第頁專題4.4線段、射線、直線【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段、射線、直線概念辨析】 1【題型2線段、射線、直線的區別與聯系】 4【題型3計數問題及其應用】 7【題型4利用線段的和與差求線段長度】 9【題型5線段中點的有關計算】 13【題型6線段n等分點的有關計算】 17【題型7線段的數量關系】 22【題型8兩點間的距離】 28【題型9直線、線段的性質】 32【題型10線段的長短比較及其應用】 35【知識點1線段、射線、直線】名稱直線射線線段圖形BABAABABBABA端點個數無一個兩個表示法直線直線AB（BA）射線射線AB線段線段AB（BA）作法敘述作直線作直線AB作射線作射線AB作線段作線段AB連接AB延長向兩端無限延長向一端無限延長不可延長【題型1線段、射線、直線概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年級期末）《紅樓夢》第57回有這么一句話，“自古道:‘千里姻緣一線牽’,管姻緣的有一位月下老兒，暗里只用一根紅線，把這兩個人的腳絆住．”請問，這里所說的“線”若是真的，則在數學中指的應是（

）A．直線 B．射線 C．線段 D．以上都不對【答案】C【分析】根據線段的定義解答即可．【詳解】解：“自古道：‘千里姻緣一線牽’，管姻緣的有一位月下老兒，暗里只用一根紅線，把這兩個人的腳絆住．”請問，這里所說的“線”若是真的，則在數學中指的應是線段．故選：C．【點睛】本題考查了線段，掌握線段的定義（有兩個端點的線）是解題的關鍵．【變式1-1】（2022·全國·七年級課時練習）下列說法正確的是（

）A．直線AB和直線BA表示同一條直線 B．過一點P只能作一條直線C．射線AB和射線BA表示同一條射線 D．射線a比直線b短【答案】A【分析】根據直線和射線的表示方法，和過一點可以做無數條直線，依次判斷A、C、B，再利用射線與直線不能進行長短的比較判斷D即可．【詳解】解：A、直線可以用兩個大寫字母來表示，且直線沒有方向，所以AB和BA是表示同一條直線；故A正確．B、過一點P可以作無數條直線；故B錯誤．C、射線AB和射線BA，端點不同，方向相反，故射線AB和射線BA表示不同的射線；故C錯誤．D、射線和直線不能進行長短的比較；故D錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了直線，射線的表示方法以及射線和直線的性質，關鍵是要能夠區分直線與射線的不同點．【變式1-2】（2022·河北邢臺·七年級期中）若兩個圖形有公共點，則稱這兩個圖形相交，否則稱它們不相交．如圖，直線PA、PB和線段AB將平面分成五個區域（不包含邊界），若線段PQ與線段AB相交，則點Q落在的區域是（

）A．① B．② C．③ D．④或⑤【答案】B【分析】先根據線段PQ與線段AB有公共點確交點的位置在AB上，連結線段PS，利用線段的延長線所在區域確定點Q落在區域②即可．【詳解】解：∵線段PQ與線段AB相交，設交點為S，∴點S在線段AB上，連結PS并延長，點Q在PS的延長線上，∵PS的延長線在區域②∴點Q在區域②．故選擇B．【點睛】本題主要考查了線段、射線和直線，延長線，點與直線的位置關系：①點經過直線，說明點在直線上；②點不經過直線，說明點在直線外．【變式1-3】（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖，平面內有公共端點的六條射線OA,OB,OC,OD,OE,OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1，2，3，4，5，6，7，…則數字“2020”在（

）A．射線OA上 B．射線OB上 C．射線OD上 D．射線OF上【答案】C【分析】通過觀察已知圖形，發現共有六條射線，數字依次落在每條射線上，因此六個數字依次循環，算出2020有多少個循環即可．【詳解】解：通過觀察已知圖形，發現共有六條射線，∴數字1-2020每六個數字一個循環．∵2020÷6=336…4，∴2020在射線OD上．故選：C．【點睛】本題考查了數字的變化類，通過考察數字的所在線段，考查學生觀察和總結能力，解決問題的關鍵是計算出6個數字一個循環．題目整體較為簡單，適合隨堂訓練．【題型2線段、射線、直線的區別與聯系】【例2】（2022·山東·肥城市邊院鎮過村初級中學期末）平面上有三點A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（

）A．點C在線段AB的延長線上B．點C在線段AB上C．點C在直線AB外D．點C可能在直線AB上，也可能在直線AB外【答案】B【分析】根據AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC進行判斷即可．【詳解】解答：解：如圖，在平面內，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴點C為以A為圓心，7為半徑，與以B為圓心，3為半徑的兩個圓的交點，由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC，所以，點C在線段AB上，故選：B．【點睛】本題考查線段、射線、直線的意義，理解點與直線的位置關系是解決問題的關鍵．【變式2-1】（2022·全國·七年級專題練習）如圖，對于直線AB，線段CD，射線EF，其中不能相交的圖是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據直線、射線、線段的特點分析判斷即可；【詳解】AB是直線，CD是線段不能延伸，故不能相交；AB是直線，EF是射線，都可延伸，故可相交；CD是線段，不能延伸，故不能相交；EF是射線，延伸方向與直線AB不相交；故選ACD．【點睛】本題主要考查了直線、射線、線段的特點，準確分析判斷是解題的關鍵．【變式2-2】（2022·天津北辰·七年級期末）如圖，辰辰同學根據圖形寫出了四個結論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經過點C．其中結論正確的結論是______．【答案】①③【分析】根據直線、射線、線段的定義結合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒有端點，向兩邊無限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說法正確；②直線上兩點及兩點之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說法錯誤；③射線AC和射線AD是同一條射線，都是以點A為端點，同一方向的射線，故③說法正確；④直線BD和直線BC相交于點B，直線BD經過點B，不經過點C，故④說法錯誤，故答案為：①③．【點睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關鍵是熟練掌握并區分相關定義．【變式2-3】（2022·山東·東平縣實驗中學課時練習）如圖是四個圖形，每一個圖形都有相應的一句描述，且所有圖形都畫在同一個平面上．①線段AB與射線MN不相交；②點C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長射線AB，會經過點C．其中正確的語句的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據直線、線段、射線的定義以及其性質分別判斷得出即可．【詳解】解：①線段AB與射線MN不相交，根據圖形可得①正確；②根據圖形可得點C不在線段AB上，故②錯誤；根據圖形可得出直線a和直線b會相交，故③錯誤；④根據圖形可得出應為延長線段AB，會經過點C，故④錯誤．故正確的語句的個數是1，故選：B．【點睛】此題主要考查了直線、線段、射線的定義的應用，正確根據題意畫出圖形是解題關鍵.【題型3計數問題及其應用】【例3】（2022·山東·泰安市泰山區大津口中學七年級階段練習）如圖是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個點表示5個車站，在這段路線上往返行車，需印制________種車票（任何兩站之間，往返兩種車票），需要__________種不同的票價．【答案】

20

10【分析】先求得單程的車票數，在求出往返的車票數即可．【詳解】解：5個點中線段的總條數是4×5÷2=10（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應印制10×2=20（種），又∵往返票價是一樣的，∴需要10種票價，故答案為：20；10．【點睛】此題考查了數線段，解決本題的關鍵是掌握“直線上有n個點，則線段的數量有n(n?1)2【變式3-1】（2022·湖南·長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校九年級階段練習）一只小蟲子欲從A點不重復經過圖中的點或者線段，而最終到達目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（

）A．12種 B．13種 C．14種 D．15種【答案】C【分析】根據題意按順序列舉即可解題．【詳解】解：這只小蟲子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14種，故選：C．【點睛】本題考查排列與組合問題，是常見考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式3-2】（2022·全國·七年級課時練習）如圖所示，圖中過A點的直線共有________條，以A為端點的射線共有________條，以A為端點的線段共有________條．【答案】

1

3

5【分析】根據直線沒有端點，射線有1個端點，線段有2個端點，據此分析即可求解．【詳解】解析：過A點的直線只有1條，即直線AC；以A為端點的射線共有3條，即射線AF（或AD）、射線AE（或AC）、射線AG；以A為端點的線段共有5條，即線段AF、AD、AE、AC、AB．故答案為：①1；②3；③5【點睛】本題考查了直線，射線，線段的認識，掌握直線、射線、線段的端點的個數是解題的關鍵．【變式3-3】（2022·全國·七年級專題練習）若直線上有兩個點，則以這兩點為端點可以確定一條線段．請仔細觀察圖形，解決下列問題：(1)如圖1，直線l上有3個點A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個點A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個點，一共可以確定多少條線段？請寫出解題過程．【答案】(1)3(2)6(3)n(n?1)2【分析】（1）根據線段定義即可求解．（2）根據線段的定義即可求解．（3）由（1）（2）找出規律即可求解．（1）解：由圖可得：直線l上有3個點A，B，C，可得線段AB、線段BC和線段AC，則可以確定3條線段，故答案為：3．（2）有圖可得：直線l上有4個點A，B，C，D，可得線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD和線段CD，則可以確定6條線段，故答案為：6．（3）由（1），（2）可得，當直線上有n個點，則：(n?1)+(n?2)+(n?3)+?+3+2+1=n?1+1【點睛】本題考查了線段的定義及數量關系，熟練掌握線段的定義及數量關系是解題的關鍵．【題型4利用線段的和與差求線段長度】【例4】（2022·北京朝陽·七年級期末）一種零件的圖紙如圖所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，則AD的長為_____mm．【答案】80【分析】根據AD＝AB+BC+CD即可得答案．【詳解】解：由圖可知：AD＝AB+BC+CD＝10+50+20＝80（mm）．故答案為：80．【點睛】本題考查了線段的和差，掌握連接兩點間的線段長叫兩點間的距離是解本題的關鍵．【變式4-1】（2022·湖南湘西·七年級期末）如圖，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB【答案】AB=5mm，【分析】結合已知條件根據AB=AD?BD解答，再根據BC=BD?CD求出解即可．【詳解】如圖，∵AD=65mm，BD=60mm，∴AB=AD?BD=65?60=5mm，BC=BD?CD=60?15=45【點睛】本題主要考查了線段的和差，掌握線段之間的數量關系是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·陜西寶雞·七年級期末）如圖，P是線段AB上一點，AB=12cm，M、N兩點分別從P、B出發以1cms、3cms的速度同時向左運動（M在線段AP上，N在線段BP上），運動時間為（1）若M、N運動1s時，且PN=3AM，求AP的長；（2）若M、N運動到任一時刻時，總有PN=3AM，AP的長度是否變化？若不變，請求出AP的長;若變化，請說明理由；（3）在（2）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ=PQ+BQ，求PQ的長．【答案】（1）3cm，證明見解析；（2）長度不變，長度為3cm，證明見解析；（3）6cm或12cm【分析】（1）根據路程、速度、時間公式算出M、N運動1s時所走的距離，根據總長度算出PN+AM的長度，根據PN=3AM分別算出PN和AM的長，再根據AP=AM+MP算出AP的長．（2）設運動到t時刻，即可表示出PM和BN的長度，根據總長度表示出PN+AM的長度，由已知條件PN=3AM，可以得到AM的長度，則AP=AM+PM,即可求得．（3）由已知條件分析可知Q在AP間不符合題意，所以Q可能在PB間或AB的延長線上，根據AQ=PQ+BQ，求得AP=BQ，從而求得與AB的關系．【詳解】（1）當M、N運動1s時，PM=1cm，BN=3cm，∴PN+AM=8cm，∵PN=3AM，∴AM=2cm，PN=6cm，∴AP=PM+AM=3cm．（2）設運動到t時刻，則PM=t，BN=3t，∴PN+AM=12?4t，∵PN=3AM，∴AM=3?t，∴AP=PM+AM=3cm，∴AP的長度不變，長度為3cm．（3）由已知條件可知，Q在AP間不符合題意，∴當Q在PB間時，如圖1，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴PQ+BQ=BP=9=AQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AQ?AP=6cm；當Q在AB的延長線上時，如圖2，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ，∵AQ=BQ+PQ，∴PQ=AQ?BQ=12+BQ?BQ=12cm；綜上所述，PQ=6cm或12cm．．【點睛】本題考查了兩點之間的距離，靈活運用線段和、差、倍、分，轉化線段之間的數量關系是解題的關鍵．【變式4-3】（2022·廣東廣州·七年級期中）已知A，B，C，D四點在同一條直線上，點C是線段AB的中點．(1)點D在線段AB上，且AB=6，BD=13BC(2)若點E是線段AB上一點，且AE=2BE，當AD:BD=2:3時，線段CD與CE具有怎樣的數量關系，請說明理由．【答案】(1)線段CD的長度為2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由見解析【分析】（1）根據線段中點的性質求出BC，根據題意計算即可；（2）分兩種情況討論，當點D在線段AB上和點D在BA延長線上時，利用設元的方法，分別表示出AB以及CD、CE的長，即可得到CD與CE的數量關系．（1）解：如圖1，∵點C是線段AB的中點，AB=6，∴BC=12AB∵BD=13BC∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：當點D在線段AB上，如圖2，設AD=2x，則BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵點C是線段AB的中點，∴AC=12AB=5∴CD=AC-AD=12x∵AE=2BE，∴AE=23AB=103CE=AE-AC=56x∴CDCE=12x56當點D在BA延長線上時，如圖3，設AD=2a，則BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵點C是線段AB的中點，∴AC=12AB=1∴CD=AC+AD=52a∵AE=2BE，∴AE=23AB=23CE=AE-AC=16a∴CDCE=52a16綜上，5CD=3CE或CD=15CE．【點睛】本題考查的是兩點間的距離，正確理解線段中點的概念和性質是解題的關鍵．解第2問注意分類討論．【知識點2利用線段的中點求線段長度】線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點.【題型5線段中點的有關計算】【例5】（2022·重慶·西南大學附中七年級期末）如圖，點D為線段AB的中點，點C為DB的中點，若AB=16，DE=13AE，則線段ECA．7 B．203 C．6 【答案】C【分析】應用一條線上的線段和差關系進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵點D為線段AB的中點，∴AD＝BD＝12AB＝1∵AD＝AE＋DE，DE＝13AE∴AE＋13AE∴AE＝6，DE＝2，∵點C為DB的中點，∴CD＝12BD＝1∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故選：C．【點睛】本題主要考查了一條線上各個線段關系，看清圖中線段關系，熟練掌握兩點間的距離計算方法進行求解是解決本題的關鍵．【變式5-1】（2022·江蘇·沭陽縣修遠中學七年級階段練習）已知點C是線段AB的中點，下列說法：①AB=2AC；②BC=12AB；③AC=BC；④AC+BC=ABA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先畫圖，再結合點C是線段AB的中點，可得AB=2AC,BC=1【詳解】解：如圖，點C是線段AB的中點，∴AB=2AC,BC=1故①，②，③，④都符合題意；故選D【點睛】本題考查的是中點的含義，線段的和差關系，掌握線段的中點的定義是解本題的關鍵.【變式5-2】（2022·江蘇揚州·七年級期末）如果一點在由兩條公共端點的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，這點叫做這條折線的“折中點”．如圖，點D是折線A﹣C﹣B的“折中點”，請解答以下問題：(1)當AC＞BC時，點D在線段上；當AC＝BC時，點D與重合；當AC＜BC時，點D在線段上；(2)當AC＜BC時，若E為線段AC中點，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長度．【答案】(1)AC，點C，BC(2)28cm【分析】（1）由“折中點”的定義判斷（2）由“折中點”的定義判斷D在BC上，列式計算即可（1）解：當AC＞BC時，由“折中點”的定義可知點D在線段AC上；當AC＝BC時，點D與點C重合當AC＜BC時，點D在線段BC上（2）如下圖，∵E為線段AC中點∴AE=EC=8cm∴BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)∴CB=BD+DC=22+6=28(cm)【點睛】本題考查了線段的加減，理解新定義“折中點”并畫出圖形是解題關鍵．【變式5-3】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實驗學校七年級階段練習）直線l上的三個點A、B、C，若滿足BC＝12AB，則稱點C是點A關于點B的“半距點”．如圖1，BC＝12AB，此時點C就是點A關于點若M、N、P三個點在同一條直線m上，且點P是點M關于點N的“半距點”，MN＝6cm．(1)MP=_____cm(2)若點G也是直線m上一點，且點G是線段MP的中點，求線段GN的長度．【答案】(1)3或9(2)92cm【分析】（1）根據點P是點M關于點N的“半距點”，可得PN=1（2）根據點G是線段MP的中點，結合（1）分兩種情況即可求得線段GN的長度（1）如圖所示：第一種情況：∵點P是點M關于點N的“半距點”，∴PN=1∵MN=6cm，P∴M第二種情況：∵MN=6cm，P∴M綜上：MP的長度為3cm或9cm（2）如圖所示：第一種情況：點G1是線段M∴M∴G第二種情況：點G2是線段M∴M∴G綜上：線段GN的長度為92cm或【點睛】本題考查了兩點間的距離，準確理解概念并作出圖形是解題關鍵．【題型6線段n等分點的有關計算】【例6】（2022·湖南·郴州市明星學校七年級階段練習）如圖所示，C，D兩點把線段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中點，DB＝12，求AM的長．【答案】13.5【分析】根據比例設出AC、CD、DB的長度，然后根據DB的長度求出三條線段的長度，從而得到AB的長度，再根據點M是AB的中點求出AM的長度．【詳解】解：設AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x，∵DB＝12，∴4x＝12，解得x＝3，∴AC＝2×3＝6，CD＝3×3＝9，∴AB＝AC+CD+DB＝27，又M為AB中點，∴AM＝12AB【點睛】本題考查了線段的和差倍分，以及中點的計算，根據比例設出線段AC、CD、BD的長度是解題的關鍵．【變式6-1】（2022·江蘇·鼓樓實驗中學七年級階段練習）定義：數軸上的三點，如果其中一個點與近點距離是它與遠點距離的12，則稱該點是其他兩個點的“倍分點”．例如數軸上點A，B，C所表示的數分別為﹣1，0，2，滿足AB＝12BC，此時點B是點A，C的“倍分點”．已知點A，B，C，M，（1）A，B，C三點中，點是點M，N的“倍分點”；（2）若數軸上點M是點D，A的“倍分點”，則點D對應的數有個，分別是；（3）若數軸上點N是點P，M的“倍分點”，且點P在點N的右側，求此時點P表示的數．【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）212【分析】（1）利用“倍分點”的定義即可求得答案；（2）設D點坐標為x，利用“倍分點”的定義，分兩種情況討論即可求出答案；（3）利用“倍分點”的定義，結合點P在點N的右側，分兩種情況討論即可求出答案．【詳解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=12BN∴點B是點M，N的“倍分點”；（2）AM=-1-（-3）=2，設D點坐標為x，①當DM=12AM時，DM∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，②當AM=12DM時，DM=2AM∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，綜上所述，則點D對應的數有4個，分別是-2，-4，1，-7，故答案為：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，當PN=12MN時，PN=12×9=∵點P在點N的右側，∴此時點P表示的數為212當MN=12PN時，PN=2MN∵點P在點N的右側，∴此時點P表示的數為24，綜上所述，點P表示的數為212【點睛】本題考查了數軸結合新定義“倍分點”，正確理解“倍分點”的含義是解決問題的關鍵．【變式6-2】（2022·全國·七年級專題練習）已知線段AB=15cm，點C在線段AB上，且AC:CB=3:2(1)求線段AC，CB的長；(2)點P是線段AB上的動點且不與點A，B，C重合，線段AP的中點為M，設AP=m①請用含有m的代數式表示線段PC，MC的長；②若三個點M，P，C中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，則稱M，P，C三點為“共諧點”，請直接寫出使得M，P，C三點為“共諧點”的m的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①PC=(9?m)cm或(9?m)cm，【分析】（1）由AC:CB=3:2可得AC=35AB，CB=25（2）①分點P在線段AC上和點P在線段CB上兩種情況分別計算即可；②分點P在線段AC上和點P在線段CB上兩種情況列方程，可求得m的值．（1）∵AB=15cm，點C在線段AB上，且∴AC=35（2）∵M為線段AP的中點∴AM=MP=1①當點P在線段AC上時PC=AC?AP=(9?m)cm，當點P在線段CB上時PC=AP?AC=(m?9)cm，②當點P在線段AC上時，則MP=PC∴1解得：m=6當點P在線段CB上時，則MC=PC∴9?解得：m=12綜上所述，m=6或12【點睛】本題考查了求線段長度，線段中點的意義及線段的和差，掌握線段中點的意義、線段的和差是解題的關鍵．注意（2）小題要分類討論．【變式6-3】（2022·全國·七年級課時練習）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道問題產生了探究的興趣：如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．(1)根據題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過程中，發現MN的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設AB＝a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，BN=【答案】(1)6(2)①12a；②MN=【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據M，N分別是AC，BC的中點，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+（2）①由M，N分別是AC，BC的中點，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n?1nAC，CN=n?1nBC，即得MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1n（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M，N分別是AC，BC的中點，∴CM=12AC=4，CN=12∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M，N分別是AC，BC的中點，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=1∵AB=a，∴MN=12a故答案為：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=2∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n?1nAC，CN=n?1n∴MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1∵AB=a，∴MN=n?1na故答案為：n?1na【點睛】本題考查了線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．【題型7線段的數量關系】【例7】（2022·江蘇無錫·七年級期末）如圖，C、D是線段AB上兩點，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【答案】C【分析】先分別表示出AC和BD，即可求出兩者的關系．【詳解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴ACBD∴3AC=2BD，

故選：C．【點睛】本題考查線段的計算，熟練掌握線段的和差是解題的關鍵．【變式7-1】（2022·全國·七年級課時練習）如圖1，已知線段AB=20cm，點M是線段AB上一點，點C在線段AM上，點D在線段BM上，C、D兩點分別從M、B出發以acm/s、bcm/s的速度沿直線(1)直接寫出：a=____________，b=_____________；(2)若2cm<AM<4cm，當點C、D運動了3(3)如圖2，若AM=13AB，點N是直線AB上一點，且AN?BN=MN，求MN【答案】(1)1，3(2)8cm(3)MN=13【分析】（1）根據絕對值的非負性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）當C、D運動3s時，MC=3cm，（3）分兩種情況：當點N在線段AB上時；當點N在線段AB的延長線上時；利用線段間的數量關系求解即可．（1）解：∵|a?1|+|b?3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案為：1；3；（2）當C、D運動3s時，MC=3cm，∴AC+MD=AB?MC?BD=20?3?9=8(cm（3）當點N在線段AB上時，∵AN?BN=MN，又∵AN?AM=MN，∴BN=AM=1∴MN=AB?AM?BN=1當點N在線段AB的延長線上時，∵AN?BN=MN，又∵AN?BN=AB，∴MN=AB．綜上所述，MN=13AB【點睛】題目主要考查絕對值的非負性及點的運動，線段間的數量關系等，理解題意，根據圖象得出線段間的數量關系是解題關鍵．【變式7-2】（2022·全國·七年級課時練習）如圖①、②所示，線段AB=20，線段CD=10，點E是BC的中點，設AC=a．(1)當a=4時，則DE的長為______．(2)在圖①中，計算DE的長度（用含a的式子表示）(3)將圖①中的線段CD向右移動到圖②的位置．①直接寫出線段AC與線段DE滿足的數量關系．②在線段AC上有點F，滿足32AF+BE=12AC?AF【答案】(1)2(2)a(3)①AC=2DE，②AF=【分析】（1）先求出BC的長，然后根據中點定義求CE，最后根據DE=CD-CE計算即可；（2）解題的方法和步驟和（1）相同；（3）①先根據線段的和差關系和中點定義用a表示出DE，結合AC=a，即可求出結果；②整理32AF+BE=12AC?AF得到4AF=a?（1）解：BC=AB-AC=20-4=16，∵E是BC的中點，∴CE=12BCDE=CD-CE=10-8=2；（2）解：BC=AB-AC=20-a=20-a，∵E是BC的中點，∴CE=BC=1∴DE=CD?CE=10?1（3）解：①DE=CD?CE=CD?1∵AC=a，∴AC=2DE；-②32∴3AF+2∴4AF=AC?2BE=AC?BC=a?20?a∴AF=a【點睛】本題考查了線段的和與差和線段中點的有關計算，解題的關鍵是熟練運用線段的和差關系和中點的定義求線段長．【變式7-3】（2022·全國·七年級課時練習）某操作車間有一段直線型向左移動的傳輸帶，A，B兩位操作工人站于傳輸帶同側且相距16米，操作組長F也站在該側，且到A，B距離相等，傳輸帶上有一個8米長的工具筐CE．(1)如圖1，當CE位于A，B之間時，F發現工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A米，工具筐E端離B米．(2)工具筐C端從B點開始隨傳輸帶向左移動直至工具筐E端到達以A點為止，這期間工具筐E端到B的距離BE和工具筐E端到F的距離EF存在怎樣的數量關系，并用等式表示，（你可以在圖2中先畫一畫，再找找規律）【答案】(1)7，1(2)EF?BE＝8或EF＋BE＝8或BE?EF＝8【分析】（1）根據線段的和差可得答案；（2）分三種情況：當點C在線段BF上時或當點C在線段AF上時或當點C在線段BA的延長線上時，正確畫出圖形即可得到結論．（1）解：由題意得，AB＝16m，∵F到A，B距離相等，∴AF＝BF＝8m，∵CE＝8m，CF＝1m，∴EF＝8?1＝7m，BE＝8?7＝1m．故答案為：7，1；（2）①當點C在線段BF上時，如圖，設BC＝x，則BE＝8?x，EF＝16?x，∴EF?BE＝（16?x）?（8?x）＝8；②當點C在線段AF上時，如圖，設BC＝x，則BE＝x?8，EF＝16?x，∴EF＋BE＝（16?x）＋（x?8）＝8；③當點C在線段BA的延長線上時，如圖，設BC＝x，則BE＝x?8，EF＝x?16，∴BE?EF＝（x?8）?（x?16）＝8；綜上，EF?BE＝8或EF＋BE＝8或BE?EF＝8．【點睛】本題考查兩點間的距離，熟練掌握線段的和差是解題關鍵．【知識點3直線的性質】經過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡單地：兩點確定一條直線.兩條直線相交，只有一個交點.【知識點4線段的性質】兩點的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點之間，線段最短。連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。【題型8兩點間的距離】【例8】（2022·全國·七年級專題練習）已知線段AB＝10cm，有下列說法：①不存在到A，B兩點的距離之和小于10cm的點；②線段AB上存在無數個到A，B兩點的距離之和等于10cm的點；③線段AB外存在無數個到A，B兩點的距離之和大于10cm的點．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據線段上的點到線段兩端點的距離的和等于線段的長，線段外的點到線段兩端點的距離的和大于線段的長，可得答案．【詳解】解：已知AB＝10cm，①不存在到A，B兩點的距離之和小于10cm的點，正確，符合題意；②線段AB上存在無數個到A、B兩點的距離之和等于10cm的點，正確，符合題意；③線段AB外存在無數個到A、B兩點的距離之和大于10cm的點，正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟知線段上的點到線段兩端點的距離的和等于線段的長，線段外的點到線段兩端點的距離的和大于線段的長是解題關鍵．【變式8-1】（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，A、B、C、D表示四個車站的位置，A、B兩站之間的距離AB=a?b，B、C兩站之間的距離BC=2a?b，B、D兩站之間的距離BD=7(1)求C，D兩站之間的距離CD（用含a，b的式子表示）；(2)當A，C兩站之間的距離AC=90km時，求C、D兩站之間的距離CD．【答案】(1)3(2)44km【分析】（1）根據兩點之間的距離列出代數式即可；（2）根據兩點間的距離列出CD的代數式進行解答．（1）解：CD=BD?BC====（2）AC=a?b+2a?b=3a?2b當AC=90km∵3∴∴CD=3【點睛】本題考查整式的加減、線段的和差等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式8-2】（2022·全國·七年級課時練習）如圖所示，M是線段AB上一定點，AB=12cm，C，D兩點分別從點M，B出發以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（點C（1）當點C，D運動了2s時，求AC+MD的值．（2）若點C，D運時，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】（1）6cm；（2）4；（3）13【分析】（1）由題意得CM=2cm，BD=4cm，根據AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根據C、D的運動速度知BD=2MC，再由已知條件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=13AB（3）分點N在線段AB上時和點N在線段AB的延長線上時分別求解可得．【詳解】解：（1）當點C、D運動了2s時，CM=2cm，BD=4cm∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根據C、D的運動速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=13AB故答案為：4；（3）①當點N在線段AB上時，如圖1，∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴MNAB②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴MNAB綜上：MNAB的值為1【點睛】本題考查了兩點間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系是十分關鍵的一點.【變式8-3】（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點C是線段AB的“二倍點”.（1）①一條線段的中點這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）②若線段AB=20，C是線段AB的“二倍點”，則BC=（寫出所有結果）【深入研究】如圖2，若線段AB=20cm，點M從點B的位置開始，以每秒2cm的速度向點A運動，當點M到達點A時停止運動，運動的時間為t秒.（2）問t為何值時，點M是線段AB的“二倍點”；（3）同時點N從點A的位置開始，以每秒1cm的速度向點B運動，并與點M同時停止.請直接寫出點M是線段AN的“二倍點”時t的值.【答案】（1）①是；②10或203或403；（2）5或103或203【分析】（1）①可直接根據“二倍點”的定義進行判斷；②可分為三種情況進行討論，分別求出BC的長度即可；（2）用含t的代數式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據“二倍點”的意義，分類討論得結果；（3）用含t的代數式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據“二倍點”的意義，分類討論．【詳解】解：（1）①因為線段的中點把該線段分成相等的兩部分，該線段等于2倍的中點一側的線段長．∴一條線段的中點是這條線段的“二倍點”故答案為：是.②∵AB=20，C是線段AB的“二倍點”，當AB=2BC時，BC=1當AC=2BC時，BC=1當BC=2AC時，BC=2故答案為：10或203或40（2）當AM=2BM時，20-2t=2×2t，解得：t=103當AB=2AM時，20=2×（20-2t），解得：t=5；當BM=2AM時，2t=2×（20-2t），解得：t=203答：t為103或5或20（3）當AN=2MN時，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；當AM=2NM時，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=152當MN=2AM時，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=607答：t為152或8或60【點睛】本題考查了方程的解法、線段的和差等知識點，題目需根據“二倍點”的定義分類討論，理解“二倍點”是解決本題的關鍵．【題型9直線、線段的性質】【例9】（2022·全國·七年級課時練習）下列現象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線④把彎曲的公路改直，就能縮短路程其中能用“兩點之間線段最短”來解釋的現象有（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】直接利用直線的性質和線段的性質分別判斷得出答案．【詳解】解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是兩點確定一條直線，故此選項不合題意；②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設，能用“兩點之間，線段最短”來解釋，故此選項符合題意；③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，利用的是兩點確定一條直線，故此選項不合題意；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，能用“兩點之間，線段最短”來解釋，故此選項符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了直線的性質和線段的性質，正確掌握相關性質是解題關鍵．【變式9-1】（2022·河南·鄭州市第四初級中學七年級期末）值日生小明想把教室桌椅擺放整齊，為了將一列課桌對齊，他把這列課桌的最前面一張和最后面一張先拉成一條線，其余課桌按這條直線擺放，這樣做用到的數學知識是__________．【答案】兩點確定一條直線．【分析】利用直線的性質進而分析得出即可．【詳解】解：先把最前面一張和最后面一張先拉成一條線，其余課桌按這條直線擺放，這樣做用到的數學知識是：兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．【點睛】此題主要考查了直線的性質，正確將實際生活知識與數學知識聯系是解題關鍵．【變式9-2】（2022·浙江紹興·七年級期末）如圖，在方格紙中，點A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直線上的三個點有（

）．A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【答案】C【分析】利用網格作圖即可.【詳解】如圖：在同一直線上的三個點有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5組，故選：C【點睛】此題考查了直線的有關概念，在網格中找到相應的直線是解答此題的關鍵.【變式9-3】（2022·廣東汕尾·七年級期末）如圖，點C在∠AOB的邊OA上，選擇合適的畫圖工具按要求畫圖．，（1）反向延長射線OB，得到射線OD，在射線OD上取一點F，使得OF=OC；（2）使用量角器，畫出∠AOD的角平分線OE；（3）在射線OE上作一點P，使得CP+FP最小；（4）寫出你完成（3）的作圖依據：______．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）兩點之間線段最短【分析】（1）又O為圓心，OC為半徑畫弧交OB的反向延長射線OD交于點F；（2）先用量角器測出∠AOD的度數，再得出一半的度數的位置，該點與O連接即可得出OE．（3）連接CF交OE有點P，點P即為所求．（4）根據兩點之間線段最短解決問題．【詳解】解：（1）如圖，射線OD，點F即為所求．（2）如圖，射線OE即為所求．（3）如圖，點P即為所求．（4）兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短．【點睛】本題考查了作圖，角平分線的定義，兩點之間線段最短等知識．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質．【題型10線段的長短比較及其應用】【例10】（2022·江蘇·無錫市華莊中學七年級期中）如圖，在公路MN兩側分別有A1,A2,···,①車站的位置設在C點好于B點；②車站的位