∠POD，∠BPN=∠PNM．又∵射線PQ為∠MPE的角平分線，∴∠EPQ=∠MPQ=1∵∠MPN=∠PNM=∠NPB，∴∠MPN=∠NPB=1∴∠NPQ=∠MPQ?∠MPN=1即∠POM=2∠NPQ．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識．解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，屬于中考常考題型．【變式8-3】（2022·湖北孝感·七年級期末）在三角形ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點D作FG⊥FD交射線CB于點(1)如圖1，點F在線段BE上，①用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，并說明理由；②如圖，求證：∠ABC+∠BFG?∠EDF=90°；(2)當點F在線段AE上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數量關系，不需證明．【答案】(1)①∠EDF+∠BGF=90°，理由見解析；②過程見解析(2)∠BGF-∠EDF=90°或∠BGF+∠EDF=90°【分析】對于（1）①，過點F作平行線，再根據平行線的性質∠EDF=∠1和∠BGF=∠2，然后根據垂直可得結論；對于②，根據平行線的性質得∠ABC=∠AFH和∠EDF=∠1，再根據垂直定義得∠BFG+∠3=90°，整理可得結論；對于（2），分兩種情況討論，再結合（1）給出證明即可．（1）過點F作FH∥BC交AC于點H

①∠EDF+∠BGF=90°．

理由如下：∵FH∥BC，ED∥BC，∴ED∥FH，∴∠EDF=∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF=∠2，∴∠EDF+∠BGF=∠1+∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG=90°，即∠1+∠2=90°，∴∠EDF+∠BGF=90°；②∵FH∥BC，∴∠ABC=∠AFH，即∠ABC=∠1+∠3．∵FG⊥FD，∴∠DFG=90°，∴∠BFG+∠3=90°，即∠BFG=90°-∠3．∵ED∥FH，∴∠EDF=∠1，∴∠ABC+∠BFG-∠BFG=∠1+∠3+90°-∠3-∠1=90°；（2）當點G在線段BC上時，∠BGF-∠EDF=90°；過點F作FH∥BC，∵FH∥BC，ED∥BC，∴ED∥FH，∴∠EDF=∠DFH．∵FH∥BC，∴∠BGF=∠GFH，∴∠BGF=∠GFD+∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠GFD=90°，∴∠BGF-∠EDF=90°；當點G在點B的左側時，∠BGF+∠EDF=90°；過點F作FR∥BC，∵FR∥BC，ED∥BC，∴ED∥FR，∴∠EDF=∠DFR．∵FR∥BC，∴∠BGF+∠GFR=180°，∴∠BGF+∠GFD+∠EDF=180°．∵FG⊥FD，∴∠GFD=90°，∴∠BGF+90°+∠EDF=180°，即∠BGF+∠EDF=90°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，垂直的定義等，構造平行線是解題的關鍵．【考點9平行線的運用（單一輔助線）】【例9】（2022·四川德陽·七年級期末）已知：AB∥CD，點P、Q分別在AB、CD上，在兩直線間取一點E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內部一點H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數；②如圖3，若點I在直線AB、CD內部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I?∠H=m°，∠E=n°，請直接寫出m與n的數量關系，不必證明．【答案】(1)見解析(2)①45°；②n=180?2m【分析】（1）過點E作EM∥AB，利用平行線的性質證明即可；（2）①利用（1）中結論求解即可；②結論：n＝180?2m，過點I作IJ∥AB，設∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，則n°＝（x＋y）°．利用（1）中結論求解即可．（1）證明：過點E作MN∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．（2）解：①∵∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內部一點H，∴∠APH=12∠APE∵FG由EQ平移而來，∴FG∥EQ，∴∠CGF=∠CQE，由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，∴∠H=∠APH+∠CGH====45°②n=180?2m．理由如下：過點I作IJ∥AB，如圖所示：設∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，則n°＝（x＋y）°．∵AB∥CD，∴IJ∥CD，同法可證∠H＝∠CGH＋∠JIH，∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，∵∠PIH?∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH?（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴12（180°?x°）?12y°＝∴90°?12（x＋y）°＝m∴90°?12n°＝m即n=180?2m．【點睛】本題主要考查作圖?平移變換，角平分線的定義，平行線的公理應用，平行線的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考常考題型．【變式9-1】（2022·廣東梅州·八年級期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M，且點M在點D的左側．(1)如圖1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度數；(2)若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F，如圖2，當DF∥OA，且α＝60°時，證明：CE∥OA．【答案】(1)45°(2)見解析【分析】（1）過點E作EF∥MN，根據MN∥OB，可得EF∥OB，根據平行線的性質可得∠AOB=45°；（2）根據平行線的性質和角平分線定義即可說明CE∥OA；（1）解：如圖，過點E作EF∥MN，∴∠DEF=∠NDE=45°，∵∠CED=90°，∴∠FEC=45°，∵MN∥OB，∴EF∥OB，∴∠BCE=∠FCE=45°，∵AO∥CE，∴∠AOB=∠ECB=45°，則α=45°，（2）證明：∵DF∥OA，∴∠DFC=∠AOB=α=60°，∵MN∥OB，∴∠MDF=∠DFC，∵DF平分∠MDC，∴∠CDF=∠MDF=60°，在直角三角形DCE中，∠DCE=60°，∴∠CDF=∠DCE，∴CE∥DF，∵DF∥OA，∴CE∥OA；【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．【變式9-2】（2022·陜西西安·八年級期末）在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數；(2)如圖2，創新小組的同學把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發現∠2?∠1=120°，說明理由；(3)競賽小組在創新小組發現結論的基礎上，將圖2中的圖形繼續變化得到圖3，當AC平分∠BAM時，此時發現∠1與∠2又存在新的數量關系，請寫出∠1與∠2的數量關系并證明．【答案】(1)44°(2)∠2?∠1=120°，理由見解析(3)∠1=∠2，證明見解析【分析】（1）根據直角三角形的性質求出∠3，根據平行線的性質解答；（2）過點B作BD//a，根據平行線的性質得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠l，結合圖形計算，證明結論；（3）過點C作CE//a，根據角平分線的定義、平行線的性質計算即可．（1）解：∵∠BCA=90°，∴∠3=90°?∠1=44°，∵a∥b，∴（2）證明：過點B作BD∥a，則∠ABD=180°?∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1（3）解：∠1=∠2，理由如下：過點C作CE∥a，∵AC平分∠BAM，∴∠BAM=2∠BAC=60°，∵CE∥a，∴∠2=∠BCE，∵a∥b，BD∥a，∴CE∥b【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、平行線的性質，掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．【變式9-3】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)證明：MN∥(2)如圖2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE＝2∠CBT，試判斷∠CAE與∠(3)如圖3，若∠ACB＝45°，點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接寫出∠CAE：∠CAN的值．【答案】(1)證明見解析(2)∠CAE＝2∠CAN；理由見解析(3)3【分析】（1）如圖：作CH//MN，然后根據平行線的性質可得∠MAC＋∠ACH＝180°．再結合∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°可得∠HCB＋∠SBC＝180°，即CH//ST，最后根據平行公理即可證明結論；（2）如圖：作CF//ST，設∠CBT＝α，則∠DAE＝2α．由平行線的性質可得∠BCF＝∠CBT＝α，進而得到∠ACF＝60°－α；再說明MN//CF可得∠CAN＝∠ACF＝60°－α；然后根據AD//BC得到∠DAC＋∠ACB＝180°，最后根據等量代換和角的和差即可解答；（3）設∠CBT=β，根據∠MAE=4∠CBT，表示出∠MAE=4β，∠ACF=∠CAN=45°-β，∠CAE=3（45°-β），求人CAE：∠CAN的值即可．（1）證明：如圖：作CH//MN∴∠MAC＋∠ACH＝180°．∵∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°，∴∠HCB＋∠SBC＝180°，∴CH//ST∴MN//ST．（2）解：∠CAE＝2∠CAN，理由如下：如圖：作CF//ST，設∠CBT＝α，則∠DAE＝2α．∵CF//ST∴∠BCF＝∠CBT＝α，∵∠ACB＝60°∴∠ACF＝60°－α∵CF//ST，MN//ST∴MN//CF∴∠CAN＝∠ACF＝60°－α∵AD//BC，∴∠DAC＋∠ACB＝180°∴∠DAC＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，∴∠CAE＝∠DAC－∠DAE＝120°－2α＝2（60°－α）∴∠CAE＝2∠CAN．（3）解：如圖：作CF//ST，設∠CBT=β，∵∠MAE=4∠CBT，∴∠MAE=4β，∵CF//ST，∴∠CBT=∠BCF=β，∴∠ACF=∠CAN=45°-β，∠CAE=180°-∠MAE-∠CAN=180°-4β-（45°-β）=135°-3β=3（45°-β），∴∠CAE：∠CAN=3（45°-β）：（45°-β）=3．【點睛】本題主要考查平行線的性質和判定，根據角度的靈活轉換、構建數量關系式是解答本題的關鍵．【考點10平行線的運用（多條輔助線）】【例10】（2022·云南普洱·七年級期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE//GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N．(1)請你直接寫出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數量關系？并說明理由．(3)請你總結（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數量關系？并說明理由．【答案】(1)30，60(2)∠EMC+∠CAF=90°，理由見解析；(3)∠BAG-∠BMD=30°，理由見解析【分析】（1）過點C作CH∥GF，則CH∥DE，這樣就將∠CAF轉化為∠HCA，∠EMC轉化為∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數；（2）過C作CH∥GF，依據平行線的性質，即可得到內錯角相等，進而得出∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；（3）過B作BK∥GF，依據平行線的性質，即可得到內錯角相等，進而得出∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．（1）解：∵DE∥GF，AB⊥DE，∴AB⊥GF，∴∠BAF=90°，∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，過點C作CH∥GF，則CH∥DE，∴∠HCA=∠CAF=30°，∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；故答案為：30，60；（2）∠EMC+∠CAF=90°，理由如下：如圖，過C作CH∥GF，則∠CAF=∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC=∠HCM，∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；（3）∠BAG-∠BMD=30°，理由如下：如圖2，過B作BK∥GF，則∠BAG=∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD=∠KBM，∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角，利用平行線的性質進行推算．【變式10-1】（2022·湖北武漢·七年級期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數量關系，并證明；②當點E在直線AB，CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大小．【答案】(1)見解析(2)①∠E+2∠F=180°，證明見解析；②70°【分析】（1）延長DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延長AB交FQ于M，延長DC交BE于N，設∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．（1）解：證明：延長DC交BE于K，交BP于T，如圖：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，證明如下：延長AB交FQ于M，延長DC交BE于N，如圖：∵射線BP、CQ分別平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，設∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．【點睛】本題考查平行線的性質及應用，涉及角平分線定義，三角形內角和等，解題的關鍵是用含α，β的式子表示∠E，∠F，從而得到∠E，∠F之間的數量關系．【變式10-2】（2022·廣東·新豐縣教育局教研室七年級期末）細觀察，找規律．（1）下列各圖中的MA1與①圖①中的∠A②圖②中的∠A③圖③中的∠A④圖④中的∠A⑤第⑩個圖中的∠A⑥第n個圖中的∠A（2）下列各圖中AB//①圖甲中∠B、∠C、∠BEC的數量關系是______．②圖乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的數量關系是______．③圖丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的數量關系是______．【答案】（1）①180°；②360°；③540°；④720°；⑤1800°；⑥180n°；（2）①∠B+∠C=∠BEC；②∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；③∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M【分析】（1）通過作平行線，由平行線的性質可逐題求解，注意找規律；（2）通過作平行線，由平行線的性質可逐題求解．【詳解】解：（1）∵MA∴∠A過A2作A∵MA∴A2∴∠A過A2作A2P//M∵MA∴A2∴∠A過A2作A2P//MA1，過A∵MA∴A2∴∠A…同理：∠A∠A故答案為①180°；②360°；③540°；④720°；⑤1800°；⑥180n°；（2）①∵AB//∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，∴∠B+∠C=∠BEC；②過G作GN//∵AB//∴AB//∴∠B+∠EGN=∠E，∠NGF+∠C=∠F，∴∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；③過F作FP//AB，過H作∵AB//∴AB//∴∠B+∠EFP=∠E，∠PFG+∠GHQ=∠G，∠QHM+∠C=∠M，∴∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．故答案為①∠B+∠C=∠BEC；②∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；③∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握平行線的性質，作出輔助線．【變式10-3】（2022·北京師范大學附屬實驗中學分校七年級期末）已知，如圖1，射線PE分別與直線AB，CD相交于E、F兩點，∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，射線PM交CD于點N，設∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80?2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直線AB與CD的位置關系是；(2)如圖2，若點G、H分別在射線MA和線段MF上，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數量關系，并證明你的結論；(3)若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖3），分別與AB、CD相交于點M1和點N1時，作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q，問在旋轉的過程中∠FPN【答案】(1)40，40，平行；(2)∠GHF+∠FMN=180°；證明見解析；(3)不變，2【分析】（1）根據非負數的性質求出α、β，再根據角平分線的性質和平行線的判定得出AB平行于CD；（2）根據AB∥CD得出∠BMN＝∠PNF，由∠MGH＝∠PNF可得∠MGH＝∠BMN，可證MN∥GH，利用平行線的性質可證∠FMN=∠GHF；（3）作QU∥AB，PI∥AB，可證∠MQM1=∠QM1(1)解：∵80?2a＋|β﹣40|＝0，∴80?2α=0，β﹣40＝0，∴α=40，β＝40，∵∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，∴∠PFM＝∠NFM＝40°，∴∠EFM＝∠NFM，∴AB∥CD，故答案為：40，40，平行．(2)解：∠GHF+∠FMN=180°；證明：∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠PNF，∵∠MGH＝∠PNF，∴∠MGH＝∠BMN，∴MN∥GH，∴∠FMN=∠GHM，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠GHF+∠FMN=180°．(3)解：不變；作QU∥AB，PI∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥QU∥PI，∴∠UQM1＝∠QM1B，∠UQF＝∠QFN，∠IPM1＝∠PM1B，∠IPF＝∠PFN，∴∠MQM1=∠Q∵∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q，∴∠PM1B=2∠Q∴∠FPN∴∠FPN【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，解題關鍵是熟練運用平行線的性質與判定進行推理和證明．【考點11平行線在折疊問題的運用】【例11】（2022·山東濰坊·七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC，則翻折角∠1與∠2一定滿足的關系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1?∠2=30° D．2∠1?3∠2=30°【答案】B【分析】根據平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根據折疊和平角定義可求出∠1+∠2=90°．【詳解】解：由翻折可知，∠DAE=2∠1，∠CBF=2∠2，∵AD//BC,∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAE+∠CBF=180°，即2∠1+2∠2=180°，∴∠1+∠2=90°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的性質，解題關鍵是熟練運用平行線的性質進行推理計算．【變式11-1】（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，則∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【詳解】試題分析：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=110°，∠C=90°，∴∠FMB＝∠A＝∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=∠FMN=12∠FMB=1∠BNM=∠FNM=12∠FNM=1∠B=180°－故選：C．【點睛】點睛：本題考查了平行線性質，翻折變換，三角形內角和定理的應用，關鍵是求出∠BMN和∠BNM的度數．【變式11-2】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，將三角形ABC向下翻折，使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE∥BC．【答案】見解析.【分析】由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行線的判定證明即可．【詳解】∵將三角形ABC向下翻折，使點A與點C重合，折痕為DE，∴∠AED＝∠CED，∠AED＋∠CED＝180°，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC.【點睛】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到平行線的判定，熟知折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．【變式11-3】（2022·江蘇·常州市第二十四中學七年級期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．(1)如圖①，當AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質和平行線的性質即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內角和定理可得∠B+∠C=90°，再由∠C?∠B=50°根據角的和差計算即可得∠C的度數，進而得∠B的度數．②根據翻折的性質和三角形外角及三角形內角和定理，用含x的代數式表示出∠FDE、∠DFE的度數，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】（1）由翻折的性質可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE，∴∠C＝∠CDE，∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；（2）①∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°又∵∠C?∠B=50°，∴∠C＝70°，∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°則∠ADB=160°?x°,∠ADF=20°+x°,由翻折可知：∵∠ADE=∠ADB=160°?x°,∠E=∠B=20°,∴∠FDE=140°?2x°,∠DFE=20°+2x°,當∠FDE＝∠DFE時，140°?2x°=20°+2x°,解得：x°=30°；當∠FDE＝∠E時，140°?2x°=20°，解得：x°=60°（因為0＜x≤45，故舍去）；當∠DFE＝∠E時，20°+2x°=20°，解得：x°＝0（因為0＜x≤45，故舍去）；綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．且x=30．【點睛】本題考查圖形的翻折、三角形內角和定理、平行線的判定及其性質、等角代換，解題的關鍵是熟知圖形翻折的性質及綜合運用所學知識．【考點12平行線在三角尺中的運用】【例12】（2022·浙江寧波·七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板ACD繞著點C按順時針以每秒15°的速度旋轉90°后停止．在此旋轉過程中，當旋轉時間t=______________秒時，三角板A′CD【答案】2或3或5【分析】分三種情況：①當A′C∥AB時，②當A′D′∥AC時，③當A′【詳解】解：分三種情況：①當A′C∥∴∠A′CA＝∠∴15t＝45，∴t＝3；②當A′D′∴∠A′CA＝∠∴15t＝30，∴t＝2；③當A′D′∥AB時，如圖，過點C作CE∥AB，則CE∥AB∥∴∠ACE＝∠A，∠ECA′＝∠∴∠A′CA＝∠ACE＋∠ECA′＝∠∴15t＝75，∴t＝5．綜上所述，當旋轉時間t＝2或3或5秒時，三角板A′CD故答案為：2或3或5．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．【變式12-1】（2022·河北·青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點C與點E重合，BC邊與EF邊都在直線l上，若直線MN∥AC，且MN經過點D，則∠CDN=_________；【答案】75°##75度【分析】利用平角的定義可得∠ACD=180°?∠ACB?∠FCD=75°，然后利用平行線的性質即可求解.【詳解】由題意得：故答案為75°.【點睛】本題主要考查了平角的定義，平行線的性質，能熟練運用平角的定義和平行線的性質是解決本題的關鍵.【變式12-2】（2022·四川達州·八年級期末）一副三角板ADE和ABC按如圖1所示放置，點B在斜邊AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．現將三角板ADE固定不動，三角板A