2022-2023學(xué)年山西省高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合交集運算求解即可；【詳解】因為，所以．故選：C.2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法求解即可.【詳解】．故選：B3．端午節(jié)前后，人們除了吃粽子、插艾葉以外，還要給孩子們佩戴香囊.某商家銷售的香囊有四種不同的形狀，其中圓形的香囊有36個，方形的香囊有18個，桃形的香囊有27個，石榴形的香囊有9個.現(xiàn)該商家利用分層隨機抽樣的方法在這些香囊中抽出20個香囊擺放在展臺上，則抽出的桃形香囊的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用抽樣比可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)分層隨機抽樣的概念可得抽出的桃形香囊的個數(shù)為.故選：C4．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判即可.【詳解】因為，，，所以．故選：A5．將函數(shù)圖象上所有的點都向左平移個單位長度，再把得到的曲線圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)圖像平移結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】將圖象上所有的點都向左平移個單位長度，得到曲線，再把得到的曲線上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象.故選：A6．柜子中有3雙不同顏色的手套，紅色、黑色、白色各1雙.若從中隨機地取出2只，則取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一雙手套的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，分別用表示6只手套，從中隨機地取出2只，包含，，共有15種，其中取出的手套中一只左手套一只右手套，包含，共有6種，所以不是一雙手套的概率為.故選：B.7．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代換求解.【詳解】解：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．故選：C8．已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，過作的垂線，由在上的投影向量為，求得，又由，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】因為，所以，又因為O為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點，過作的垂線，垂足為，因為在上的投影向量為，所以在上的投影向量為，又因為，所以，因為，所以，即的取值范圍為．故選：D.

二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，若，則（

）A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限C． D．的虛部為3【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則化簡，然后根據(jù)條件，解得，逐個判斷選項即可；【詳解】，因為，所以，解得，則，，A正確．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為在第一象限，B錯誤．，C正確．，虛部為3，D正確．故選：ACD.10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上的值域為【答案】ACD【分析】對于A，由圖象可知，可求出，對于B，和可出的值，對于C，由可求出對稱軸，對于D，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】依題意得，因為，所以，所以A正確.因為，所以，解得.因為，所以，所以當(dāng)時，，所以B錯誤.因為，所以令，解得，則的圖象關(guān)于直線對稱，C正確.因為當(dāng)時，，所以，所以在上的值域為，所以D正確.故選：ACD11．在正四棱臺中，，，，則（

）A．該四棱臺的高為3B．該四棱臺的體積為C．能夠被完整放入該四棱臺內(nèi)的圓臺的側(cè)面積可能為D．該四棱臺的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)分析，求得四棱臺的高為3，然后根據(jù)體積公式、外接球，內(nèi)接圓臺逐個判斷選項；【詳解】

因為，，，所以該四棱臺的高為，A正確．該四棱臺的體積為，B錯誤．當(dāng)圓臺剛好能夠被完整放入該四棱臺時，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為3，圓臺的母線長為，側(cè)面積為，，C正確．設(shè)該四棱臺的外接球的球心到上底面的距離為x，則，解得，則該四棱臺的外接球的半徑，該四棱臺的外接球的表面積為，D正確．故選：ACD.【點睛】結(jié)合正四棱臺外接球和內(nèi)切圓臺的性質(zhì)確定球心和半徑的大小是本題的難點和突破點；12．如圖，一個正八面體的八個面分別標有數(shù)字1，2，3，…，8，任意拋擲一次該正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，若事件，事件，事件，則（

）

A．事件A，B相互獨立 B．事件A，C相互獨立C．事件B，C相互獨立 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)事件的運算法則得到各個事件的概率，ABC選項，根據(jù)獨立事件所滿足的條件進行判斷；D選項，根據(jù)事件概率計算即可.【詳解】因為事件，事件，事件，所以，，，，所以，，，，，A選項，，事件A，B不相互獨立，A錯誤；B選項，，事件A，C相互獨立，B正確；C選項，，事件B，C相互獨立，C正確；D選項，，D正確．故選：BCD三、填空題13．已知且，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用余弦的倍角公式，得到，即可求解.【詳解】因為，所以，所以，又因為，可得．故答案為：.14．已知某藝術(shù)班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，該班男生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為25，方差為1，女生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為30，方差為2，則這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的方差為．【答案】【分析】根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)和方差的公式，準確計算，即可求解.【詳解】由題意得，這25名學(xué)生每人作品數(shù)量的平均數(shù)為，所以方差為．故答案為：.15．如圖，在四面體中，點在平面上的射影是，，若，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為．

【答案】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，分別取的中點，連接，因為點在平面上的射影是，所以平面ABC，則，，因為分別為的中點，所以，，所以與所成的角即或其補角，因為，所以，，所以，又因為，所以，所以，故異面直線PC與AB所成角的余弦值為．故答案為：.

16．咸陽市的標志性建筑清渭樓，古樸典雅，蔚為壯觀．為了測量清渭樓最高點M與其附近一觀測點N之間的距離，取水平方向距離1200米的P，Q兩點，測得，，，，其中點M，N，P，Q在同一鉛垂面內(nèi)，則M，N兩點之間的距離為米．

【答案】【分析】先在中利用正弦定理求得的長，進而在中利用余弦定理即可求得M，N兩點之間的距離【詳解】由題意知，，所以，所以在中，米，米．又，，所以．在中，由正弦定理，得，所以（米）．在中，．由余弦定理得，（米）．故答案為：四、解答題17．已知向量，，．(1)若，，求向量與的夾角；(2)若，且，求與的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，，結(jié)合，和，列出的方程組，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)，時，可得，則，設(shè)向量與的夾角為，則，因為，所以向量與的夾角為．（2）解：由向量，，可得，因為，所以，可得，又因為，且，所以，即解得或．18．如圖，平面，為圓O的直徑，分別為棱的中點．

(1)證明：平面．(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；（2）線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）因為分別為棱的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）因為為圓O的直徑，所以．因為平面，平面，所以．又，平面，所以平面．由（1）知，所以平面．又因為平面，所以平面平面．19．某市對該市全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于環(huán)境保護相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從A校隨機抽取了300名學(xué)生，從B校隨機抽取了400名學(xué)生，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間[50，100]內(nèi)，并將收集到的數(shù)據(jù)按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)估計A校這300名學(xué)生成績的75%分位數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計A校抽取的300名學(xué)生成績的平均值為μ1，B校抽取的400名學(xué)生成績的平均值為μ2，以及A，B兩校抽取的700名學(xué)生成績的平均值為μ0，試比較μ0和的大小.【答案】(1)88.75(2)【分析】（1）由計算百分位數(shù)的方法計算即可；（2）由頻率分布直方圖求出各平均值，比較即可.【詳解】（1）設(shè)75%分位數(shù)為，因為，，所以，則，解得，所以估計A校這300名學(xué)生成績的75%分位數(shù)為88.75.（2），，則，又A校與B校抽取的學(xué)生人數(shù)比值為，所以A校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的，B校抽取的學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的，故A，B兩個學(xué)校抽取的700名學(xué)生成績的平均值為，故.20．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若AD為的角平分線，，且，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）由，得到，然后由求得b，c，再利用余弦定理求解.【詳解】（1）由正弦定理得，即．因為，所以．因為，所以．又，則．（2）因為，所以．由，得，得．又，解得，，則，所以的周長為．21．某學(xué)校派甲、乙兩人組成“少年隊”參加射擊比賽，每輪比賽由甲、乙各射擊一次，已知甲每輪射中的概率為，乙每輪射中的概率為．在每輪比賽中，甲和乙射中與否互不影響，各輪比賽結(jié)果也互不影響．(1)求“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次的概率；(2)求“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次的概率．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式計算即可；（2）根據(jù)二項分布算出甲和乙在三輪比賽中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用獨立事件的乘法公式和概率的加法即可.【詳解】（1）設(shè)，分別表示甲、乙在第k（，2，3，…）輪射中，則，．設(shè)C表示“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次，則，所以“少年隊”在一輪比賽中恰好射中1次的概率為．（2）設(shè)，，，分別表示甲在三輪比賽中射中0次，1次，2次，3次，，，，分別表示乙在三輪比賽中射中0次，1次，2次，3次，M表示“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次．，，，，，，，，所以，故“少年隊”在三輪比賽中恰好射中3次的概率為．22．如圖，在四棱錐中，，，，△MAD為等邊三角形，平面平面ABCD，點N在棱MD上，直線平面ACN．

(1)證明：．(2)設(shè)二面角的平面角為，直線CN與平面ABCD所成的角為，若的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)相似以及線面平行的性質(zhì)即可求解，（2）由面面垂直可得線面垂直，進而根據(jù)二面角以及線面角的定義，即可找到其平面角，利用三角形的邊角關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）證明：連接BD交AC于O，連接ON．

因為，，所以根據(jù)相似的性質(zhì)可得．因為直線平面ACN，平面MBD，平面平面，所以，則，所以．（2）取AD的中點E，AC的中點F，連接ME，EF，MF．因為△MAD為等邊三角形，所以不妨設(shè)，則，．因為平面平