第18章測量不確定度與回歸分析傳感器與檢測技術（第2版）PAGE422PAGE423第18章測量不確定度與回歸分析（知識點）知識點1測量誤差概述任何測量的目的都是為了獲得被測量的真實值。（1）量值量是物體可以從數(shù)量上進行確定的一種屬性。由一個數(shù)和合適的計量單位表示的量稱為量值，如某壓力為1N。量值有理論真值、約定真值和實際值或標稱值與指示值之分。1）理論真值、約定真值和實際值真值(Truevalue)是指在一定的時間和空間條件下，能夠準確反映被測量真實狀態(tài)的數(shù)值。真值分為理論真值和約定真值兩種情形。理論真值是在理想情況下表征一個物理量真實狀態(tài)或屬性的值，它通常客觀存在但不能實際測量得到，或者是根據(jù)一定的理論所定義的數(shù)值，如三角形三內(nèi)角和為1800；約定真值是為了達到某種目的按照約定的辦法所確定的值，如光速被約定為3×108m/s，或以高精度等級儀器的測量值約定為低精度等級儀器測量值的真值。測量結果與被測量真值之差就是測量誤差(Measuringerror)。誤差公理認為：測量誤差是不可避免的，即“一切測量都存在誤差”。測量誤差的大小反映測量質(zhì)量的好壞。2）標稱值和指示值標稱值是計量或測量器具上標注的量值。指示值（即測量值）是測量儀表或量具給出或提供的量值。（2）精度反映測量結果與真值接近程度的量，稱為精度。精度與誤差的大小相對應，可用誤差的大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。精度可分為：·準確度反映測量結果中系統(tǒng)誤差的影響（大小）程度。即測量結果偏離真值的程度。·精密度反映測量結果中隨機誤差的影響（大小）程度。即測量結果的分散程度。·精確度反映測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測量的不確定度(或極限誤差)來表示。（3）誤差的來源誤差的來源多種多樣，如測量環(huán)境不理想、測量裝置不夠精良、測量方法不合理、測量人員專業(yè)素質(zhì)不達標等等，它們對測量結果的影響或大或小。測量誤差的主要來源可歸納為以下幾個方面。1)測量環(huán)境誤差2)測量裝置誤差3)測量方法誤差4)測量人員誤差（4）誤差的分類為便于對測量數(shù)據(jù)進行誤差分析和處理，根據(jù)測量數(shù)據(jù)中誤差的特征或性質(zhì)可以將誤差分為三種：系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。1)系統(tǒng)誤差（systematicerror）由于測量系統(tǒng)本身的性能不完善、測量方法不完善、測量者對儀器的使用不當、環(huán)境條件的變化等原因所引起的測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點是：對同一被測量進行多次重復測量時，誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規(guī)律出現(xiàn)（如始終偏大、偏小或周期性變化等）。系統(tǒng)誤差的大小表明了測量結果的準確度。系統(tǒng)誤差越小，則測量結果的準確度越高。2)隨機誤差(randomerror)對同一被測量進行多次重復測量時，絕對誤差的絕對值和符號不可預知地隨機變化，但就誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，這類誤差稱之為隨機誤差。隨機誤差的大小表明測量結果重復一致的程度，即測量結果的分散性。通常，用精密度表示隨機誤差的大小。隨機誤差大，測量結果分散，精密度低。反之，測量結果的重復性好，精密度高。3)粗大誤差(spuriouserror)明顯偏離測量結果的誤差稱為粗大誤差（也稱疏忽誤差，或過失誤差）。這是由于測量者粗心大意或環(huán)境條件突然變化引起的。粗大誤差必須避免，含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)應從測量結果中剔出。（5）誤差的表示根據(jù)不同的應用場合和需要，測量誤差的表示方法常用以下幾種：1)絕對誤差就是測量值與真值間的差值，可表示為：（18.1）2)相對誤差就是絕對誤差與真值的百分比，可表示為：（18.2）由于真值無法知道，實際處理時用測量值代替真值來計算相對誤差，即：（18.3）3)引用誤差是相對于儀表滿量程的一種誤差，一般用絕對誤差除以滿量程（即儀表的測量范圍上限與測量范圍下限之差）的百分數(shù)來表示，即：（18.4）式中：－儀表的滿量程。儀表的精度等級就是根據(jù)引用誤差來確定的。如0.5級表的引用誤差不超過±0.5%（即其滿量程的相對誤差為±0.5%），1.0級則不超過±1.0%。根據(jù)國家標準規(guī)定，引用誤差分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共七個等級。4)基本誤差是儀表在規(guī)定的標準條件（即標定條件）下所具有的引用誤差。任何儀表都有一個正常的使用環(huán)境要求，這就是標準條件。如果儀表在這個條件下工作，則儀表所具有的引用誤差為基本誤差。測量儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。在只有基本誤差的情況下，儀表的最大絕對誤差為：（18.5）式中：－儀表的滿量程。最大絕對誤差與測量示值之百分比稱為最大示值相對誤差，即：（18.6）在儀器儀表的精度等級一定時，由上式可知，越接近滿刻度的測量示值，其最大示值相對誤差越小、測量精度越高；在選用儀表時要兼顧精度等級和量程，通常要求測量示值落在儀表滿刻度的三分之二以上。5）附加誤差是指當儀表的使用條件偏離標準條件時出現(xiàn)的誤差。如溫度附加誤差、壓力附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。（6）數(shù)字儀表的誤差表示數(shù)字儀表的基本誤差可用以下兩種方式表示，它們本質(zhì)上是一致的，但后者更方便常用。（18.7）幾個字（18.8）式中：

－絕對誤差－誤差的相對項系數(shù)－被測量的指示值－誤差固定項系數(shù)－儀表的滿量程。是用示值相對誤差表示的，與讀數(shù)成正比，與儀表各單元電路的不穩(wěn)定性有關，稱為讀數(shù)誤差。不隨讀數(shù)變化，一定時，它是個定值，稱為滿度誤差；滿度誤差與所取量程有關，常用“幾個字”來表示。知識點2隨機誤差的處理在等精度測量情況下，得到個測量值，對應的隨機誤差分別為。這組測量值和隨機誤差都是隨機事件，可以用概率統(tǒng)計的方法來處理。(1)隨機誤差的正態(tài)分布曲線實踐表明，隨機誤差有如下三個特征：單峰性。有界性。對稱性。上述三個特征使得當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差將呈現(xiàn)出正態(tài)分布規(guī)律，正態(tài)分布曲線如圖18.2所示。由圖可見：隨機變量在或＝0處附近區(qū)域有最大概率。圖18.2正態(tài)分布曲線(2)正態(tài)分布隨機誤差的數(shù)字特征在實際測量中，由于真值不可能得到。根據(jù)隨機變量的正態(tài)分布特征，可以用其算術平均值來代替。算術平均值反映了隨機變量的分布中心。算術平均值：（18.11）標準差（也稱均方根偏差）：（18.12）式中：－測量次數(shù)－第次測量值。標準差反映了隨機誤差的分布范圍。標準差愈大，測量數(shù)據(jù)的分布范圍就愈大。圖18.3顯示了不同標準差下的正態(tài)分布曲線。由圖可見：越小，分布曲線就越陡峭，說明隨機變量的分散性小，接近真值，即精度高。反之，越大，分布曲線越平坦，隨機變量的分散性就越大，即精度低。18.3不同均方根偏差下正態(tài)分布曲線在實際測量中，由于真值無法知道，就用測量值的算術平均值代替。各測量值與算術平均值的差值稱為殘余誤差，即（18.13）由殘余誤差可計算標準差的估計值，即著名的貝塞爾公式：（18.14）為了求得標準差，設在相同條件下對被測量進行了組的“多次測量”，即分別對每一組作次測量，各組所得的算術平均值為：，由于存在隨機誤差，每組的算術平均值并不完全相同，它們本身也是圍繞真值波動的，但波動的范圍比單次測量的范圍要小，即測量的精度高。算術平均值的精度可由算術平均值的標準差來表示，由誤差理論可以證明，它與的關系如下：（18.15）在不變的情況下，可以畫出與的關系曲線如圖18.4所示。曲線表明，當增大時，測量精度相應提高，但測量次數(shù)達到一定數(shù)目之后(如＞10)，下降很慢。所以要提高測量結果的精度，不能單靠無限地增加測量次數(shù)，而需要從采用適當?shù)臏y量方法、選擇儀器的精度及確定適當?shù)臏y量次數(shù)幾個方面考慮。一般情況下取＝5～10范圍內(nèi)較適宜。圖18.4標準差與測量次數(shù)的關系(3)正態(tài)分布的概率計算為了確定測量的可靠性，需要計算正態(tài)分布在不同區(qū)間的概率。由于標準差是正態(tài)分布的特征參數(shù)，誤差區(qū)間通常表示成的倍數(shù)，如。由于正態(tài)分布的對稱性特點，計算概率通常取成對稱區(qū)間的概率，即：（18.18）式中：－置信系數(shù)－置信概率。表18.1給出幾個典型的值及其對應的概率。表18.1值及其對應的概率0.674511.9622.58340.50.68270.950.95450.990.99730.99994由表18.1可知，當時，＝0.6827，即測量結果中隨機誤差出現(xiàn)在間的概率為68.27%；當時，出現(xiàn)在間的概率為99.73%，相應地，的概率為0.27%，因此一般認為絕對值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為極限誤差。按照上述分析，測量結果常表示為：（18.19）或：（18.20）知識點3系統(tǒng)誤差的處理(1)從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：是由測量系統(tǒng)本身的缺陷或測量方法的不完善造成的，使得測量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。特點：系統(tǒng)誤差不具有抵償性，也不能通過重復測量來消除，因此在處理方法上與隨機誤差完全不同。處理原則：找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源，然后采取相應的措施盡量減小或消除系統(tǒng)誤差。分析系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因一般從以下5個方面著手：·所用測量儀表或元件本身是否準確可靠。·測量方法是否完善。·傳感器或儀表的安裝、調(diào)整、放置等是否正確合理。·測量儀表的工作環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。·測量者的操作是否正確。(2)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別1）實驗對比法2）殘余誤差觀察法3）準則檢查法(3)系統(tǒng)誤差的消除1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源2）在測量系統(tǒng)中采用補償措施3）實時反饋修正4）在測量結果中進行修正知識點4粗大誤差的處理粗大誤差是由于測量人員的粗心大意導致測量結果明顯偏離真值的誤差，含有粗大誤差的數(shù)據(jù)必須被剔除。在對測量數(shù)據(jù)進行誤差處理時，首先要完成粗大誤差的處理。對粗大誤差的判斷一般基于以下幾個準則：(1)拉依達準則也稱為3準則，通常把3作為極限誤差（為標準差）。如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值時，則可認為該值含有粗大誤差，應舍棄。(2)肖維勒準則該準則以正態(tài)分布為前提，假設多次重復測量得到的個測量值中，某個測量值的殘余誤差，則舍棄該測量值。值的選取與測量列的測量值個數(shù)有關，如表18.3所示。肖維勒準則較3準則更細化。表18.3肖維勒準則中的值34567891011121.381.541.651.731.801.861.921.962.002.03131415161820253040502.072.102.132.152.202.242.332.392.492.58(3)格拉布斯（Grubbs）準則若某個測量值的殘余誤差的絕對值，該準則將判斷此值中含有粗大誤差，應剔除。的確定與重復測量次數(shù)和置信概率有關，如表18.4所示。表18.4格拉布斯準則中的值測量次數(shù)置信概率測量次數(shù)置信概率0.990.950.990.95對應不同測量次數(shù)和置信概率的取值對應不同測量次數(shù)和置信概率的取值31.161.15112.482.2341.491.46122.552.2851.751.67132.612.3361.941.82142.662.3772.101.94152.702.4182.222.03162.742.4492.322.11182.822.50102.412.18202.882.56格拉布斯準則的基本處理方法是：設對某被測量作多次等精度獨立測量，得到一組測量值，當這組測量值服從正態(tài)分布時，首先計算這組測量值的算術平均值和標準差的估計值；然后將這組測量值按從小到大的順序排列：，計算和并比較二者的大小。根據(jù)置信概率（一般為0.95或0.99)從表18.4中可查得臨界值。取和中較大者做如下判斷：？如果該式成立，則判別該測量值存在粗大誤差，應予剔除，再對剩余測量值重復上述過程，直至確定測量值不存在粗大誤差為止；如果該式不成立，則判斷該組測量值不存在粗大誤差。知識點5間接測量誤差的傳遞有些被測量是不能直接測量的，如電阻率、粘度等，對于這些不能直接測量的量，必須通過一些直接測量的數(shù)據(jù)，再根據(jù)一定的公式通過計算才能得出測量結果。由于直接測量的結果有誤差，由直接測量值經(jīng)過計算得到的間接測量結果也會有誤差，這就是間接測量誤差的傳遞。系統(tǒng)誤差和隨機誤差的性質(zhì)不同，它們的誤差傳遞算法是不一樣的。(1)系統(tǒng)誤差的傳遞設被測量與各個測量值的函數(shù)關系為：(18.23)由于系統(tǒng)誤差一般較小，其誤差可用微分來表示，誤差傳遞表達式為：（18.25）式（18.25）是絕對誤差的傳遞公式，是誤差傳遞系數(shù)。式（18.25）兩邊同除以，便得到相對誤差的傳遞公式：（18.26）（2）隨機誤差的傳遞如果測量系統(tǒng)的個環(huán)節(jié)的標準差分別為：，則隨機誤差的傳遞表達式為：（18.27）這就是隨機誤差的標準差傳遞公式。（3）總的誤差如果測量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差與隨機誤差相互獨立，則總的誤差表示為：（18.28）知識點6測量誤差的合成誤差的合成就是已知被測量與各個參數(shù)的函數(shù)關系以及各個參數(shù)測量值的分項誤差，求被測量的總誤差。這里以已定系統(tǒng)誤差的合成為例。由于系統(tǒng)誤差已定，則誤差的大小、符號和函數(shù)關系均為已知，可直接由誤差傳遞公式（18.25）或（18.26）進行合成。例：兩只電阻和并聯(lián)，設它們的絕對誤差分別為，。求并聯(lián)后電阻的總誤差。解：并聯(lián)后總電阻可表示為：根據(jù)式（18.25），得到合成后的絕對誤差為：根據(jù)式（18.26），得到合成后的相對誤差為：或：由上式可見，當＝時，則有＝＝，表明相對誤差相同的電阻并聯(lián)后總電阻的相對誤差與單個電阻的相對誤差相同。知識點7測量誤差的分配由于任何測量過程皆包含有多項誤差，而測量結果的總誤差則由各環(huán)節(jié)誤差的綜合影響所確定。與誤差的傳遞（或誤差的合成）相反，若總的誤差已確定，要確定各環(huán)節(jié)的誤差大小以保證總的誤差不超過允許值，這一過程稱為誤差的分配。誤差分配有助于在進行測量工作前，根據(jù)給定的允許測量總誤差來選擇測量方案，合理進行誤差分配，確定各環(huán)節(jié)誤差，以保證測量精度。誤差分配應考慮測量過程中所有誤差組成項的分配問題。誤差的分配一般地說有無窮多個方案，因此往往在某些假設條件下進行分配。誤差分配原則如下：（1）要從各元器件的實際情況出發(fā)，按各元器件的技術性能、可能達到的水平提出要求，不要提出與其不相適應的過高要求。（2）誤差分配中還要考慮經(jīng)濟性，即既要保證誤差要求，又要考慮經(jīng)濟性。（3）對于元器件的誤差不能知道其確切值時，一般取最大允許誤差。在進行誤差分配時，先給誤差容易確定的元器件分配，然后余下的按等作用原則分配，再根據(jù)可能性作適當調(diào)整，具體處理步驟如下：①按等作用原則分配誤差②按可能性調(diào)整誤差③驗算調(diào)整后的總誤差知識點8測量不確定度18.3.1概述測量不確定度是與測量結果相關聯(lián)的一個參數(shù)，用以表征合理地賦予被測量值的分散程度。不確定度是對未知的可能誤差的評價，它說明測量結果正確性或準確性的可信程度，反映測量結果不能確定的量值范圍。測量不確定度是對誤差分散性的估計，它是指一個與測量結果有關且表征其分散性的參數(shù)，用于描述未定誤差特征的量值，是可以估計求出的。但是，測量不確定度不代表具體的誤差值，不能用以修正測量值。(1)測量不確定度定義測量不確定度是指對測量結果不確定性的評價，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，測量結果中所包含的測量不確定度用以表示被測量值的分散性。所有的不確定度分量均用標準差表征，它們或者由隨機誤差引起，或者由系統(tǒng)誤差引起，都對測量結果的分散性產(chǎn)生相應的影響。一個完整的測量結果應包含被測量值的估計與分散性參數(shù)兩部分。例如被測量的測量結果為，其中是被測量的估計，它具有的測量不確定度為。在測量不確定度的定義下，被測量的測量結果所表示的是一個可能值區(qū)間。(2)測量不確定度的來源測量過程中有許多引起不確定度的來源。測量不確定度常見的10項可能來源：1)被測量的定義不完整；2)被測量的定義復現(xiàn)不理想；3)抽樣可能不完全代表定義的被測量；4)對環(huán)境條件的影響或測量程序的認識不足，或對環(huán)境條件的測量和控制不完善；5)模擬式儀器的讀數(shù)偏差；6)測量儀器分辨力和鑒別閾值不夠；7)計量標準器和標準物質(zhì)不準確；8)用于數(shù)據(jù)計算的常量和其他參量不準確；9)測量方法、測量系統(tǒng)和測量程序中的近似和假設；10)在表面上看來相同的條件下，被測量在重復觀測中的變化。(3)測量不確定度與誤差的比較相同點：都是評價測量結果質(zhì)量高低的重要指標，都可作為測量結果的精度評定參數(shù)。區(qū)別：1）從定義上講，誤差是測量結果與真值之差，它以真值或約定真值為中心；測量不確定度是以被測量的估計值為中心。因此誤差是一個理想的概念，一般不能準確知道，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量認識不足的程度，是可以定量評定的。2）在分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來減小或消除各類誤差對測量結果的影響。但由于各類誤差之間并不存在絕對界限，故在分類判別和誤差計算時不易準確掌握。18.3.2用標準差表征的不確定度，稱為標準不確定度，用表示。對于一個實際測量過程，影響測量結果的精度有多方面的因素，因此測量不確定度一般包含若干個分量，均是標準不確定度分量，用表示。不管這些分量性質(zhì)如何，都可用兩類方法進行評定：一些分量由—系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定（稱為A類評定）；另一些分量是基于經(jīng)驗或其他信息所認定的概率分布來評定（稱為B類評定）。知識點9最小二乘法與回歸分析18.4.1最小二乘法最小二乘法在誤差理論中的基本含義是：利用等精度多次測定值求最可靠測量結果時，該測量結果等于當各測定值的殘余誤差平方和最小時所求得的值。也就是說，如果把所有測定值都標在坐標圖上，測定值與用最小二乘法擬合的直線上對應的點之間的殘余誤差平方和最小。最小二乘法的基本處理方法如下：設直接測量量與個間接測量量的函數(shù)關系為：（18.41）現(xiàn)對進行次等精度測量得到個測量值，其對應的估計值為，即有：（18.42）如果，此時將測量量當作估計值使用，將上式中的換成，則可由上式直接求得間接測量量。但測量結果總是包含誤差，為了提高所得測量結果的精度，可適當增加測量次數(shù)（）通過抵償來減小隨機誤差對測量結果的影響。此時要求解未知量可應用最小二乘法。最小二乘法原理認為最可信賴值應使殘余誤差平方和最小。由于對應的殘余誤差方程組為：（18.43）所以最小二乘法原理要求的條件轉化為：（18.44）如果考慮線性測量的情形，即，用矩陣表示式（18.43）的殘余誤差方程為：（18.45）式中：系數(shù)矩陣(18.46)估計值矩陣（即待求矩陣）(18.47)測量值矩陣(18.48)殘余誤差矩陣(18.49)人們總是希望盡量減少或消除測量誤差