2022-2023學年山東省新泰市高二下學期第一次階段考試數學試題一、單選題1．下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據導數公式運算對選項一一驗證即可.【詳解】對于A，，故A錯；對于B，，故B錯；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯．故選：C．2．設函數在處的導數為2，則（

）．A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】根據導數的定義與極限的性質計算即可.【詳解】.故選：A.3．已知，為的導函數，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先將函數化簡為，再求得，判斷為奇函數，排除B，D；再分析選項A，C圖像的區別，取特殊值即可判斷出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴為奇函數，其圖象關于原點對稱，故B，D錯誤；將代入得：，故C錯誤．故選：A．4．若函數滿足對一切實數恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意分析出關于點對稱，進而求出不等式的解集.【詳解】由，對上式求導可得，即，所以關于對稱，因為，所以圖像的開口向上，對稱軸為，由，得，解得.故選：C.5．“賽龍舟”是端午節的習俗之一，也是端午節最重要的節日民俗活動之一，某單位龍舟隊欲參加端午節龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）．A．26種 B．31種 C．36種 D．37種【答案】D【分析】根據題意，設只會劃左槳的人，只會劃右槳的人，既會劃左槳又會劃右槳的人，據此按集合中參與人數分3種情況討論，再由加法原理求解即可．【詳解】根據題意，設只會劃左槳的人，只會劃右槳的人，既會劃左槳又會劃右槳的人，據此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法；②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法；③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法.故選：D．6．已知函數的圖象在處的切線方程為，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據導數的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】解：因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.7．函數在定義域R內可導，若，且，設，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件求出的對稱軸，并判斷的單調性，由此比較三者的大小關系.【詳解】由，可知關于對稱，由，可知當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增.而，，因為，所以，因為，所以，所以.即.故選：B.8．某停車場行兩排空車位，每排4個，現有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（

）A．288種 B．336種 C．384種 D．672種【答案】D【分析】分兩類情況，甲、乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，與丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨一排，計算可得.【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，種方案，丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨一排，種方案，所以共有種方案.故選：D二、多選題9．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．若，則正整數x的值是1【答案】ABC【分析】選項A，根據排列數公式直接判斷；選項B、D，根據組合數公式及性質直接求解；選項C，根據二項式系數和公式，奇數項與偶數項的二項式系數和各占一半得出結果.【詳解】選項A，因為，故A正確；選項B，，故B正確；選項C，由，，得，故C正確；選項D，因為，所以或，即或6，故D錯誤.故選：ABC.10．用0，1，2，4，6，7組成無重復數字的四位數，則（

）A．個位是0的四位數共有60個 B．2與4相鄰的四位數共有60個C．不含6的四位數共有100個 D．比6701大的四位數共有71個【答案】ABD【分析】對于A特殊元素法，先排零；對于B捆綁法，分零是否被選到兩種情況討論；對于C在0，1，2，4，7選排，先排首位；對于C，分別考慮首位為7，前兩位為67.【詳解】個位是0的四位數共有個，A正確．若不含0，則2與4相鄰的四位數有個；若含0，則2與4相鄰的四位數有個，故2與4相鄰的四位數共有60個，B正確．不含6的四位數共有個，C錯誤．比6701大的四位數共有個，D正確．故選：ABD11．已知函數的導函數為，則（

）A．若在處取得極值，則B．若函數在上是減函數，則當時，C．若為偶函數，則是奇函數D．若是周期函數，則也是周期函數【答案】ACD【分析】函數在極值處導函數為0，偶函數的導函數是奇函數，奇函數的導函數是偶函數；周期函數的導函數必然也是周期函數，根據導函數的性質容易得答【詳解】A:根據極值的定義，極值點處導數值為0，A對；B：反例是減函數，但是故B錯；C：為偶函數，所以所以是奇函數，C對；D：是周期函數，若為其一個周期，則，也為周期函數，故D對;故選：ACD12．已知是函數的一條切線，則實數的值可以為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根據的切線過原點求得切點的橫坐標，結合導數求得的可能取值.【詳解】設是函數圖象上的一點，，所以在點的切線方程為①，直線過原點，由①令得，，所以或，當時，，當時，，綜上所述，的可能取值為.故選：ABD三、填空題13．的展開式中的常數項是．【答案】/1.3125【分析】根據二項展開式的通項公式，求出展開式中的常數項對應的的值，再代入通項公式，即可得解．【詳解】二項式展開式的通項為，令，可得，故，所以展開式的常數項為．故答案為：14．高二年級數學組準備從含彭老師、張老師的4個老師中選取3老師給學生進行專題講座，要求彭老師、張老師至少有一個人參加，且若二人同時參加，則他們演講課順序不能相鄰，那么不同的講課順序的種數為.【答案】16【分析】利用分類加法原理和排列組合知識即可求解【詳解】第一類，當彭老師、張老師只有一個人參加時，演講課的順序種數為；第二類，當彭老師、張老師都參加時，從剩余的2人種選一人，然后讓彭老師、張老師講課的順序不相鄰，有種；共有種.故答案為：1615．從3名骨科?4名腦外科和5名內科醫生中選派4人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科?腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是（作數字作答）【答案】270【分析】根據分類加法原理和分步乘法原理再結合組合的概念求解.【詳解】第一類:有2名骨科醫生，1名腦外科醫生，1名內科醫生，則不同的選派方案為種;第二類:有1名骨科醫生，2名腦外科醫生，1名內科醫生，則不同的選派方案為種;第三類:有1名骨科醫生，1名腦外科醫生，2名內科醫生，則不同的選派方案為;由分類計數原理得，不同的選派方案種數是60+90+120=270.故答案為:270.16．已知函數的導函數為，且滿足在上恒成立，則不等式的解集是．【答案】【分析】構造函數，再將轉化為，進而根據的單調性求解即可.【詳解】令，則，所以在上單調遞增，由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案為：.四、解答題17．設．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二項展開式的通項公式求解即可；（2）分別令和即可求解.【詳解】（1）的展開式的通項公式為，所以.（2）因為，所以當時，，當，，所以.18．已知是函數的極值點，則：(1)求實數的值．(2)求函數在區間上的最值．【答案】(1)；(2)在上的最小值為，最大值為.【分析】（1）由求得的值；（2）結合函數的單調性來求得函數在區間上的最值.【詳解】（1），由題意知，或，時，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以為函數的極值點，滿足要求；時，，因為，當且僅當時，，所以函數在上單調遞增，不是函數的極值點，不符合題意.則.（2）由（1）知，且在單調遞減，在單調遞增，又，，，則，.19．已知函數滿足.(1)求在處的導數；(2)求的圖象在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，再令即可得出答案；（2）由（1）求得，再根據導數的幾何意義即可得出答案.【詳解】（1）由，得，則，所以；（2）由（1）得，則，所以的圖象在點處的切線方程為，即.20．現有如下定義：除最高數位上的數字外，其余每一個數字均比其左邊的數字大的正整數叫“幸福數”（如346和157都是三位“幸福數”）.(1)求三位“幸福數”的個數；(2)如果把所有的三位“幸福數”按照從小到大的順序排列，求第80個三位“幸福數”.【答案】(1)個(2)589【分析】（1）由幸福數的定義結合組合公式求解即可；（2）分類討論最高位數字，由組合公式結合分類加法計數原理得出第80個三位“幸福數”.【詳解】（1）根據題意，可知三位“幸福數”中不能有0，故只需在數字1，2，3，…，9中任取3個，將其從小到大排列，即可得到一個三位“幸福數”，每種取法對應1個“幸福數”，則三位“幸福數”共有個.（2）對于所有的三位“幸福數”，1在最高數位上的有個，2在最高數位上的有個，3在最高數位上的有個，4在最高數位上的有個，5在最高數位上的有個.因為，所以第80個三位“幸福數”是最高數位為5的最大的三位“幸福數”，為589.21．已知函數．(1)當時，求函數的極值；(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍并證明：．【答案】(1)極大值為，極小值為；(2),證明見解析.【分析】（1）求導得，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．（2）將問題轉化為有兩個不同的實根，構造函數，，利用導數研究函數單調性極值與最值即可得出．【詳解】（1）當時，函數．，令，得或當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，則在處取得極大值，在處取得極小值．極大值為，極小值為．（2）關于的方程有兩個不同實根,，即有兩不同實根，，得，令，，令，得，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，時，取得最大值，且，得圖象如圖：.

，即當時，有兩個不同實根，．兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得．不妨設，要證：．只需證：,即證．設，令，則，函數在上單調遞增，且,，即，．【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.22．已知函數（且）(1)討論函數的單調性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，分、、、討論可得答案；（2）分、、、討論，結合單調性和零點情況可得答案．【詳解】（1）因為，當時，時，所以在單調遞減；時，，所以在單調遞增；當時，時，，所以在和單調遞增，時，在單調遞減；當時，，所以在單調遞增；當時，，所以在和上單調遞增，時，在單調遞減；（2）當時，由（1）可知是唯一的極小值點，且，，所以在有唯一零點；，所以在上有唯一零點，符合題意；當時，由（1）可知為極大值點，且，所以不符題意；當時，在單調，不符題意；當時，由（1）可知，為函數極大值點，且，不符題意．綜上所述，.【點睛】方法點睛：函數有零點（方程有