基本初等函數證明首先，我們來討論基本初等函數的定義。基本初等函數是指由常數函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數經過有限次的四則運算和函數復合得到的函數。對于這些函數，我們可以通過一些基本的性質和定理來進行證明。

一、常數函數：

常數函數是指對于任意實數x，函數值都是一個常數。常數函數的性質很簡單，我們可以通過以下例子來進行證明：

例1：證明常數函數的導數為0。

已知常數函數為f(x)=a，其中a為常數。對于任意實數x1和x2，它們的差為Δx=x2-x1，則有f(x2)-f(x1)=a-a=0。由導數的定義可知，導數f'(x)=lim（Δx->0）（f(x2)-f(x1)）/（x2-x1）=0。

二、指數函數：

指數函數是以常數e（自然對數的底）為底的冪函數。它具有以下性質：

性質1：指數函數f(x)=e^x的導數為它本身。

證明：根據指數函數的定義，知道f(x+h)=e^(x+h)=e^x*e^h，所以f'(x)=lim（h->0）（f(x+h)-f(x)）/h=lim（h->0）(e^x*e^h-e^x)/h=e^x*lim（h->0）(e^h-1)/h。由于lim（h->0）(e^h-1)/h=1，所以f'(x)=e^x。

性質2：指數函數的導數等于它的斜率。

證明：由指數函數的導數f'(x)=e^x可得，函數f(x)在任意一點的斜率等于e^x，也就是說切線的斜率等于函數值。

三、對數函數：

對數函數是指以指數為底的冪函數的反函數。以下是對數函數的性質：

性質1：對數函數f(x)=log_a(x)（a>0且a≠1）的導數為1/（x*ln(a)）。

證明：由對數函數的定義可知，對于任意實數x1和x2，x1=a^y1，x2=a^y2。則有f(x2)-f(x1)=log_a(x2)-log_a(x1)=log_a(a^y2)-log_a(a^y1)=y2-y1。由導數的定義可知，導數f'(x)=lim（Δx->0）（f(x2)-f(x1)）/（x2-x1）=lim（Δy->0）（y2-y1）/（a^y2-a^y1)。令y1=y-Δy，y2=y，代入上式，得到導數f'(x)=lim（Δy->0）（y-(y-Δy)）/（a^(y-Δy)-a^y)=lim（Δy->0）Δy/（a^(y-Δy)-1）。由極限的定義可知，lim（Δy->0）Δy/（a^(y-Δy)-1）=1/（y*ln(a)）。所以f'(x)=1/（x*ln(a)）。

四、冪函數：

冪函數是指以x為底的常數冪的函數。以下是冪函數的性質：

性質1：冪函數f(x)=x^a（a為常數）的導數為f'(x)=a*x^(a-1)。

證明：由導數的定義可知，f'(x)=lim（h->0）（f(x+h)-f(x)）/h=lim（h->0）((x+h)^a-x^a)/h。根據二項式定理展開式，有(x+h)^a=x^a+ax^(a-1)h+...+h^a，忽略高階無窮小，得到(x+h)^a-x^a=ax^(a-1)h。代入上式，得到導數f'(x)=lim（h->0）(ax^(a-1)h)/h=a*x^(a-1)。

五、三角函數和反三角函數：

三角函數包括sin(x)，cos(x)，tan(x)等，反三角函數包括arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。以下是它們的一些性質：

性質1：三角函數和反三角函數的導數。

例如，sin(x)的導數為cos(x)，cos(x)的導數為-sin(x)，arcsin(x)的導數為1/sqrt(1-x^2)，arccos(x)的導數為-1/sqrt(1-x^2)，arctan(x)的導數為1/(1+x^2)。這些導數可以通過一些基本的極限計算來證明。

性質2：三角函數和反三角函數的周期性。

例如，sin(x)和cos(x)的周期為2π，tan(x)的周期為π，arcsin(x)和