北京市昌平區2022年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共8道小題，每小題2分，共16分。下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。1.已知∠A為銳角，且sinA＝0.5，那么∠A等于（）A.15° B.30° C.45° D.60°答案：B答案解析：∵∠A為銳角，sinA=，∴∠A=30°．故選B．2.已知，則下列各式正確的是（）A. B. C. D.答案：A答案解析：，等式兩邊同時除以3b．得：．故選：A．3.拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標是（）A.（0，﹣2） B.（﹣2，0） C.（0，2） D.（2，0）答案：A答案解析：∵拋物線，∴拋物線的頂點坐標是（0，-2），故選A．4.已知反比例函數的圖象經過點，則的值為（）A. B. C. D.答案：D答案解析：將點（2，3）代入解析式得，，k＝6．故選：D。5.如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠BAD＝（）A.30° B.40° C.50° D.60°答案：B答案解析：略。6.如圖，面積為18的正方形ABCD內接于⊙O，則⊙O的半徑為（）A. B.C.3 D.答案：C答案解析：如圖，連接OA，OB，則OA=OB，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面積是18，∴，∴，即：∴故選C．7.關于二次函數y=-（x-2）2＋3，以下說法正確的是（）A.當x＞-2時，y隨x增大而減小 B.當x＞-2時，y隨x增大而增大C.當x＞2時，y隨x增大而減小 D.當x＞2時，y隨x增大而增大答案：C答案解析：∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，3），∵二次函數的圖象為一條拋物線，當x＞2時，y隨x的增大而減小，x＜2時，y隨x增大而增大。∴C正確，故選：C．8.如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為2，與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，點C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均為上的點（點P不與點A，B重合），若m＜n＜m，則點P的位置為（）A.在上 B.在上 C.在上 D.在上答案：B答案解析：點C、D、E、P都在上，由勾股定理得：，，，解得，，，故，D（，），E（，1），P（m，n），m＜n＜m，且m在上，點C的橫坐標滿足，點D縱坐標滿足，從點D到點C的弧上的點滿足：，故點P在上，故選：B二、填空題本題共8道小題，每小題2分，共16分。9.請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點（0,1）的拋物線的表達式_________答案：（答案不唯一）答案解析：∵拋物線開口向下，并且與y軸交于點（0,1）∴二次函數的一般表達式中，a<0，c=1，∴二次函數表達式可以為：（答案不唯一）.10.已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，那么直線l與⊙O的位置關系是__．答案：相交答案解析：∵⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，∴d<r，∴直線l與⊙O的位置關系是相交．故答案為相交．11.若扇形的圓心角為60°，半徑為2，則該扇形的弧長是_____（結果保留）答案：答案解析：依題意，n=，r=2，∴扇形的弧長=．

故答案為：．12.點A（-1，y1），B（4，y2）是二次函數y＝（x－1）2圖象上的兩個點，則y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）答案：答案解析：二次函數y＝（x－1）2的對稱軸為，時的函數值和的函數值相等，在對稱軸的右側隨的增大而增大故答案為：13.如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．答案：3答案解析：連接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；

即線段OH的長為3．14.已知反比例函數y＝的圖象分布在第二、四象限，則m的取值范圍是________答案：答案解析：∵反比例函數y＝圖像在第二、四象限，∴∴。15.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，C是優弧AB上的一個動點，若∠P=50°，則∠ACB＝_____________°答案：答案解析：連接，如圖，PA，PB分別與⊙O相切。16.點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1·x2≥0）是y=ax2（a≠0）圖象上的點，存在=1時，=1成立，寫出一個滿足條件a的值______________答案：答案解析：∵一定過，∴令，，∵=1時，=1成立，∴取，,∴，解得：．三、解答題本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，共68分。17.計算：2sin60°+tan45°－cos30°tan60°答案：答案解析：原式18.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，點D在AC上且AD=3，DE⊥AB于點E，求AE的長答案：答案解析：∵DE⊥AB于點E，∠C=90°，∴∠AED＝∠C，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，，AE＝．19.已知：二次函數y=x2－4x+3（1）求出二次函數圖象的頂點坐標及與x軸交點坐標；（2）在坐標系中畫出圖象，并結合圖象直接寫出y＜0時，自變量x的取值范圍答案：（1）頂點坐標為，與x軸交點坐標為，；（2）答案解析：（1），∴頂點坐標為與x軸交點坐標為，；（2）如圖所示：當時，自變量x的取值范圍為．20.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于點D且tan∠CAD＝，求BC的長答案：答案解析：∵于點D，∴，為直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴．21.已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC求作：一點P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點C，D兩點；③連接DA并延長交⊙A于點P點P即為所求（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明證明：連接PC，BD∵AB＝AC，∴點C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC＝∠CAD∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（______________________）（填推理的依據）∴∠APC＝∠BAC答案：（1）見解析；（2）BAC=BAD，圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半答案解析：（1）如圖所示，（2）證明：連接PC，BD∵AB＝AC，∴點C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝∠CAD∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（圓周角定理）（填推理的依據）∴∠APC＝∠BAC。22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，2）是一次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點（1）求反比例函數的表達式；（2）過點P（n，0）且垂直于x軸的直線與一次函數圖象，反比例函數圖象的交點分別為M，N，當S△OPM＞S△OPN時，直接寫出n的取值范圍答案：（1）；（2）或答案解析：（1）把代入，得，∴點A坐標為，把代入，得，∴反比例函數表達式為；（2）如圖，當時，解得：或，∵，∴，∴或．23.居庸關位于距北京市區50余公里外的昌平區境內，是京北長城沿線上的著名古關城，有“天下第一雄關”的美譽某校數學社團的同學們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強填寫的實踐活動報告的部分內容：請你幫他計算出城樓的高度AD（結果精確到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）題目測量城樓頂端到地面的高度測量目標示意圖相關數據BM=16m,BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°答案：城樓頂端距地面約為31.9m答案解析：根據題意，得BM=ED=16m，∠AEC=90°設AE為xm，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，∴∠CAE=45°，∴AE=CE在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=，又∵∠ABE=35°，∴tan35°=即解得x≈30.3∴AD=AE+ED≈30.3+16≈31.9（m）答：城樓頂端距地面約為31.9m24.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于點E，P是AB延長線上一點，且∠BCP＝∠BCD（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）連接DO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長答案：（1）見解析；（2），答案解析：（1）證明：連接OC∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB∵AB⊥CD于點E，∴∠CEB＝90°∴∠OBC＋∠BCD＝90°∴∠OCB＋∠BCD＝90°∵∠BCP＝∠BCD，∴∠OCB＋∠BCP＝90°∴OC⊥CP∴CP是⊙O的切線（2）∵AB⊥CD于點E，∴E為CD中點∵O為GD中點，∴OE為△DCG的中位線∴GC＝2OE＝6，∵∴△GCF∽△OAF∴即∵GF＋OF＝5，∴OF＝25.隨著冬季的到來，干果是這個季節少不了的營養主角，某超市購進一批干果，分裝成營養搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元銷售過程中發現，每天銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的關系可近似地看作一次函數：y＝-2x＋80（20≤x≤40），設每天獲得的利潤為w（元）（1）求出w與x的關系式；（2）當銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？答案：（1）；（2）當銷售單價定為每袋30元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元答案解析：（1）由題可得：；（2），∵，且，∴當時，．答：當銷售單價定為每袋30元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元．【點睛】本題考查二次函數的應用—銷售問題，由題列出關系式，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．26.在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在二次函數y＝x2＋bx的圖象上（1）當m＝-3時①求這個二次函數的頂點坐標；②若點（-1，y1），（a，y2）在二次函數的圖象上，且y2＞y1，則a的取值范圍是____；（2）當mn＜0時，求b的取值范圍答案：（1）①；②或；（2）答案解析：（1）當m＝-3時①把點（1，-3）代入y＝x2＋bx，得b＝-4，二次函數表達式為y＝x2-4x＝（x-2）2-4所以頂點坐標為（2，-4）②根據題意得拋物線y＝x2-4x開口向上，對稱軸為直線x=2，∵y2＞y1，∴i)當點（-1，y1），（a，y2）在拋物線對稱軸左側時，有；ii)當點（-1，y1），（a，y2）在拋物線對稱軸兩側時，根據對稱性可知；所以a的取值范圍是：a＜-1或a＞5故答案為：a＜-1或a＞5（2）將點（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b，n＝9＋3b當mn＜0時，有兩種情況：①若把m＝1＋b，n＝9＋3b代入可得此時不等式組無解②若把m＝1＋b，n＝9＋3b代入可得解得-3＜b＜-1所以-3＜b＜-127.已知∠POQ=120°，點A，B分別在OP，OQ上，OA＜OB，連接AB，在AB上方作等邊△ABC，點D是BO延長線上一點，且AB=AD，連接AD（1）補全圖形；（2）連接OC，求證：∠COP=∠COQ；（3）連接CD，CD交OP于點F，請你寫出一個∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并證明答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）∠DAB=150°，見解析答案解析：（1）如圖所示：（2）證明如下：在BQ上截取BE=AO，連接CE，∵△ABC為等邊三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°∵∠POQ=120°，∴∠CAO+∠CBO=180°∵∠CBO+∠CBE=180°，∴∠CAO=∠CBE，△CAO和△CBE中，，∴△CAO≌△CBE（SAS），∴CO=CE，∠COA=∠CEB，∴∠COE=∠CEB，∴∠COP=∠COQ；（3）∠DAB=150°，如圖：∵∠DAB=150°，DA=AB，∴∠ADB=∠ABD=15°∵△ABC為等邊三角形，∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，∴∠CAD=150°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=15°，∴∠DBC=∠DCB=75°，∴DB=DC，∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，∴∠DFO=90°∵AD=AC，∴DF=FC∴DO=OC∵DB=DO+