2021年廣東省深圳市南山區中考數學二模試卷

一、本部分共10小題，每小題3分.每小題給出4個選項，其中只有一個選項是正確的.

1.（3分）在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（）

2.（3分）電影《流浪地球》中的行星發動機利用重核聚變技術，可以直接利用石頭作為燃

料，每座發動機產生150億噸推力，請用科學記數法表示150億為（）

A.150x10''B.1.5x10'°C.1.5x10"D.1.5xl012

3.(3分)下列運算正確的是()

A.a2+2a=3a3B.(-2/)2=4/

C.(ci+2)(<z—1)=</'+a—2D.(a+b)2=a2+b2

4.（3分）某校八年級三班進行中國詩詞知識競賽，共有10組題目，該班得分情況如下表:

5.（3分）已知直線機//〃，將一塊含45。角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊8C

與直線〃交于點。.若Nl=25。，則N2的度數為（）

A.10B.8C.2D.-8

7.（3分）下列命題正確的是（）

A.方程*2-x+l=O有兩個不相等實數根

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.等腰三角形底邊上的中線平分頂角

8.（3分）菱形ABCZ）的一條對角線的長為6,邊他的長是方程V-7x+12=0的一個根,

則菱形/WCD的周長為（）

A.16B.12C.12或16D.無法確定

9.（3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,按以下步驟作圖：①以點A為

圓心，適當的長為半徑作弧，分別交AC,45于M,N兩點；②分別以點M,N為圓心，

大于（MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P;③作射線AP,交BC于點、E.則tanNBAE=（

）

22

10.（3分）如圖，如圖正方形ABCD內一點E,滿足△C0E為正三角形，直線AE交于

F點、,過E點的直線G4,A尸，交43于點G,交CD于點H.以下結論：

①ZAFC=105°；②GH=2EF；③近CE=EF+EH；?-=-

EH3

其中正確的有（）

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二、填空題（本題共5小題，每小題3分,共15分）

11.（3分）因式分解：3X2-12=.

12.（3分）若二一有意義,則a的取值范圍為—

a+2

13.（3分）從-1,1,2這三個數中隨機抽取兩個數分別記為x,y,把點M的坐標記為（x,y）,

則點M在直線/:y=-x上的概率為.

14.（3分）矩形AfiCD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，沿AE將AAEB翻折得

至UWE,sinZFC￡=

15.（3分）如圖，反比例函數y=3（x>0）的圖象與矩形ABCO的邊交于點G,與邊8C

X

交于點。，過點4,D作DE//AF,交直線了=履（％<0）于點E,F,若OE=OF,

BG=6GA,則四邊形ADEF的面積為.

三、解答題（本題共7小題，其中第16題5分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題9分，第21題9分，第22題10分，共55分）

16.（5分）計算：|l-2cos30°|+J^-（-g）-'-（5-m°

17.（6分）先化簡，再求值：（T-1）+,其中x是不等式組產3x+l的整數

x2+xx2+2x+l[2x-l<4

解.

18.（8分）為了了解全校1500名學生對學校設置的籃球、羽毛球、乒乓球、踢篋子、跳繩

共5項體育活動的喜愛情況，在全校范圍內隨機抽查部分學生，對他們喜愛的體育項目（每

人只選一項）進行了問卷調查，將統計數據繪制成如圖兩幅不完整統計圖，請根據圖中提供

的信息解答下列各題.

學生體育活動扇形統計圖

學生體育活動條形統計圖

（2）請你估計該校約有一名學生喜愛打籃球;

（3）現學校準備從喜歡跳繩活動的4人（三男一女）中隨機選取2人進行體能測試，請利

用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到一男一女學生的概率是多少？

19.（8分）如圖，AABC內接于口。，他為直徑，作交AC于點￡>,延長BC,

O￡）交于點尸，過點C作線段CE,交￡廳于點5且政7=￡0.

（1）求證：直線CE是口。的切線.

（2）如果。4=4,EF=3,求弦AC的長.

20.（9分）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化.小明

在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠,用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數量相同，

已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元.

（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進價；

（2）經市場調查發現，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則

每天少售出2對：物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價x元，小

明一天通過乙燈籠獲得利潤y元.

①求出y與x之間的函數解析式：

②乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

21.（9分）【探究證明】（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩

鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：

如圖①，在矩形中，EFLGH,E/分別交45、BC于點E、F,G/7分別交45、

￡心于點G、H,求證：—=—；

GHAD

【結論應用】（2）如圖②，將矩形ABCD沿切折疊，使得點B和點D重合，若他=2,

BC=3.求折痕斯的長；

【拓展運用】（3）如圖③，將矩形ABCD沿所折疊.使得點。落在池邊上的點G處，點

C落在點P處，得到四邊形EFPG,若A8=2,BC=3,EF=^^-,請求3尸的長.

3

圖①圖②圖③

22.（10分）拋物線丫=62?_6+〃交x軸于A,3兩點（A在5的左邊），交y軸于C,直

線y=-x+4經過5,C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,P為直線3c上方的拋物線上一點，PO//y軸交3c于。點，過點。作

DELAC于E點.設〃7=尸。+3￡>￡,求機的最大值及此時P點坐標：

21

（3）如圖2,點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線

上點用處，且N/WM+Z4CW=18O。，求N點坐標.

圖1圖2

2021年廣東省深圳市南山區中考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、本部分共10小題，每小題3分.每小題給出4個選項，其中只有一個選項是正確的.

1.（3分）在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（）

A.B.C,D

【解答】解：A、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，，此圖形是軸對稱圖

形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

3、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，，此圖形不是軸對稱圖形，是中

心對稱圖形，故此選項錯誤.

C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，，此圖形是軸對稱圖形，旋轉180。

不能與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，，此圖形不是軸對稱圖形，是中

心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：A.

2.（3分）電影《流浪地球》中的行星發動機利用重核聚變技術，可以直接利用石頭作為燃

料，每座發動機產生150億噸推力，請用科學記數法表示150億為（）

A.150x1（）9B.1.5x10'°C.1.5x10"D.1.5xlO12

【解答】解：150億1.5xl（y°.

故選：B.

3.（3分）下列運算正確的是（）

A.a2+2a=3a3B.（-2a3）2=4a5

C.（a+2）（a-i）=a2+a-2D.（a+b）2=a2+b2

【解答】解：A.a?與2a不能合并，所以A選項的計算錯誤;

B.原式=4不,所以3選項的計算錯誤；

C.原式=〃+“—2,所以C選項的計算正確；

D.(a+b-)2=a2+2ab+b2,所以。選項的計算錯誤.

故選：c.

4.（3分）某校八年級三班進行中國詩詞知識競賽，共有10組題目，該班得分情況如下表:

人數25131073

成績（分）5065768092100

全班40名同學的成績的眾數和中位數分別是（）

A.76,78B.76,76C.80,78D.76,80

【解答】解：這組數據的眾數為76,

?.?共有2+5+13+10+7+3=40個數據，

...中位數為差上色=78,

2

故選：A.

5.（3分）已知直線機//〃，將一塊含45。角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊〃。

與直線〃交于點。.若Nl=25。，則N2的度數為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：設4?與直線〃交于點石,

則ZA￡E>=Z14-ZB=25O+45O=70O.

又直線機//九，

.-.Z2=ZA￡D=70°.

6.（3分）已知方程組+="的解滿足x+y=3,則&的值為（）

[2x+y=\

A.10B.8C.2D.-8

x+2y=k①

【解答】解：由題意可得卜x+y=l②，

x+y=3③

2x①-②得y=4」，

②一③得x=—2,

代入③得y=5,

71

則々」=5,

33

解得％=8.

故選：B.

7.（3分）下列命題正確的是（）

A.方程f-x+l=O有兩個不相等實數根

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.平分弦的直徑垂直于弦

D.等腰三角形底邊上的中線平分頂角

【解答】解：A.方程9一犬+1=（）中，△=i-4=-3<0,所以方程沒有實數根，故本選項

錯誤；

B.對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤；

C.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；故本選項錯誤；

D.等腰三角形底邊上的中線平分頂角，故本選項正確.

故選：D.

8.（3分）菱形的一條對角線的長為6,邊他的長是方程V—7x+12=0的一個根,

則菱形43co的周長為（）

A.16B.12C.12或16D.無法確定

【解答】解：vx2-7x+12=0,

/.（x-3）（x-4）=0,

二.玉=3,x,=4,

當與=3時，由菱形的對角線的一條對角線6和菱形的兩邊3,3不能組成三角形，即不存

在菱形，舍去;

當芻=4時，由菱形的對角線的一條對角線6和菱形的兩邊4,4能組成三角形，即存在菱

形，.?.菱形的周長為4x4=16.

故選：A.

9.(3分)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,按以下步驟作圖：①以點A為

圓心，適當的長為半徑作弧，分別交AC,A3于N兩點；②分別以點N為圓心，

大于＞MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線AP,交BC于點E.則tanNBAE=(

2

)

【解答】解：由作法得AP平分NB4C,

作E”_L/W于"，如圖，

?.?AE為角平分線，ECA.AC,EHYAB,

:.EC=EH,

vZACB=90%AC=8C,

.?4=45。，AB=y/2BC,

為等腰直角三角形，

:.BH=EH=?BE,

2

設E〃=x,貝lj3"=EC=x,BE=42x,

BC=(72+1)X,

AB=y/2BC=(2+yf2)x,

AH=AB-BH=(6+l)x,

FHxi—

在RtAAEH中，tanZWAE=——=—^------=V2-1.

AH(V2+l)x

故選：A.

10.（3分）如圖，如圖正方形ABCD內一點E,滿足ACD石為正三角形，直線AE交5c于

F點、,過七點的直線G"_LAF,交AB于點G,交CD于點H.以下結論:

①ZAFC=105。；②GH=2EF；③CCE=EF+EH；?-=-

EH3

C.①④D.①②③④

【解答】解：???△（?￡為正三角形,

ZCD￡=60°,

.?.ZA￡>E=90°-60°=30°,

?.?AD=DE=CD,

??.ZDAE=NDEA=；(180°-30°)=75°,

.-.ZBAF=90o-75o=15°,

/.ZAFC=90o+15o=105o,故①正確；

過點H作收_LAB,則收=AZ),

-GH1.AF,

.?.NBAF+NAGE=90。，

又???ZAGE+NKHG=90°，

：.ZBAF=ZKHG,

在AAB廠和AWKG中，

NBAF=NKHG

<NB=NHKG=90。，

HK=AB

/.^ABF=^HKG(AAS)，

..AF=GH,

?.?AC。石為正三角形，

點石在CO的垂直平分線上，

根據平行線分線段成比例定理，點石是詼的中點，

:.AF=2EF,

:.GH=2EF,故②正確；

\-GH-LAF,ZDEA=75°,

:.ZDEH=90°-75°=15°,

.-.ZCE//=60°-15°=45°,

.*.ZCEF=90°-45°=45°,

過點尸作fM_LCE于過點H作HN上CE于N,

則"F=￡M，NH=EN，

,/ACDE是等邊三角形，

:./DCE=60。,

/.ZECF=90°-60。=30。，

/.CM=6MF,NH=0CN,

:.CE=y/3MF+MF=y/3CN+CN,

:.MF=CN,

.「匚啦b,V2

..CE——EFH-----EH，

22

/.>J2CE=EF+EH,故③正確；

空=空=毒尸=烏故④錯誤.

EHEHgCN/3

綜上所述，正確的結論是①②③.

故選：A.

二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)

11.(3分)因式分解：3f—12=_3(x+2)(x—2)

【解答】解:原式=3(爐一4)

=3(x+2)(x-2).

故答案為：3(x+2)(x-2).

12.(3分)若莊2有意義，則”的取值范圍為原4且〃工-2

a+2一—一

【解答】解：依題意得：4-a.O且a+2wO,

解得4,4且aw-2.

故答案是：出4且ar—2.

13.(3分)從-1,1,2這三個數中隨機抽取兩個數分別記為x,y,把點M的坐標記為(x,y),

則點M在直線/：y=-x上的概率為-.

-3-

【解答】解：根據題意畫圖如下：

得到點M的坐標分別是(-1,1)(-1,2)(1,-1)(1,2)(2,-1)(2,1),

共有6個等可能的結果，點M在直線/:y=-x上的結果有2個，

71

.?.點/在直線/:y=-x上的概率為士=上，

63

故答案為：--

3

14.(3分)矩形ABCD中，43=4,BC=6,點石為的中點，沿AE將八4E8翻折得

4

至五,sinZFCE=-.

一5一

過石作團_LCF于"，

由折疊的性質得：BE=EF,/BEA=NFEA,

???點七是8C的中點，

:.CE=BE=3,

:.EF=CE=3,

/FEH=/CEH,

.?.ZAEB+NCEH=90。,

在矩形ABC。中，

vZB=90°,

.?.NBAE+ZBEA=90。,

：.ZBAE=ZCEH,4B=4EHC,

:.^ABES^EHC,

AB_AE

，~EH~~CE'

???AE=yl42+32=5,

12

EH=—，

5

.“廠EH4

sinZ-ECr==—?

CE5

故答案為：—.

5

a

15.(3分)如圖，反比例函數y=±(x>0)的圖象與矩形AS。。的邊AB交于點G,與邊BC

x

交于點。，過點A,。作?！?/Af\交直線y="(RvO)于點E,F,若OE=OF,

8G=6GA,則四邊形史尸的面積為_3+3/_.

【解答】解：延長DE交x軸于K,作。，J_04于

33

設G(a,±),貝=AG=~,

aa

?/BG=y/3GA,

BG=—,

a

DH=AB=AG+BG=3+^,

a

?:DE//AF,

：.ZEKO=ZFAO,

在AOEK和AOE4中，

ZEKO=ZFAO

<NEOK=ZFOA,

OE=OF

\OEK=\OFA{AAS),

..OK=OA=a,

AK=26f,

113+3近/-

S四邊形ADEF=S四邊形AOEO+S*KKO=SMOK=—AKDH=~x.2ax-=3+3J3.

故答案為：3+3^3.

三、解答題（本題共7小題，其中第16題5分，第17題6分，第18題8分，第19題8

分，第20題9分，第21題9分，第22題10分，共55分）

16.（5分）計算：|1-28$30。|+店-（-；尸-（5-%）°

【解答】解：原式=2x且一1+26-（一2）—1=3』.

2

（分）先化簡，再求值：（）二,其中是不等式組

17.64—-1-JLx的整數

X~+XX+2x4-1

解.

【解答】解：(一^--1)^----

x~+xx~+2x+\

=|--——1]D(%+1)~

x(x+l)(x+l)(x—1)

=(_L.葉1)"^

x+1x+1(x+l)(x—1)

2

Xn(x+1)

-LJ

x+1(x+l)(x—1)

X

=-------f

x-1

2x?3%+1/。

由得，一L,xv2.5,

2x-\<4

???X是不等式組;：_：＜+：的整數解，m+D（l）*。，

二.％=2，

,一,7

當x=2時，原式=-----=—2.

2-1

18.（8分）為了了解全校1500名學生對學校設置的籃球、羽毛球、乒乓球、踢鍵子、跳繩

共5項體育活動的喜愛情況，在全校范圍內隨機抽查部分學生，對他們喜愛的體育項目（每

人只選一項）進行了問卷調查，將統計數據繪制成如圖兩幅不完整統計圖，請根據圖中提供

的信息解答下列各題.

學生體育活動扇形統計圖

2g學生體育活動條形統計圖

（2）請你估計該校約有一名學生喜愛打籃球;

（3）現學校準備從喜歡跳繩活動的4人（三男一女）中隨機選取2人進行體能測試，請利

用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到一男一女學生的概率是多少？

【解答】解：(1)/?1=100%-14%-8%-24%-34%=20%;

?.?跳繩的人數有4人，占的百分比為8%,

(2)1500x24%=360；

故答案為：360；

(3)列表如下:

男1男2男3女

男1男2,男1男3,男1女，男1

男2男1，男2男3,男2女，男2

男3男1,男3男2,男3女，男3

女男1，女男2,女男3,女

?.?所有可能出現的結果共12種情況，并且每種情況出現的可能性相等.其中一男一女的情

況有6種.

抽到一男一女的概率P=-=~.

122

19.(8分)如圖，A48C內接于口O,48為直徑，作A8交AC于點。，延長8C,

OD交于點F,過點C作線段CE,交DF于點、B且EC=ED.

(1)求證：直線CE是口。的切線.

(2)如果04=4,￡F=3,求弦AC的長.

-OF±ABf

.\ZZXM=90o,

.-.ZA+ZAZX?=90°,

???O4=OC,

:.ZA=ZOCA,

???AOCA+ZADO=90°,

?；ZADO=NCDE,

/.ZOC4+ZCD￡=90°,

???AB為口O的直徑，

???NA。=90。，

???EC=ED,

NDCE=NEDC,

:.ZOCA+ZDCE=90°t

:.EC±OC,

二.EC是口O的切線；

(2)解：在RtADCF中，ZDCE+ZECF=90°,NDCE=NCDE,

/.ZCDE+ZECF=90°,

vZCE>E+ZF=90°,

;"ECF=/F,

:.EC=EF,

\'EF=3,

EC=DE=3，

:.OE=7oc2+EC2=>/42+32=5,

:.OD=OE-DE=2,

在RtAOAD中，AD=>jAO2+OD2->/42+22=25/5,

在RtAAOD和RtAACB中，

vZA=ZA,ZACB=ZAOD,

/.RtAAOEK^RtAACB,

OAAD

"~AC~~AB'

即=氈，

AC8

…16后

1.AC=-------

5

20.（9分）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化.小明

在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數量相同，

已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元.

（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進價；

（2）經市場調查發現，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則

每天少售出2對：物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價x元，小

明一天通過乙燈籠獲得利潤y元.

①求出y與x之間的函數解析式；

②乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

【解答】解：（1）設甲種燈籠單價為x元/對，則乙種燈籠的單價為（x+9）元/對，由題意

得：

31204200

--------------，

xx+9

解得x=26,

經檢驗，x=26是原方程的解，且符合題意,

x+9=26+9=35,

答：甲種燈籠單價為26元/對，乙種燈籠的單價為35元/對.

（2）①y=（50+x-35）（98-2x）=-2x2+68x+1470,

答：y與尤之間的函數解析式為：y=-2x2+68x+1470.

②?.?a=-2v0,

函數y有最大值，該二次函數的對稱軸為：x=--=17,

2a

物價部門規定其銷售單價不高于每對65元，

.”+5Q,65,

.,.兀，15,

時，y隨x的增大而增大，

.,.當x=15時，y最大=2040.

15+50=65.

答：乙種燈籠的銷售單價為每對65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元.

21.（9分）【探究證明】（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩

鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：

如圖①，在矩形438中，EF±GH,EF分別交4）、BC于■點、E、F,GH分別交AB、

DC于點、G、H,求證：—;

GHAD

【結論應用】（2）如圖②，將矩形ABCO沿EF折疊，使得點5和點。重合，若他=2,

8c=3.求折痕EF的長;

【拓展運用】（3）如圖③，將矩形A8C。沿比'折疊.使得點。落在A3邊上的點G處，點

C落在點P處，得到四邊形EFPG,若他=2,BC=3,EF=2叵，請求8P的長.

3

【解答】解：（1）：如圖①，過點A作AP//防，交3c于P,過點3作8Q//G4,交CD

于Q，8Q交AP于7.

圖①

???四邊形A8CD是矩形，

：.AB//DC,ADIIBC.

，四邊形嶼尸、四邊形都是平行四邊形,

：.AP=EF,GH=BQ.

又?;GH工EF,

?,.APlBQt

：.ZBAT+ZABT=90°.

???四邊形ABC。是矩形，

/.ZABP=ZC=90°,AD=BC,

NAB7+NC8Q=90。，

/BAP=/CBQ,

AABP^ABCQ，

APAB

~BQ~~BC9

.EFAB

GH-AD?

(2)如圖②中，連接3D.

圖②

???四邊形ABC。是矩形,

...NC=90。，AB=CD=2,

,:D,3關于￡F對稱，

；.BD1EF,

.EF_AB

~BD~~AD'

EF2

'.芯=3，

??.EF匹.

3

(3)如圖③中，過點尸作尸〃_LEG于〃，過點尸作8于人

AED

p

圖③

?.?四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=2,AD=BC=3,ZA=90°,

2M

.工

?.一_2，

DG3

/.DG=?,

AG=^DG2-AD2=V10-9=l,

由翻折可知：ED=EG,設ED=EG=x,

在RtAAEG中，???EG2=AE2+AG2,

:.x2=AG2+AE2,

x2=(3-x)2+1,

5

/.x=一,

3

：.DE=EG=-

39

?.?FHLEG,

:?/FHG=ZHGP=/GPF=時，

二.四邊形"GW是矩形,

:.FH=PG=CD=2,

EH=yjEF2-FH2=一晟=|,

52

:.GH=FP=CF=EG—EH=二一一=1，

33

,;PF//EG,EA//FB,

:.ZAEG=〃PF,

?.?NA=N/V尸=90。，

:.bAEGsHFP、

,AEAGEG

一~FJ~~PJ~~FP"

45

.3_1_3

?百一