習題4-1試導出位移分量的坐標變換式Suv第一頁第二頁，共48頁。習題4-2設有內徑為a而外徑為b的圓筒受內壓力q，試求內半徑及外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。解：軸對稱問題的徑向位移公式（平面應變）：對于圓筒軸對稱問題，有ur不隨

變化，即又由位移單值條件，有常數A、B由應力邊界條件確定。應力分量：邊界條件：第二頁第三頁，共48頁。第三頁第四頁，共48頁。習題4-3設有剛體，具有半徑為b的圓柱形孔道，孔道內放置一外半徑為b而內半徑為a的圓筒，受內壓力q，試求圓筒壁的應力。解：剛體邊界條件：代入邊界條件，有將常數A、C代入，有第四頁第五頁，共48頁。將常數A、C代入，有剛體第五頁第六頁，共48頁。習題4-4矩形薄板受純剪，剪力集度為q，如圖所示。如果離板邊較遠處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應力。45°解：xy

rxy

r(a)由圖（a）給出的孔邊應力結果：得：第六頁第七頁，共48頁。習題4-5楔形體在兩側受有均布剪應力q，如圖所示。試求其應力分量。xyOqq解：（1）應力函數

的確定由因次分析法，可知代入相容方程：得到：第七頁第八頁，共48頁。（2）應力分量的確定xyOqq第八頁第九頁，共48頁。（2）應力分量的確定xyOqq由對稱性，應為

的偶函數；應為

的奇函數，因而有，（3）由邊界條件確定常數邊界條件：代入，有：代入應力分量式，有第九頁第十頁，共48頁。xyOqq代入應力分量式，有第十頁第十一頁，共48頁。習題4-6三角形懸臂梁在自由端受集中荷載P，如圖所示。試用公式（4-21）求任一鉛直截面上的正應力和剪應力，并與材料力學中的結果對比。xyOP解：由密切爾（J.H.Michell）解答，得——密切爾（J.H.Michell）解答第十一頁第十二頁，共48頁。習題4-6三角形懸臂梁在自由端受集中荷載P，如圖所示。試用公式（4-21）求任一鉛直截面上的正應力和剪應力，并與材料力學中的結果對比。xyOP解：由密切爾（J.H.Michell）解答，得由應力分量的坐標變換式：第十二頁第十三頁，共48頁。第十三頁第十四頁，共48頁。由坐標變換式：第十四頁第十五頁，共48頁。x材料力學結果：截面彎矩xyOP截面慣性矩截面正應力——彈性力學結果兩者結果相差較大。第十五頁第十六頁，共48頁。習題4-7曲梁在兩端受相反的兩個力P作用，如圖所示。試求其應力分量。xyrabOPP解：（1）應力函數的確定分析：任取一截面，截面彎矩為將其代入相容方程：

（a）第十六頁第十七頁，共48頁。上述歐拉方程的解：

（b）代入應力函數為

（c）（2）應力分量的確定

（d）第十七頁第十八頁，共48頁。邊界條件：代入應力分量得：xyrabOPP

（d）第十八頁第十九頁，共48頁。邊界條件：代入應力分量得：端部條件（右端）：代入剪應力分量得：

（f）聯立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP

（e）自然滿足第十九頁第二十頁，共48頁。其中，代入應力分量式（d），有：

（f）xyrabOPP第二十頁第二十一頁，共48頁。習題4-8設有無限大的薄板，在板內的小孔中受有集中力P，如圖所示。試用如下應力函數求其應力分量。解：（1）應力分量提示：須要考慮位移單值條件。（2）確定常數r取一半徑為r的圓板為隔離體，其上受力如圖。由圓板的平衡，得代入應力分量，有第二十一頁第二十二頁，共48頁。r代入應力分量，有恒等式（3）由位移單值條件確定常數A第二十二頁第二十三頁，共48頁。由物理方程與幾何方程：r其中：應力分量：第二十三頁第二十四頁，共48頁。由物理方程與幾何方程：r其中：應力分量：積分得：代入：將ur代入積分得：第二十四頁第二十五頁，共48頁。將uru

代入

r

,要使上式對任意的r、

成立，有其中：L為常數。（a）（b）求解式（a），有（c）將式（b）變為：（d）第二十五頁第二十六頁，共48頁。（d）求解式（b），有（e）（f）將代入

u

,有由位移單值條件，有第二十六頁第二十七頁，共48頁。代入應力分量：r得到：第二十七頁第二十八頁，共48頁。習題4-9半平面在其一段邊界上受法向分布載荷作用q

,如圖所示。試證半平面體中直角坐標應力分量為：（疊加法）qxyOP證法1:aa第二十八頁第二十九頁，共48頁。qxyOPaaxyOaaqPxyOaaqP（疊加法）證法1:分析思路：第二十九頁第三十頁，共48頁。xyOqPqxyP求解步驟：由楔形體在一面受均布壓力問題的結果：（4-25）第三十頁第三十一頁，共48頁。xyOqP（由應力分量的坐標變換）——應力分量的直角坐標形式第三十一頁第三十二頁，共48頁。xyOaaqPy→y+axyOqP第三十二頁第三十三頁，共48頁。xyOaaqP第三十三頁第三十四頁，共48頁。xyOaaq0PxyOqPy→y－a第三十四頁第三十五頁，共48頁。xyOaaq0P第三十五頁第三十六頁，共48頁。q0xyOPaa第三十六頁第三十七頁，共48頁。（積分法）證法2:qxyOPyx

利用半限平面邊界上作用法向集中力P的結果，有：

由圖中的幾何關系，有：（1）將以上關系式代入式（1），有第三十七頁第三十八頁，共48頁。qxyOPyx（2）（1）（3）第三十八頁第三十九頁，共48頁。qxyOPyx（3）

積分上式，有：第三十九頁第四十頁，共48頁。(a)(b)PP第四十頁第四十一頁，共48頁。(c)a第四十一頁第四十二頁，共48頁。補充題xyOMP列寫圖示問題的邊界條件第四十二頁第四十三頁，共48頁。xyOMP第四十三頁第四十四頁，共48頁。試證明：

補充題滿足極坐標下平衡微分方程（4-1）

補充題證明極坐標系下應變協調方程可表示為

:軸對稱情況下：

第四十四頁第四十五頁，共48頁。補充題設彈性體受徑向和環向常體力：作用，試證明下列應力分量可作為極坐標下平衡微分方程（4-1）的一個特解：證明:（4－1）代入極坐標下的平衡微分方程