第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第四講隨機事件的概率古典概型知識梳理·雙基自測名師講壇·素養提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一隨機事件的有關概念1．隨機試驗——對隨機現象的實現和對它的觀察．常用E表示．樣本點——隨機試驗的每個可能的___________.常用w表示．樣本空間——全體樣本點的集合，常用Ω表示．基本結果2．隨機事件——樣本空間Ω的子集，簡稱事件，常用A，B，…表示．基本事件——___________________的事件．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時稱為事件A發生，Ω_______發生，稱Ω為必然事件，?在每次試驗中都_______發生，稱?為不可能事件．只包含一個樣本點總會不會知識點二事件的關系與運算

定義符號表示包含關系若事件A_______，則事件B___________，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)_____________相等關系若B?A，且______，則稱事件A與事件B相等_________發生一定發生B?A(或A?B)A?BA＝B

定義符號表示并事件

(和事件)若某事件發生_______________________________________，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)____________交事件(積事件)若某事件發生______________________________，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)_____________當且僅當事件A與事件B至少有一個發生A∪B(或A＋B)且僅當事件A與事件B同時發生A∩B(或AB)

定義符號表示互斥事件若A∩B為_________事件，則稱事件A與事件B互斥_________對立事件若A∩B為_________事件，A∪B為__________，則稱事件A與事件B互為對立事件_____________不可能A∩B＝?不可能必然事件且A∪B＝Ω只有有限個相等3．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)P(Ω)＝_____，P(?)＝_____.(3)如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝______________.P(AB)＝_____.(4)如果事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝_______________.(5)如果A?B，那么P(A)_____P(B)．(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．10P(A)＋P(B)01－P(B)≤知識點四頻率與概率在任何確定次數的隨機試驗中，隨機事件A發生的頻率具有隨機性．隨著試驗次數n的增大，事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)．稱頻率的這個性質為頻率的穩定性，因此，可用頻率fn(A)估計概率P(A)．1．頻率隨著試驗次數的改變而改變，概率是一個常數．2．對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．3．求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數常用兩個計數原理及排列、組合知識，另外還有列舉法、列表法、樹狀圖法等．4．當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．×××√√題組二走進教材2．(必修2P235例8)同時擲兩個骰子，向上點數不相同的概率為______.AD5．(2021·全國高考)將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為(

)A．0.3 B．0.5C．0.6 D．0.8C考點突破·互動探究(1)(多選題)(2022·山東濰坊核心素養測評)不透明的口袋內裝有紅色和綠色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有()A．2張卡片都不是紅色B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色D．2張卡片至多有一張紅色例1考點一隨機事件的關系——自主練透AB(2)一枚均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A表示向上的一面出現奇數點，事件B表示向上的一面出現的點數不超過3，事件C表示向上的一面出現的點數不小于4，則(

)A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件D(3)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[解析]

(1)“2張卡片都為紅色”的對立事件為“2張卡片不都為紅色”即“2張卡片至多有一張紅色”．排除D；“2張卡片至少有一張紅色”包含“2張卡片都為紅色”排除C.選AB.(2)根據互斥事件與對立事件的定義作答，A∩B＝{出現點數1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件．(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，即有且僅有一個發生．〔變式訓練1〕(1)(2022·寧夏檢測)抽查10件產品，設事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對立事件為(

)A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品B(2)(多選題)(2022·江蘇蘇北七市三模)從裝有5只紅球、5只白球的袋中任意取出3只球，下列各對事件為對立事件的有()A．“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”B．“取出3只紅球”與“取出的3只球中至少有1只白球”C．“取出3只紅球”與“取出3只白球”D．“取出的3只球中至少有2只紅球”與“取出的3只球中至少有2只白球”BD[解析]

(1)∵“至少有n個”的反面是“至多有n－1個”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的對立事件為“至多有1件次品”．(2)從裝有5只紅球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的情況有：3只均為紅球；2只紅球1只白球；1只紅球2只白球；3只均為白球．所以，對于A選項，“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”為互斥事件，但不是對立事件，故錯誤；對于B選項，取出的3只球中至少有1只白球包含：2只紅球1只白球；1只紅球2只白球；3只均為白球，故與取出3只紅球為對立事件，故正確；對于C選項，“取出3只紅球”與“取出3只白球”為互斥事件，但不是對立事件，故錯誤；對于D選項，“取出的3只球中至少有2只紅球”包含事件：3只均為紅球；2只紅球1只白球，“取出的3只球中至少有2只白球”包含事件：1只紅球2只白球；3只均為白球，故為對立事件，故正確．例2考點二古典概型——師生共研BDC[引申]本例(4)中，(1)“必須分開”改為“相鄰”，則概率為______；(2)“必須分開”改為“不和‘數’相鄰”的概率為______.求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，較復雜事件的基本事件數可用排列、組合知識求得，具體應用時可根據需要靈活選擇．BA例3考點三較復雜的古典概型問題——多維探究B例4BB例5D角度4古典概型與統計的綜合(2022·天津南開中學模擬)為了解學生課外使用手機的情況，某學校收集了本校500名學生2021年12月課余使用手機的總時間(單位：小時)的情況．從中隨機抽取了50名學生，將數據進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知這50名學生中，恰有3名女生課余使用手機的總時間在[10,12]，現在從課余使用手機總時間在[10,12]的樣本對應的學生中隨機抽取3名，則至少抽到2名女生的概率為(

)例6C[引申]本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率為______；(2)“至多抽到1名女生”的概率為______.較復雜的古典概型問題的求解方法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關的知識轉化為事件，列舉基本事件，求出基本事件總數和隨機事件中所含基本事件的個數，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算．AA(4)(角度4)(2022·衡水中學模擬改編)某中學有初中生1800人，高中生1200人，為了解學生本學期課外閱讀時間，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們課外閱讀時間，然后按“初中生”和“高中生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間(單位：小時)分為5組：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取2人，則至少抽到1名高中生的概率為______.名師講壇·素養提升例7有放回抽樣與無放回抽樣A(2)(2022·山東濟南一中期中)已知7件產品中有5件合格品，2件次品，為找出這2件次品，每次任取一件檢驗，檢驗后不放回，則“