第六章6.3利用導數解決實際問題A級必備知識基礎練1.[探究點二]某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料場的長和寬應分別為(單位:米)()A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,182.[探究點三]現有橡皮泥制作的底面半徑為4,高為3的圓錐一個.若將它重新制作成一個底面半徑為r,高為h的圓柱(橡皮泥沒有浪費),則該圓柱表面積的最小值為()A.20π B.24π C.28π D.32π3.[探究點三·2023山西高二月考]一個等腰三角形的周長為10,四個這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形,如圖,若這四個三角形都繞底邊旋轉,四個頂點能重合在一起,構成一個四棱錐,則圍成的四棱錐的體積的最大值為()A.500281 B.500227 C.534.[探究點一]根據以往經驗,一超市中的某一商品每月的銷售量y(單位:件)與銷售價格x(單位:元/件)滿足關系式y=60x-20+2(x-50)2,其中20<x<50.已知該商品的成本為20元/件,則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最大值為A.8600元 B.8060元C.6870元 D.4060元5.[探究點三]已知球體的半徑為3,當球內接正四棱錐的體積最大時,正四棱錐的高和底面邊長的比值是()A.1 B.2 C.3 D.26.[探究點二]已知鐵道機車運行1小時所需成本由兩部分組成,固定部分為m元,變動部分與運行速度v(單位:千米/時)的平方成正比,比例系數為k(k>0).如果機車勻速從甲站開往乙站,則當機車以千米/時的速度運行時,成本最省.

7.[探究點一]某商場銷售某種商品,該商品的成本為3元/千克,每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y=1x-3+5(x-6)2,其中3<x<6,當銷售價格為元時,商場每日銷售該商品所獲得的最大利潤為8.[探究點二·北師大版教材習題]某體育館要建造一個長方形游泳池,其容積為4800m3,深為3m.如果建造池底的單價是建造池壁單價的1.5倍,怎樣設計水池能使總造價最低?B級關鍵能力提升練9.(2023四川宜賓高縣校級期中)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元,每年最大規模的種植量是8萬千克,每種植1千克藕,成本增加0.5元.如果銷售額函數是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是蓮藕種植量,單位:萬千克;銷售額的單位:萬元,a是常數),若種植2萬千克,利潤是2.5萬元,則要使利潤最大,每年需種植蓮藕A.8萬千克 B.6萬千克C.3萬千克 D.5萬千克10.如圖所示,一個倉庫設計由上部屋頂和下部主體兩部分組成,屋頂的形狀是四棱錐P-ABCD,四邊形ABCD是正方形,點O為正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形狀是長方體ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比,比例系數為k(k>0),下部主體造價與高度成正比,比例系數為8k.若欲造一個上、下總高度為10m,AB=8m的倉庫,則當總造價最低時,PO=()A.455m B.C.4m D.45m11.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價為p元,銷量Q(單位:件)與零售價p(單位:元)有如下關系:Q=8300-170p-p2,則該商品零售價定為元時利潤最大,利潤的最大值為元.

12.如圖所示,內接于拋物線y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線上運動,C,D在x軸上運動,則此矩形的面積的最大值是.

13.已知某公司生產一種零件的年固定成本為5萬元,每生產1千件,成本再增加3萬元.假設該公司年內共生產該零件x千件并且全部銷售完,每1千件的銷售收入為D(x)萬元,且D(x)=6.6-x230,0<x≤10,195x14.已知正三棱錐的體積為3,則其表面積的最小值為.

15.[2023江蘇鹽城月考]某房地產商建有三棟樓宇A,B,C,三棟樓宇間的距離都為2千米,擬準備在此三棟樓宇圍成的區域ABC外建第四棟樓宇D,規劃要求樓宇D對樓宇B,C的視角為2π3,如圖所示,(1)求四棟樓宇圍成的四邊形區域ABDC面積的最大值;(2)當樓宇D與樓宇B,C間距離相等時,擬在樓宇A,B間建休息亭E,在休息亭E和樓宇A,D間分別鋪設鵝卵石路AE和防腐木路DE,如圖,已知鋪設鵝卵石路、防腐木路的單價分別為a,2a(單位:元/千米,a為常數).記∠BDE=θ,求鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值.16.某同學大學畢業后,決定利用所學專業進行自主創業.經過市場調查,生產一小型電子產品需投入固定成本2萬元,每生產x萬件,需另投入流動成本C(x)萬元,當年產量小于7萬件時,C(x)=13x2+2x(萬元);當年產量不小于7萬件時,C(x)=6x+lnx+e3x-17(萬元).已知每件產品售價為6元(1)寫出年利潤p(x)(單位:萬元)關于年產量x(單位:萬件)的函數解析式.(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)當年產量約為多少萬件時,該同學的這一產品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(取e3≈20)C級學科素養創新練17.為了提升學生“數學建模”的核心素養,某校數學興趣活動小組指導老師給學生布置了一項探究任務:如圖,有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC,從中裁出等邊三角形紙片A1B1C作為底面,從剩余梯形ABB1A1中裁出三個全等的矩形作為側面,圍成一個無蓋的三棱柱(不計損耗).(1)若三棱柱的側面積等于底面積,求此三棱柱的底面邊長;(2)當三棱柱的底面邊長為何值時,三棱柱的體積最大?

6.3利用導數解決實際問題1.A要使材料最省,則要求新砌的墻壁的總長最短,設場地寬為x米,則長為512x米,因此新墻總長L=2x+512x(x>0),則L'=2-512x2.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此時長為51216=32(米2.B由題意可得圓柱和圓錐的體積相等,底面半徑為4,高為3的圓錐的體積為13×π×42×3=16π,底面半徑為r,高為h的圓柱的體積為πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=16r2,圓柱的表面積為S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·16r2=2πr2+32πr,S'=4πr-32πr2=4πr3-32πr2,令S'=4πr3-32πr2>0可得r>2,令S'=3.A設四棱錐為P-ABCD,如下圖所示.設四棱錐的高為PO,取邊BC的中點M.設四棱錐底面正方形邊長的一半為x,則側面等腰三角形的腰長PB=10-2x2=5-x,所以PM2=(5-x)2-x2.在直角三角形PMO中,OM=x,所以四棱錐的高PO=PM所以VP-ABCD=13·(2x)2·-設f(x)=-x6-10x5+25x4(0<x<5),則f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),令f'(x)=0,可得x=-10(舍去)或x=53當x∈0,53時,f'(x)>0,當x∈53,5時,f'所以函數f(x)在0,53內單調遞增,在所以當x=53時,f(x)取到最大值,即當x=53時,VP-ABCD取到最大值,此時VP-ABCD=故選A.4.B設超市每月銷售該商品所獲得的利潤為f(x)元,則f(x)=(x-20)60x-20+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)·(x-20)]=6(x-30)(x-50),令f'(x)>0,得20<x<30,則f(x)在(20,30)內單調遞增;令f'(x)<0,得30<x<50,則f(x)在(30,50)內單調遞減,所以f(x)的最大值為f(30)=8060.故選B5.A如圖,△PAC是正四棱錐P-ABCD的對角面,其外接圓是四棱錐外接球的大圓,O是圓心(球心),設正四棱錐底面邊長為a,則AC=2a,OA=OP=3,設OE=x(0<x<3),則由AO2=OE2+AE2,得x2+12a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四邊形ABCD=18-2x2V=13S四邊形ABCD·PE=13(18-2x2)(3+x)=23(-x3-3x2+V'=23(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),當0<x<1時,V'>0,V單調遞增,當1<x<3時,V'<0,V單調遞減∴當x=1時,V取得極大值也是最大值,即Vmax=643此時高PE=4,a=18-2×12=4,PEa6.mk由已知機車以速度v勻速運行,設甲、乙兩站相距s千米,總成本為y元則機車勻速從甲站到乙站所需時間t=sv∴y=(m+kv2)sv=skv+mv,求導,得y'=sk-mv2,令y'=0,得v=mk函數在0,mk內單調遞減,在mk,+∞內單調遞增,則v=mk為極小值點,∴當v=mk時,y有最小值.7.421設商場每日銷售該商品所獲得的利潤為L元,則L=y(x-3)=1x-3+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<6),則L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-令L'>0,得3<x<4;令L'<0,得4<x<6,所以函數L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)內單調遞增,在(4,6)內單調遞減,所以x=4時,L取得最大值,最大值為21元.8.解設池底的長為xm,則它的寬為1600xm,水池總造價為y.不妨設建造池壁的單價為1,則建造池底的單價為1.5.則有y=1600×1.5+6x+6×1600x=2400+6x+其中x>0.所以y'=6-9600x2.令y'=0,得所以當x∈(0,40)時,y'<0,當x∈(40,+∞)時,y'>0,當x=40時,函數取得最小值,最小值為2880.即當水池池底的長、寬均為40m時,總造價最低.9.B設銷售的利潤為g(x),由題意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x即g(x)=-18x3+916ax2-1.當x=2時,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+當x∈(0,6)時,g'(x)>0;當x∈(6,8)時,g'(x)<0.所以函數g(x)在(0,6)內單調遞增,在(6,8)內單調遞減,所以x=6時,利潤最大,故選B.10.B如圖,設BC的中點為E,連接PE,OE,則OE=4.由于PO⊥平面ABCD,則有PO⊥OE.在Rt△POE中,設∠PEO=θ,則有PO=4tanθ,PE=4cos所以上部屋頂面積為S=4S△PBC=64cosθ,下部主體的高度為h=10-4tan所以倉庫的總造價為y=S·k+h·8k=32k·2-sinθcosθ+設f(θ)=2-sinθcosθ0<θ<π2,所以f'(θ令f'(θ)=0,得sinθ=12,所以θ=π則當0<θ<π6時,f'(θ)<0,f(θ)在0,π6內單調遞減;當π6<θ<π2時,f'(θ)>0,f(θ)在π6,所以當θ=π6時,f(θ)有最小值,此時總造價最低,PO=4311.3023000設該商品的利潤為y元,由題意知,y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,則y'=-3p2-300p+11700,令y'=0得p=30或p=-130(舍),當p∈(0,30)時,y'>0,當p∈(30,+∞)時,y'<0,因此當p=30時,y有最大值,ymax=23000.12.439設CD=x,則點C的坐標為點B的坐標為x2∴矩形ABCD的面積S=f(x)=x·1-x22=-x34+x,x∈(0,2).由f'(x)=-3得x1=-233(舍),x2=∴x∈0,233時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,x∈233,2時,f'(x)故當x=233時,f(x)取最大值13.25設年利潤為W(x),則W(x)=xD(x)-(3x+5)=3當0<x≤10時,W'(x)=3.6-x2所以W(x)在(0,6)內單調遞增,在(6,10]上單調遞減,最大值為W(6)=3.6×6-6330-5=9.4(萬元當x>10時,W(x)=190-1875x-3x=190-1875x+3x≤190-21875x·3x=190-2當且僅當1875x=3x,即x=25時,等號成立綜上所述,當x=25千件時,年利潤最大.14.63設正三棱錐的底面邊長為a,高為h,如圖,過頂點S作底面ABC的垂線,垂足為O,過O作OD垂直AB于D,連接SD,∴AB=a,SO=h.∵SO⊥底面ABC,AB?底面ABC,∴AB⊥SO,SO⊥OD.又AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.又SD?平面SOD,∴AB⊥SD,即SD為△SAB的高,三棱錐體積3=13×34×a2×h又O為底面中心,∴OD=13ABsin60°=36a,SD=三棱錐的表面積S=34a2+3×12×a×a212+h2=34a2+32a4∴S'=33·h3-2-2h3+12h2h3+1,令S'=0,得h3-2-2h3+1=0,令h3+1=t∴h3+1=3,得h=當0<h<2時,S'<0,當h>2時,S'>0,故S在(0,2)內單調遞減,在(2,+∞)內單調遞增,故當h=2時,表面積最小,此時S=33·1+2315.解(1)由題意知,在△BCD中,BC=2,∠BDC=2π3,由余弦定理知BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos2π3,整理得BD2+CD2則4=BD2+CD2+BD·CD≥3BD·CD,即BD·CD≤43,當且僅當BD=CD=233時所以△BCD的面積S△BCD=12BD·CDsin2π3=34BD·CD≤34設△ABC的面積是S△ABC.顯然S△ABC=34×22=3因為四邊形ABDC的面積S=S△ABC+S△BCD,所以四邊形ABDC的面積的最大值為43答:四棟樓宇圍成的四邊形區域ABDC的面積的最大值為433(2)當樓宇D與樓宇B,C間距離相等時,由(1)知BD=DC=23則∠DBC=∠DCB,又因為∠BDC=2π所以∠DBC=π6因為三角形ABC為等邊三角形,所以∠ABC=π3,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=π在直角三角形EBD中,∠BDE=θ,所以DE=BDcosBE=BDtan∠BDE=233tanθ,則AE=AB-BE=2-23所以鋪設鵝卵石路和防腐木路的總費用為f(θ)=a·AE+2a·DE=a2-233tanθf'θ=2=23令f'(θ)=0,得sinθ=12因為θ∈0,π3,所以θ當0≤θ<π6時,f'(θ)<0,f(θ)單調遞減,當π6<θ≤π3時,f'(θ)>0,f(θ所以當θ=π6時,f(θ)極小值=fπ6=2所以f(θ)的最小值為4a.答:鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值為4a元.16.解(1)已知每件產品售價為