第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值第四章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.能夠利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系.1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值3.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.函數(shù)的極值

函數(shù)極值反映的是函數(shù)局部的性質(zhì)

取得極值的條件極值極值點(diǎn)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都

f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)f'(a)=0在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)

,右側(cè)

極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

小

f'(x)<0f'(x)>0取得極值的條件極值極值點(diǎn)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都

f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)f'(b)=0在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)

,右側(cè)

極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

大

f'(x)>0f'(x)<0

微點(diǎn)撥對(duì)函數(shù)極值的理解

(1)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值,即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)在一個(gè)給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn),也可能不存在極值點(diǎn);函數(shù)可以只有極大值沒有極小值,或者只有極小值沒有極大值,也可能既有極大值又有極小值.極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.微思考對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的什么條件?提示

必要不充分條件.當(dāng)f'(x0)=0時(shí),f(x)不一定在x=x0處取得極值,例如函數(shù)f(x)=x3;但當(dāng)f(x)在x=x0處取得極值時(shí),由極值定義可知必有f'(x0)=0.2.函數(shù)的最值(1)一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.

(2)一般地,求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的

;

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

比較,其中最大的一個(gè)是

,最小的一個(gè)是

.

函數(shù)最值反映的是函數(shù)整體的性質(zhì)

連續(xù)不斷

極值

f(a),f(b)最大值

最小值

微點(diǎn)撥函數(shù)最值與極值的區(qū)別(1)函數(shù)在閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值只能各有一個(gè),具有唯一性;而極大值和極小值可能有多個(gè),也可能沒有;(2)極值只能在函數(shù)區(qū)間的內(nèi)部取得,而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,有極值的不一定有最值,有最值的不一定有極值.常用結(jié)論1.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的必要不充分條件.2.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上恰好是單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)的最值恰好在兩個(gè)端點(diǎn)處取到.當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增時(shí),f(a)是最小值,f(b)是最大值;當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減時(shí),f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值,那么這個(gè)極值就是相應(yīng)的最值.4.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判別式Δ=4b2-12ac,有以下結(jié)論:Δ>0函數(shù)f(x)在R上存在極值(既有極大值又有極小值)函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)Δ≤0函數(shù)f(x)在R上不存在極值函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)(單調(diào)遞增或單調(diào)遞減)對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn).(

)(2)在定義域上的單調(diào)函數(shù)一定沒有極值.(

)(3)三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c最多有兩個(gè)極值點(diǎn).(

)(4)函數(shù)的最值有可能在極值點(diǎn)處取得.(

)√×√√2.函數(shù)f(x)=-2x3+3x2+1的極小值與極大值分別等于(

)A.0,1 B.-1,0 C.-2,-1 D.1,2答案

D

解析

f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1.當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取極小值f(0)=1,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取極大值f(1)=2.3.函數(shù)f(x)=x3-ax2-ax+b在R上不存在極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

答案

[-3,0]

解析

f'(x)=3x2-2ax-a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上不存在極值,所以Δ=(-2a)2+12a≤0,解得-3≤a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,0].增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值(多考向探究)考向1.求函數(shù)的極值(點(diǎn))典例突破例1.(多選)(2022新高考Ⅰ,10)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則(

)A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線答案

AC∵f(x)+f(-x)=2,∴點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,1)處的切線方程為y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直線y=2x與曲線y=f(x)不相切.故選AC.方法總結(jié)求函數(shù)極值(點(diǎn))的一般步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1若x=-1是函數(shù)f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為(

)A.-1 B.-2e-3

C.5e-3 D.1答案

A

解析因?yàn)閒(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)],依題意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1),令f'(x)=0,得考向2.已知極值(點(diǎn))求參數(shù)的值或范圍典例突破例2.(1)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則(

)A.a<b B.a>b

C.ab<a2 D.ab>a2(2)若函數(shù)f(x)=x2-x+alnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

方法點(diǎn)撥根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)如果一個(gè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù),那么在其極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必然為零,即對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要條件,當(dāng)已知函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值時(shí),該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為零,據(jù)此可建立關(guān)于參數(shù)的方程進(jìn)行求解.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有極值點(diǎn),則f'(x)在區(qū)間I上有變號(hào)的零點(diǎn),亦即方程f'(x)=0有滿足相應(yīng)條件的實(shí)數(shù)根,從而可轉(zhuǎn)化為方程有解問題,也可轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x3-mx2+mx+9在R上無極值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1]答案

D

解析

函數(shù)f(x)=x3-mx2+mx+9在R上無極值?f'(x)=x2-2mx+m在R上無變號(hào)零點(diǎn)?Δ=4m2-4m≤0?0≤m≤1,故選D.考向3.與極值有關(guān)的綜合問題典例突破例3.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2,m∈R.(1)若m>0,函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)處的切線中,切線斜率的最小值為2,求切線斜率取得最小值時(shí)的切線方程;(2)若F(x)=f(x)-mx有兩個(gè)極值點(diǎn),且所有極值的和不小于--3,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.名師點(diǎn)析求解極值綜合問題的技巧(1)若問題與極大值、極小值有關(guān),則應(yīng)先將極值用極值點(diǎn)表示出來,充分利用極值點(diǎn)滿足的條件對(duì)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理,特別注意一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用,將極值點(diǎn)消去,保留參數(shù),再進(jìn)行求解.(2)若問題經(jīng)轉(zhuǎn)化后,需要確定一個(gè)代數(shù)式的最值或取值范圍時(shí),往往需要構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,借助導(dǎo)數(shù)解決.令f'(x)=0,得x=2.當(dāng)x>2時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.方程x2-x+a=0的判別式Δ=(-1)2-4a=1-4a.當(dāng)x1·x2=a>0時(shí),此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以,當(dāng)x=x1時(shí),函數(shù)f(x)有極小值點(diǎn),當(dāng)x=x2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值點(diǎn),當(dāng)x1·x2=a≤0時(shí),方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根,或是一個(gè)正實(shí)數(shù)根和零根,當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以,當(dāng)x=x2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值點(diǎn),因此,當(dāng)a∈(-∞,0]時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)a∈(-∞,0]時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn);考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(多考向探究)考向1.求函數(shù)的最值典例突破(2)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為

.

例4.(1)(2022全國乙,文11)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為(

)答案

(1)D

(2)1解析

(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=-sin

x+sin

x+(x+1)cos

x=(x+1)cos

x,x∈[0,2π].方法點(diǎn)撥求函數(shù)最值的方法(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值:①求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有點(diǎn);③計(jì)算f(x)在區(qū)間[a,b]上使得f'(x)=0的所有點(diǎn)以及端點(diǎn)的函數(shù)值;④比較以上各個(gè)函數(shù)值,其中最大的是函數(shù)的最大值,最小的是函數(shù)的最小值.(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間或無窮區(qū)間上的最值:先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值,再結(jié)合單調(diào)性、極值情況、函數(shù)值的正負(fù)情況等作出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象觀察分析得到函數(shù)的最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=ex-3,g(x)=1+lnx,若f(m)=g(n),則n-m的最小值為(

)A.-ln2 B.ln2 C.2 D.-2答案

D

解析

令t=f(m)=g(n),則em-3=t,1+ln

n=t,所以m=3+ln

t,n=et-1,即n-m=et-1-3-ln

t,若h(t)=et-1-3-ln

t,則h'(t)=et-1-(t>0),令h'(t)=0,得t=1.當(dāng)0<t<1時(shí),h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>1時(shí),h'(t)>0,h(t)單調(diào)遞增;所以h(t)min=h(1)=e0-3-ln

1=-2,即n-m的最小值為-2,故選D.考向2.已知最值求參數(shù)典例突破答案

A

名師點(diǎn)析已知函數(shù)最值求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí),可根據(jù)函數(shù)最值的求法將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,從而用參數(shù)將最值表示出來,然后通過解方程求得參數(shù)的值,必要時(shí)需要進(jìn)行分類討論.(2)已知函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間上有最值時(shí),可先分析求得函數(shù)的極值,然后結(jié)合函數(shù)圖象確定參數(shù)應(yīng)滿足的條件,用不等式(組)表示,解不等式(組)即得參數(shù)的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5)若函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a-1,5+a)內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

答案

(-5,1)

解析因?yàn)閒(x)=x2ex,所以f