時間序列分析試卷及答案

時間序列分析試卷1一、填空題（每小題2分，共計20分）1.ARMA(p,q)模型是一種常用的時間序列模型，其中模型參數為p和q。2.設時間序列{Xt}，則其一階差分為Xt-Xt-1.3.設ARMA(2.1)：Xt=0.5Xt-1+0.4Xt-2+εt-0.3εt-1，則所對應的特征方程為1-0.5B-0.4B^2+0.3B。4.對于一階自回歸模型AR(1):Xt=10+φXt-1+εt，其特征根為φ，平穩域是|φ|<1.5.設ARMA(2.1):Xt=0.5Xt-1+aXt-2+εt-0.1εt-1，當a滿足|a|<1時，模型平穩。6.對于一階自回歸模型Xt=φXt-1+εt，其平穩條件是|φ|<1.7.對于二階自回歸模型AR(2):MA(1):Xt=εt-0.3εt-1，其自相關函數為Xt=0.5Xt-1+0.2Xt-2+εt，則模型所滿足的XXX-Walker方程是ρ1-0.5ρ2=0.2，ρ2-0.5ρ1=1.8.設時間序列{Xt}為來自ARMA(p,q)模型：Xt=φ1Xt-1+。+φpXt-p+εt+θ1εt-1+。+θqεt-q，則預測方差為σ^2(1+θ1^2+。+θq^2)。9.對于時間序列{Xt}，如果它的差分序列{ΔXt}是平穩的，則Xt~I(d)。10.設時間序列{Xt}為來自GARCH(p,q)模型，則其模型結構可寫為σt^2=α0+α1εt-1^2+。+αpεt-p^2+β1σt-1^2+。+βqσt-q^2.二、（10分）設時間序列{Xt}來自ARMA(2,1)過程，滿足(1-B+0.5B^2)Xt=(1+0.4B)εt，其中{εt}是白噪聲序列，并且E(εt)=0，Var(εt)=σ^2.1）判斷ARMA(2,1)模型的平穩性。根據特征方程1-φ1B-φ2B^2，求得其根為0.5±0.5i，因此模型的平穩條件是|φ1-0.5i|<1和|φ1+0.5i|<1，即-1<φ1<1.因為0.5i不在實軸上，所以模型不是嚴平穩的，但是是寬平穩的。2）利用遞推法計算前三個格林函數G,G1,G2.根據ARMA(2,1)的方程，有Xt=(1+0.4B)εt/(1-φ1B-φ2B^2)，展開得到Xt=εt+0.4εt-1+φ1εt-1-φ1*0.4εt-2-φ2εt-2.因此，有G0=1，G1=0.4，G2=φ1-0.4φ2.三、某國1961年1月至2002年8月16-19歲失業女性的月度數據進行一階差分后平穩，樣本自相關系數和偏相關系數如下表所示：k。|rho_hat|phi_hat|1.|-0.47.|-0.47.|2.|0.06.|-0.21.|3.|-0.07.|-0.18.|4.|0.04.|-0.10.|5.|0.00.|-0.05.|6.|0.04.|0.02.|7.|-0.04.|-0.01.|8.|0.06.|0.01.|9.|-0.07.|-0.05.|10.|-0.05.|0.00.|1)根據自相關系數和偏相關系數的圖像以及ACF和PACF截尾的情況，初步判斷該時間序列可能屬于AR(1)或MA(1)模型。2)對于所識別的模型，可以使用矩估計法估計參數和白噪聲方差。四、設時間序列{Xt}服從ARMA(1,1)模型：X_t=0.8X_{t-1}+\epsilon_t-0.6\epsilon_{t-1}$$其中$X_{100}=0.3,\epsilon_{100}=0.01$。1)由于該模型為ARMA(1,1)，因此可以使用遞推公式和已知的$X_{100}$和$\epsilon_{100}$來計算未來3期的預測值。2)給出未來3期的預測值的95%預測區間，可以使用預測公式和樣本白噪聲方差的估計值來計算。五、設時間序列{Xt}服從AR(1)模型：X_t=\phiX_{t-1}+\epsilon_t$$其中{εt}為白噪聲序列，$E(\epsilon_t)=0,Var(\epsilon_t)=\sigma^2$，$x_1,x_2(x_1\neqx_2)$為來自上述模型的樣本觀測值。根據AR(1)模型的似然函數，可以寫出參數$\phi$和$\sigma^2$的似然函數，并對其取對數后求導數，令導數為0，可以得到$\phi$和$\sigma^2$的極大似然估計值。六、1)由于ARMA(1,1)模型的特征方程為$1-\phiB=0$，因此該模型的平穩解應滿足$|\phi|<1$。根據給定的模型，可以將其寫成$X_t=(0.5+\epsilon_t)(X_{t-1}-0.25\epsilon_{t-1})$的形式，其中{εt}為白噪聲序列。因此，該模型的自相關系數可以通過遞推計算得到，結果為：rho_k=\begin{cases}1.&k=0\\0.27.&k=1\\0.5\rho_{k-1}。&k\geq2\end{cases}$$2)對于任意非零的實數a和b，有$E(Z_t)=aE(X_t)+bE(Y_t)=0$，因此Zt的均值為0.同時，由于{Xt}和{Yt}不相關，有$Var(Z_t)=a^2Var(X_t)+b^2Var(Y_t)=a^2\sigma_X^2+b^2\sigma_Y^2$，其中$\sigma_X^2$和$\sigma_Y^2$分別為{Xt}和{Yt}的方差。因此，只需證明Zt是平穩的即可得到Zt~I(0)。由于{Xt}和{Yt}都是平穩的，因此有：begin{align*}cov(Z_t,Z_{t-k})&=a^2cov(X_t,X_{t-k})+ab[cov(X_t,Y_{t-k})+cov(Y_t,X_{t-k})]+b^2cov(Y_t,Y_{t-k})\\ab[cov(X_t,Y_{t-k})+cov(Y_t,X_{t-k})]\\0end{align*}其中第二個等號利用了{Xt}和{Yt}不相關的條件，第三個等號利用了cov(Xt,Yt)=0的條件。因此，Zt是平穩的，證畢。七、略。t}是一個長度為n的時間序列，其自回歸模型為AR(1)，即XtαXt-1εt其中εt是一個均值為0，方差為σ2的白噪聲序列。1）寫出AR(1)模型的特征方程，并求出其特征根。2）若α=0.5，n=100，X11，εtN(0,1)，求出X100的期望和方差的近似值。3）如果我們知道Xt的前兩個值X1和X2能否精確地預測Xn的值？如果不能，能否給出一個區間估計？4）如果我們想預測Xn+1的值，應該如何做？給出預測的公式。得分十一、（20分）已知平穩時間序列{Xt服從ARMA(1.1)模型：Xt0.8Xt-1εt0.6εt-1其中X1000.3，ε1000.01.1）給出未來3期的預測值；2）給出未來3期的預測值的95%預測區間。解答：根據ARMA(1.1)模型的特點，可以得到X1010.8*0.3+0.01-0.6*0.01=0.248，X1020.8*0.248+0.01-0.6*0.01=0.1984，X1030.8*0.1984+0.01-0.6*0.01=0..根據ARMA(1.1)模型的特點，可以得到未來3期的預測值的方差為Var(X101Var(0.8X100ε1010.6ε1000.64Var(X1001.36Var(ε1010.64*Var(X1001.36*σ2因為X100和ε101的值已知，所以可以計算出方差的值，從而得到未來3期的預測值的95%預測區間。5.時間序列預處理通常進行兩種檢驗，即單位根檢驗和平穩性檢驗。對于給定的時間序列{Xt}，假設其誤差項{εt}為正態白噪聲序列，且滿足E(εt)=0，Var(εt)=σ2.給定模型為Xt=0.8Xt-1+εt-εt-1，需要判斷該模型是否平穩。如果模型平穩，說明其均值和方差不隨時間變化而改變，否則就是非平穩的。6.給定的時間序列{Xt}服從ARMA(1,1)模型，具體為Xt=0.8Xt-1+εt-0.6εt-1，其中X100=0.3，ε100=0.01.首先需要進行模型參數的估計，然后可以利用已知的模型對未來3期的預測進行計算。同時，可以根據已知的模型和樣本數據，計算出未來3期預測值的95%置信區間。7.給定的樣本數據包含自相關系數和偏自相關系數，需要根據這些信息確定時間序列模型并進行參數估計。在這個例子中，樣本數據包含500個數據點，樣本方差為2.997.根據樣本數據，可以得到自相關系數和偏自相關系數的值，進