2022-2023學年山西省晉城市校高二下學期開學考試數學試題一、單選題1．已知兩條直線和相互垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，建立方程，即可求出a的值.【詳解】兩條直線和相互垂直，則，解得.故選：D2．數列滿足，，則數列的前項的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出，對任意的，，計算出數列前五項的值，結合數列的周期性可求得數列的前項的乘積.【詳解】數列滿足，，則，，，，，以此類推可知，對任意的，，且，又因為，因此，數列的前項的乘積為.故選：B.3．若函數在處的切線方程為，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根據導數的幾何意義得到，再根據導數的定義及極限的運算性質計算可得.【詳解】因為函數在處的切線方程為，所以，所以.故選：D4．直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知，曲線表示圓的下半圓，作出圖形，求出當直線與曲線相切以及直線過點時對應的的值，數形結合可得出實數的取值范圍.【詳解】由可得，整理可得，其中，所以，曲線表示圓的下半圓，如下圖所示：

當直線與曲線相切時，由圖可知，，且有，解得，當直線過點時，則有，由圖可知，當時，直線與曲線有兩個公共點，故選：B.5．已知點為拋物線：的焦點，過點F且傾斜角為60°的直線交拋物線于A，B兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】通過拋物線焦點坐標及點斜式即可求解出直線的方程，代入的方程，設，根據根與系數關系即可得出與的關系，通過拋物線上的點到焦點的距離與該點到拋物線準線距離相等可知，代入即可轉化為關于的二元一次方程，即可求解.【詳解】由題意知的方程為，代入的方程，得，設，則；因為，且，所以，整理得，所以，結合，解得.故選：C6．若為圓上任意兩點，為直線上一個動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖上易知，當不動時，為兩切線角最大，再將的最值問題轉化為的最值問題可求.【詳解】如圖，為兩切線，為直線上一個點，所以當為兩切線是取等號；又，故只需求，,又，故選：B7．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點為直線上的動點，題意可轉化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關于直線的對稱點，故，即可求出答案【詳解】設點為直線上的動點，由可看作與的距離和與的距離之和，設點則點為點關于直線的對稱點，故，且，所以，當且僅當三點共線時，取等號，所以的最小值為.故選：C8．若數列的通項公式分別是，且對任意恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對分奇數和偶數進行討論，結合對任意恒成立，即可求得實數的取值范圍.【詳解】當為奇數時，由已知，所以，，因為對任意恒成立，所以，所以，當為偶數時，，因為對任意恒成立，所以，所以，綜上：.故選：C二、多選題9．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本函數的導數公式，導數的運算法則逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，，A不正確；對于B，，B正確；對于C，，C不正確；對于D，，D正確.故選：BD10．已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（

）A．若，則 B．面積的最大值為C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點有個【答案】ABC【分析】利用余弦定理可判斷A選項；利用三角形的面積公式可判斷B選項；利用橢圓的定義可判斷C選項；利用平面向量的數量積可判斷D選項.【詳解】在橢圓中，，，，且，對于A選項，當時，則，由余弦定理可得，因為，所以，，A對；對于B選項，當點為橢圓的短軸頂點時，點到軸的距離最大，所以，面積的最大值為，B對；對于C選項，因為，即，所以，，C對；對于D選項，當或時，為直角三角形，此時滿足條件的點有個，當為直角頂點時，設點，則，，，，所以，，，此時，滿足條件的點有個，綜上所述，滿足是直角三角形的點有個，D錯.故選：ABC.11．已知正方體的棱長為2，M為的中點，N為正方形ABCD所在平面內一動點，則下列命題正確的有（

）A．若，則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B．若MN與平面ABCD所成的角為，則N的軌跡為圓C．若N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線【答案】BCD【分析】設MN中點為H，DM中點為Q，連接PQ，計算出PQ可知P的軌跡為圓可判斷A；根據已知算出DN，可判斷B；根據拋物線定義可判斷C；以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，利用向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，設MN中點為H，DM中點為Q，連接HQ，則，且，如圖，若，則所以，，則，所以點H的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A錯誤；對于B，，，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故B正確；對于C，點N到直線的距離為BN，所以點N到定點B和直線DC的距離相等，且B點不在直線DC上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；對于D，如圖，以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設，，，，所以，，，化簡得，即，所以的軌跡為雙曲線，故D正確；故選：BCD.12．已知數列{an}滿足，其中λ∈{－1，0，1}，下列說法正確的是（

）A．當λ=0時，數列{an}是等比數列B．當λ=－1時，數列{（－2）nan}是等差數列C．當λ=1時，數列是常數列D．數列{an}總存在最大項.【答案】ACD【分析】由等比數列的定義判斷A，由等差數列的定義判斷BC，由數列的單調性判斷D．【詳解】時，，又，所以是首項為，公比為的等比數列，A正確；時，，，即，所以數列是等差數列，因此數列不是等差數列，B錯；時，，，是等差數列，又，所以，，從而是常數，C正確；由以上討論知時，最大值是，時，，，時，，所以數列最大值為；時，，，即，，有最大項，D正確．故選：ACD．三、填空題13．曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.【答案】【分析】利用導數求的幾何意義求出切線方程，求出切線與兩坐標軸的交點，結合三角形的面積公式可求得結果.【詳解】對函數求導得，所求切線斜率為，當時，，切點坐標為，所以，曲線在處的切線方程為，即，直線交軸于點，交軸于點，所以，曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.故答案為：.14．已知點為雙曲線的左焦點，過點作傾斜角為60°的直線，直線與雙曲線有唯一交點，且，則雙曲線的方程為．【答案】【分析】根據題意得，，由，得，代入方程解決即可.【詳解】由題知，因為點為雙曲線的左焦點，過點作傾斜角為60°的直線，直線與雙曲線有唯一交點，所以直線與漸近線平行，所以，即，所以雙曲線為，因為，所以，即，所以，解得，或（舍去），所以，所以雙曲線的方程為，故答案為：.15．若曲線有兩條過坐標原點的切線，則實a的取值范圍為.【答案】【分析】先設切點為，利用導數與切線斜率的關系表示出切線方程，再根據切線經過坐標原點，將坐標原點代入切線方程所得方程有2個不同的根，即可求解.【詳解】設切點坐標為：，，所以切線斜率為，即切線方程為，又切線過坐標原點，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個解，所以，解得故答案為：四、雙空題16．若數列滿足，，則，.【答案】【分析】根據，，令，可求得，再由求解.【詳解】因為，，所以，解得，又因為，所以，又因為，所以；所以，，.故答案為：，五、解答題17．設是公比大于0的等比數列，為數列的前n項和．且是一元二次方程的兩根．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據和來求得數列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）由于一元二次方程的兩根為和.由于，所以若，則，與矛盾.所以，即，，由于，所以，所以.（2），①，②，①-②得，所以.18．已知圓和直線.(1)證明：不論m為何實數，直線l都與圓C相交；(2)當直線l被圓C截得的弦長最小時，求直線l的方程；(3)已知點在圓C上，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）把直線的方程變形后，根據直線恒過定點，得到關于與的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線恒過的定點坐標，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離,發現小于圓的半徑，得到此點在圓內，故直線與圓恒交于兩點；（2）根據直線與圓相交弦長公式，可確定當圓心到直線的距離最大值時，弦長最小，即直線與垂直時，求得直線方程；（3）表示圓C上的點到的距離的平方，求其最值即轉化為點與圓上的點的距離最大值的平方，結合圓的性質可求．【詳解】（1）證明：因為，所以，令解得，所以直線l過定點，而，即點在圓內部，所以直線l與圓C相交；（2）解：如圖所示，過圓心作于，設所過定點為由圖可知圓心到直線的距離，且，又直線l被圓C截得的弦長為，故當取最大值時，弦長最小所以當，即直線時直線被圓C截得的弦長最小時，又圓心，所以，所以直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.（3）解：因為，表示圓C上的點到的距離的平方，因為圓心到原點的距離，所以.19．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角B的大小；(2)若，D為邊上的一點，，且是的平分線，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據同角三角函數關系式中的商關系，結合兩角和的正弦公式、正弦定理進行求解即可；（2）由，得，結合余弦定理，求出的值即可求得的面積.【詳解】（1），又，則，即，又，則；（2）由平分，，，則有：，即，在中，由余弦定理可得：，又，則有：，聯立，可得：，解得：或(舍去)，故.20．已知函數.(1)當時，求函數在上的最大值和最小值；(2)若函數在區間內存在極小值，求實數的取值范圍.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而確定最值；（2）求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而確定極值點，注意討論與的大小關系.【詳解】（1）當時，則函數，，令，解得或，當時，，當時，，則函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，∴在時取得極小值為，且，故在上的最大值為，最小值為.（2）∵，則①當時，，函數單調遞增，無極值，不合題意，舍去；②當時，令，得或，∴在，上單調遞增，在上單調遞減，故函數在時取得極大值，在時取得極小值，∴；③當時，令，得或，∴在和上單調遞增，在上單調遞減，故函數在時取得極大值，在時取得極小值，∴，解得.綜上所述：實數的取值范圍是.21．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，，．(1)求證：平面；(2)若點在線段上，直線與直線所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據面面垂直性質可證得平面，則，利用勾股定理可證得，結合，由線面垂直的判定可得結論；（2）作，垂足為，作，則以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，根據線線角的向量求法可構造方程求得，利用面面角的向量求法可求得結果.【詳解】（1）四邊形為正方形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，；，，又，平面，平面.（2）作，垂足為，作，交于，平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）知：，，，，，，，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設，則，，，解得：，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面夾角的余弦值為.22．已知橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于P，Q兩點，且的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)已知過點與橢圓E相切的直線分別為，直線與