指點迷津(八)第八章空間幾何體外接球的五種模型模型一“墻角”模型“墻角”模型是指具有三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直的特征,應用數學建模素養,構建“兩兩垂直”模型,亦即“墻角”模型,將該三棱錐放入長方體中,把該三棱錐的外接球轉化為該長方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑,如圖.例1.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(

)答案

D解析

設PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點,突破技巧破解此類題的關鍵:一是“見數思形”,需在草稿紙上畫出三棱錐的草圖,判斷是否有兩兩垂直的三條棱;二是“會構造”,即會構造長方體;三是“用公式”,4R2=a2+b2+c2(其中R為該三棱錐的外接球的半徑,a,b,c為兩兩垂直的三條棱的長.)答案

C解析

PA⊥平面ABC,AB⊥AC,因此以AP,AB,AC為棱構造一個長方體,此長方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,長方體的對角線是外接球的直模型二“對棱相等”模型“對棱相等”模型是指三棱錐的相對的兩條棱相等,應用數學建模素養,構建長方體,將該三棱錐放入該長方體中,使三棱錐的頂點與長方體的頂點重合,將該三棱錐的外接球轉化為該長方體的外接球,從而求出該外接球的半徑,如圖.例2.在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,且cosA=,沿BD將△BDC折起、使點C到達點E處,且滿足AE=AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為

.

答案

13π設長方體從同一頂點出發的三棱長分別為x,y,z,其外接球的半徑為R,則x2+y2=9,y2+z2=9,z2+x2=8,突破技巧破解此類題的關鍵:一是會翻折,即通過翻折,明確不變量與變化的量;二是會構造,即根據所給的相等對棱的長度,構造符合條件的長方體;三是會列出方程組,即設出長方體的長、寬、高,根據三棱錐的三對棱的長度,列出方程組,解方程組,即可求出所構造的長方體的共頂點的相鄰的三條棱的長;四是用公式,利用長方體的體對角線長等于該三棱錐的外接球的直徑,求出該三棱錐的外接球的半徑,利用球的表面積與體積公式,即可得到外接球的表面積與體積.對點訓練2已知正四面體A-BCD外接球的表面積為12π,則該正四面體的表面積為(

)答案

C

模型三“漢堡”模型“漢堡”模型是指對于直棱柱,應用數學建模,結合球與直棱柱的有關性質,建立“漢堡”模型,上、下底面外接圓的圓心連線構成的線段的中點即為直棱柱外接球球心,球心到各個頂點的距離都等于外接球的半徑,如圖.例3.已知三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為6,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為(

)A.36π B.84πC.132π D.180π答案

B解析

由題意三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,設N,M分別是上、下底面的中心,MN的中點O是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心,突破技巧破解此類題的關鍵是畫出草圖,確定直三棱柱的外接球球心的位置為直三棱柱的上、下底面三角形外接圓的圓心連線所構成的線段的中點;二是利用正弦定理求出底面三角形的外接圓的半徑,若是特殊三角形,如等邊三角形或直角三角形,可利用特殊三角形的特點,快速獲得其外接圓的半徑;三是用定理,即利用勾股定理,求出球的半徑;四是用公式,即利用球的表面積或體積公式求解,注意直三棱柱的外接球與內切球的本質區別.對點訓練3(2022山東濟寧三模)若一個正六棱柱既有外接球又有內切球,則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為(

)A.2∶1 B.3∶2C.7∶3 D.7∶4答案

C模型四“心有所依”模型“心有所依”模型是指對于圓錐、圓臺、側棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個底面的高所在直線上,由此可把相關信息集中到某一個直角三角形內,利用勾股定理求解,如圖.答案

C解析

根據題意知,△ABC是一個直角三角形,其面積為4,其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上,設小圓的圓心為Q,當MQ與平面ABC垂直時,三棱錐M-ABC的體積最大.突破技巧破解此類題的關鍵:一是確定球心O的位置,如例4,先確定底面三角形的外接圓的圓心Q,則M,O,Q三點共線;二是計算出底面三角形外接圓的半徑;三是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距離,從而求出三棱錐的高.答案

A

模型五“雙心”模型“雙心”模型:無法利用上面四種模型求解的問題,可利用球心、三角形(或四邊形等)外接圓的圓心以及外接圓與球的交點所構成的直角三角形進行破解,如圖.例5.已知三棱錐D-ABC的四個頂點在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1.當三棱錐D-ABC的體積取到最大值時,球O的表面積為(

)答案

A解析

如圖,當三棱錐D-ABC的體積取到最大值時,則平面ABC⊥平面DBC,取BC的中點G,連接AG,DG,則AG⊥BC,DG⊥BC.分別取△ABC與△DBC的外心E,F,分別過點E,F作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于點O,則點O為四面體ABCD的球心.突破技巧對一般棱錐來講,外接球球心到各頂點的距離相等,當問題難以考慮時,可減少點的個數進行考慮,如先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心,球心一定在過此點與此平面垂直的直線上.對點訓練5(2022廣東佛山三模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,且△PAB為等邊三角形,則該四棱錐的外接球的表面積為(

)答案

B解析

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,取側面△PAB和底面正