向量知識點總結一、 教學要求：理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌握向量的加法、減法，掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。了解向量的基本定理，掌握向量的數量積及其幾何意義，了解用向量的數量積處理有關長度、角度和垂直問題，理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念。理解向量（平面向量、空間向量）的坐標的概念，掌握向量的直角坐標運算及兩點間的距離公式。掌握線線的定比分點和中點坐標公式，并掌握平移公式。二、 知識串講：平面向量及其運算（一）向量的基本運算有關概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向線段表示向量-日一面去］方向向量一要素（［長度—^ —^（2）向量的模一有向線段的長度IAB\，laIT長度等于1的向量叫做單位向量，｛=芻—-—- —-零向量0（0的方向不定），I01=0（3）共線向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共線向量。（4（4）相等的向量長度相等--方向相同a=b- -規定：0=0向量可以在平面（或空間）平行移動而不變。規定：零向量與任一向量平行。向量有三種形式（或三種表示）幾何表示<——-幾何運算代數表示<——-代數運算

坐標表示< >坐標運算向量的加法、減法與數乘（1）向量的加法一一三角形法則或平行四邊形法則如圖:向量加法的多邊形法則如圖，求a+b+c（2）向量的減法：—T—T —T —T —Ta-b=a+（-b），即向量a加上b的相反向量。a-b的箭頭指向被減向量）r.（3）實數與向量的乘積長度I人aI=1XI-|aI方向：X>0時與a同向X<0時與a反向X=0時，Xa=0

—^—^—^—^ —^—^淤b〃a（a豐0）。存在唯一實數人，使b=Xa向量的運算法則（加、減、數乘）—^ —^ —^設向量a,b,c及實數X,^,則：TTTT①a+b=b+a—T—T —T —T —T—T^②(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z—T —T —T^③(X+|lx)a=Xa+pa—T—T —T —TX(a+b)=Xa+Xb—T —TIXaI=1XI-|aITTTTTTIaI-IbI<Ia土bI<IaI+IbI（此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，也稱為三角不等式。）平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z—T —T —T匕，％是平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內任一向量a，存在—T —T—T唯一實數對X，X，使得a=Xe+Xe。1 2 11 22（這個定理表明：平面內的任一向量都可以沿兩個不共線向量分解為唯對向量的\o"CurrentDocument"—T —T —T —T —T —T和。Xe+Xe叫做向量e，e的線性組合，e，e叫做表這一平面內所11 22 1 2 1 2有向量的一組基底。'①基底不唯一，關鍵是不共線、、②基底給定，分解形式唯一>應用：-T-T設OA，OB不共線，點尸在直線佃上（即A、B、尸三點共線）—T —T —ToOP=XOA+pOBMX+p=1（X，peR）（二）向量的坐標運算

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"—^ —^1.在直角坐標系內，分別取與尤軸，y軸同方向的兩個單位向量i,J作為基\o"CurrentDocument" —^ —^ —^ —^底，則該平面內任一向量a，有且只有一對實數尤，y，使得a=xi+yj，\o"CurrentDocument"—^ —^稱（x，y）叫做向量a的（直角）坐標，記作a=（x，y），即為向量的坐標表示。—^（如圖，當把向量a的起點移至原點時，（—^（如圖，當把向量a的起點移至原點時，（x，y），y）,x，y是向量a在x，y軸上的射影，與坐標，即A也相同。）—^—^是向量a=OA終點A的—^a相等的向量的坐標2.向量的坐標運算y)，人eR—^y)，人eR已知a=（x,yi）—? —? —? —?則：(1)a+b=(xi+yj)+(xi+yj))i+4+y)i+4+y2

yi+y2)）j2y-y),設aCt，y),B^x1 2 1 1 2———fBA=a一b=?-x，

（3）Xa=X（x，y）=Gx，Xy）（三）平面向量的數量積1.數量積的概念—T—T—T—T —T—T設向量OA=a，OB=b，ZAOB=0叫做向量a與b的夾角。記作—T—T —T—T—T —T —T與b的數量積（或內積），記作a?b<a，b—T —T —T與b的數量積（或內積），記作a?b—T —T —T(1)數量IaI?IbIcos0叫做a—T —T —T —T即a?b=IaI?IbIcos0（2）數量積的幾何意義:BAaTbBAaTb—T —T —T —T —Ta?b等于a的模IaI與b在a的方向上的射影IbIcos0的乘積。(3)注意:T(a—T—T

((3)注意:T(a—T—T

(a+b)數量積不滿足結合律!T?b)?TTTTc豐a?(b?c)Ta=(尤，Ty)，b=（尤2，*），則TTa?bi-i3.重要性質—T（1）設e是單位向量，=(r，y)?(r，y)=xx+yy—T0=<a，—T—Te=IaI?cos0TTTTTTa?b=b?a，a?0=TT—TTT(Xa)?b=X(a?b)二-a?(1)(2)(人b)(XgR)TT0-a=02.數量積的運算法則2+*"2=0、—T —T —T?b=IaI?IbI或a?b=-IaI?

——0）（人唯一確定）y）2—— —-bI<IaI-IbI(5)（四）定比分點與平移

1.線段的定比分點1，yjP2C2，y2）分點p設P],P2是/上兩點，P點在1上且不同于P、1—— ——P，若存在一實