華東師大版二次根式【知識回憶】.二次根式：式子 〔a 〕叫做二次根式。.最簡二次根式：必須同時滿足以下條件：⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式；⑵被開方數中;⑶分母中。.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，假設被開方數一樣，則這幾個二次根式就是同類二次根式。.二次根式的性質：〔1〕〔Ja〕2=—〔a三0〕； ⑵加=a=；.二次根式的運算： J〔1〕因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，則，就可以用它的算術平方根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，則先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．〔2〕二次根式的加減法：先把二次根式化成 再合并同類二次根式．〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，將被開方數相乘〔除〕，所得的積〔商〕仍作積〔商〕的被開方數并將運算結果化為．Sab=〔aA0，bA0〕；處=退〔bn0，a〉0〕.

?,aOa〔4〕有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.專題一二次根式知識點一：二次根式的概念例］以下各式［(I)J;(2)/3(3)—√n+2(4)√T(5)J(— (6)√PΣ(7) —2〃+1其中是二次根式的是〔填序號〕.例2使術T*12有意義的*的取值*圍是〔 〕A.*≥0B.*≠2C.*>2D.*≥0且*≠2.例3假設y=√T≡^+、/5^X+2009,則*+y=練習1使代數式xΞ3I有意義的*的取值*圍是X—4練習2假設X—1——E=(X+y)2,則*—y的值為例4假設a—2+b——3=0,則a2—b=。例5在實數的*圍內分解因式：*4-4*2+4=例6假設a、b為正實數，以下等式中一定成立的是〔 〕：A、λJo2+、M=Ja2+b2；B、??〔Γa2+b2l〕2=a2+b2;c、ι√a +√b 〕2= a2+b2; D、〔a—b〕2 =a-b；【知識點2】二次根式的性質：〔1〕二次根式的非負性，Q≥0(a≥0)的最小值是;也就是說G〔出之0〕是一個,即4α≥0(a≥0)。注：因為二次根式,藍≥0(a≥0)表示a的算術平方根，這個性質在解答題目時應用較多，士口_假設Ja+√'b=0，則a=0,b=0;假設Ja+Ib=0，則a=0,b=0;假設,值+b2=0,則a=0,b=0o〔2〕(%a)2=a〔而之0〕文字語言表達為：一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。注：二次根式的性質公式Qa)2=a〔口之。〕是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：假設厘之口，則a=Q.a)2，如：2=(J2)2〔3〕=h∣=4a、b、CL≈?≥0)E("O’為三角形的三條邊，則例7V(a+b—c)2+∣b—a—c∣—例8的根號外的〔2-*〕適當變形后移入根號內，得例9假設二次根式、：.=有意義，化簡l*-4∣-∣7-*I=。例10*、y是實數，且滿足y=?,'*-6+√6-*+1試求9*—2y的值例11例12假設實數a滿足+a=0,則有以下命題中，正確的選項是〔A.假設a>b,則Ja>-,l'bB.假設√a>a,則a>0131415C.假設∣a∣=(?6)2,則a=bK是整數，則正整數n的最小值是A、4；B、5；實數α、b在數軸上的位置如下列圖，a+-=√,7,則a-1a aD.假設a2=b,則a是b的平方C、6；D、7.則Ia-b∣-?,a2的結果是什么？根例例例〕〔〕b0a練習1.練習2練習3專題三假設y-〃：五二6J63F+X3,則10*+2丫的平方根為假設VX2-3+V3-X2+2—y試求Xy的值。假設、Xc-y+y2-4y+4=0,求Xy的值二次根式的乘除【知識點1】二次根式的乘法法則：√α??防=Oob(a≥0,b≥0)。將上面的公式逆向運用可得：abb=、"??b(a≥0,b≥0)積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。例1化簡〔1〕Ya2b4+a4b2(a≥0,b≥0)=.〔2〕aj'--a例2以下各式中不成立的是〔〕A.(-4)(-X2)=2XB.k402-242=√64×16=32C.、2)'5-1_5_1__4———1———D.(√6+√2)(√6-√'2)=499例3計算3χy5^÷f--4?E×f-5X3yy1例4假設b>0，*<0,化簡:5I15八XI6 )【知識點2】二次根式的除法：--IjX3b〔1〕一般地，對于二次根式的除法規定巴=Ja(a≥0,b〉0).√bYb【注】分母有理化二次根式的除法運算，通常是采用化去分母中的根號的方法來進展的。分母有理化：〔1〕定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。〔2〕關鍵： 把分子、分母都乘以一個適當的式子，化去分母中的根號。例5√2+√3的有理化因式是；*-Jy的有理化因式是.-√X工T-√x-τ的有理化因式是.例6假設V6二布的整數局部為a,小數局部為b。求a+-的值練習：Jlr-1的整數局部為a,小數局部為b,試求(?TT+aX+1)的值【知識點3】最簡二次根式：〔1〕被開放數不含分母；〔2〕被開放數中不含開得盡方的因數或因式。例7以下二次根式中，最簡二次根式是( 〕(A)√12 (B)χ^ 〔C〕、：2 〔D〕√4a3b2例8Xyy0,化簡二次根式X,巨的正確結果為.X2例9設a=?J3-√2,b=2-、；3,c="5-2，則a、b、C的大小關系是專題四二次根式的加減【知識點1】同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被

開方數一樣，這樣的二次根式叫做同類二次根式。.例1在√8、t√75α、2√9a、√125、-√3a?、3√02、-2；1中，與√3a是同3 3 a V8類二次根式的有例2假設最簡根式3a-b4a+3b與根式%.-2ab2-b3+6b2是同類二次根式，求a、b

的值.練習：假設最簡二次根式34藐2二2與n2。4m2-10是同類二次根式，求m、n的

值．【知識點2】二次根式的加減：二次根式加減時,可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開放數一樣的根式進展合并。例3 〔1〕4-(√48+?6)÷√27 〔2〕3√90+.l∣-43 4 5例44*2+丫2-4*-6丫+10=0,求〔3Xo9X+yz{E〕-〔*2、J-5*{2)的值.【知識點3】二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方,再乘除,最后加減,有括號的先算括號里面的。例5計算〔1〕f4a+-?：—[√α—二: 〔2〕^aZbf—a+b-2千V√aJk√αJ √α—JbJa—bb例6假設*,y為實數，且y=√E+<41—1+1.求:X+2+?—Ix—2+?2yx?-yx的值.例7*=131三,N=土E，求——χ3二xy2——的值.33—22 33+22 x4y+2x3y2+X2y3例8a、b為實數，且滿足a=√b≡3+n+2，求,法'"二1的值。a+b二次根式加減練習練習一：分母有理化：練習二：最簡二次根式1把以下各式化成最簡二次根式：以下根式中不是最簡二次根式的是〔〕．A.√2 B.Y6 C<8D.V10以下根式中，不是最簡二次根式的是〔〕A.√7 B.V3 C.\；2 D.√2以下根式中不是最簡二次根式的是〔〕A.√10B.√8C.66D.J2以下二次根式是最簡二次根式的為〔〕A.2√13a B.8Xx2 C.(Iy3 D.《：練習三：同類二次根式.下面與、變是同類二次根式的是〔〕A.√3B.√12C.88D.√2—1.在以下二次根式中，與Va是同類二次根式的是〔〕A.√'2a B.√3a2 C.a~ D.√a4.以下二次根式中與、Q是同類二次根式的是〔〕A.CrID.√184.二次根式、.∕2θ≡4與、2是同類二次根式則a的值可以是〔〕A.5.B.6C.7以下判斷正確的選項是〔D.8〕A.—a一定是負數Bv8是最簡二次根式C.當X≥3時，√'2X=6有意義D.當X=2或X=-2時,分式x≡4的值為零練習四：二次根式的加減〔1〕3√2^+W3-2，、/?—3-√3〔2〕-√8+√18+?√12〔3〕2√3—√8+2√12+5√50〔5〕 (1√27—√24—31-)?.√123 3〔6〕.(2v3—√5)(√2+√3)[a>0,b>0]〔7〕.(Va3b—3ab+γab3)÷(?；ab)4.計算：√12+一二=-(2+√3)o

2—√,35計算：72+A―3八二二次根式乘法同步練習.把以下式子化成最簡二次二次根式〔1〕J49義121〔2〕√300〔4〕Y16ab2C3〔5〕-√24x√27〔6〕√18義\'20XY75￠32X43X5.等式?、,??x+1?E=?Jx2—1成立的條件是〔A.*≥1B.*≥-1C.-1≤*≤1D.*≥1?*≤-1.以下各式正確的選項是〔〕A.%；(—4)X(—9)KNXV—916+4=√16+居,52L⑶√?〕B.⑺D.√'4T9=√4X√9.計算：J(—3)2X(-5)2=； 3a、；ab?2b?,-二;.不求值，比較大小：2v33√2; -4√3-3√5.一個矩形的長和寬分別為6vZm與J6Cm,則這個矩形的面積為Cm.計算題,、4一2- ,、一⑴-v24×3、：6 (2) (√3-1)2⑶J1172-1082(4) (-4)x49×(-144)3A×2H(5)(6)√2√18^+3√32J8.化簡⑴λ96^29Z4 (2)√,2.25a2b (3)χx4+X2y2(4)2++3/3×?；273二次根式測試題一、選擇題.以下式子一定是二次根式的是〔〕A.√1—x—2 B.JX C.yX2+2D.Yx2—2.假設?.,’(3-b)2=3-b,則〔〕A.b>3 B.b<3C.b≥3D.b≤3.假設、3m-1有意義，則m能取的最小整數值是〔〕A.m=0 B.m=1 C.m=2 D.m=3.以下二次根式中屬于最簡二次根式的是〔〕— ■—— 、a - A.<14B.√48C.LD.√4a+4L ?b .如果Vx?4；X-6=.YX(X-6)，則〔〕A.*≥0B.*≥6C.0≤*≤6D.*為一切實數.小明的作業本上有以下四題： _…—. …L —一丁 T： 1.一…① V16a4=4a2 ；②工5a× √10a=5工2a ；③a：— =`a2 ?=■`a ；④ _ Yaa、布-M=高。做錯的題是〔〕A.①BSC.③D.④9.假設最簡二次根式與工.：1元的被開方數一樣，則a的值為〔〕` 3 n 4 八一I 八一IA. a=―― B. a=— C.a—1 D.a———14_ __ 3.化簡迎―√2(?√2+2)得〔〕A.-2B.√,2―2C.2D.4<2―2二、填空題.①、：(-0.3)2=；②T,：(2-J5)2=。.假設m<0,則ImI+Cm2+3：m3=。.√I+Γ?Jx―1=JX2—1成立的條件是。.比較大小：2?√3√13。.λ∕2Xy?γ-8y=,-√12?√27=。.假設X=v5—3，則VX2+6X+5的值為。三、解答題21.求使以下各式有意義的字母的取值*圍:〔1〕√3X—4〔2〕1—8a33〔3〕Jm2+4〔4〕.：-1X22.化簡:〔1〕\：(—144)x(—169)〔3〕—L1024X52〔2〕—1<225

3〔4〕√18m2n23.計算:〔1〕〔3〕2.13-1'3-義(—9√45)

3??4(〔2〕〔4〕■ 24—1———V25222?(—7(\28J111-1√126I3,、J?—— —一 ,、 13 ：3〔5〕4v5+V45—√8+4√2 〔6〕6—2,^—3^四、綜合題〔每題6分，共12分〕1 1b +一+ a+bba(a+b)24.其中a=*''5+1,b=