2022年廣東省深圳市紅嶺中學高二數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若有一組數據的總偏差平方和為120，相關指數為0.6，則回歸平方和為（

）A．60

B．72

C．48

D．120參考答案：B2.已知點、、、，則向量在方向上的投影為（）A．B．C．D．參考答案：A略3.數列滿足，，記數列前n項的和為Sn，若對任意的恒成立，則正整數的最小值為

（

）

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：A略4.從1，2，3，4這個數中，不放回地任意取兩個數，兩個數都是偶數的概率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.兩個等差數列和,其前項和分別為,且則等于A.

B.

C.

D.參考答案：D6.一貨輪航行到處，測得燈塔在貨輪的北偏東，與燈塔相距海里，隨后貨輪按北偏西的方向航行分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為（

）．A．海里/小時B．

海里/小時C．

海里/小時D．

海里/小時參考答案：B

解析：設貨輪按北偏西的方向航行分鐘后處，，

得，速度為

海里/小時．7.雙曲線的一個焦點是（0，3），那么的值是（

）

A.－1

B.1

C.

D.參考答案：A略8.對于函數，下列說法錯誤的是（

）A.函數的極值不能在區間端點處取得B.若為的導函數，則是在某一區間存在極值的充分條件C.極小值不一定小于極大值D.設函數在區間內有極值，那么在區間內不單調.參考答案：B【分析】利用導數知識對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.函數的極值不能在區間端點處取得，故該選項是正確的；B.若為的導函數，則是在某一區間存在極值的非充分條件，如函數，但是函數是R上的增函數，所以x=0并不是函數的極值點.故該選項是錯誤的；C.極小值不一定小于極大值，故該選項是正確的；D.設函數在區間內有極值，那么在區間內不單調.故該選項是正確的.故選：B【點睛】本題主要考查極值的概念和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9.已知一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長為2的正三角形，俯視圖是半徑為1的圓，則其表面積為（

）

A.

B．

C．

D．

參考答案：B10.實驗中學采取分層抽樣的方法從應屆高一學生中按照性別抽出20名學生作為樣本，其選報文科理科的情況如下表所示

男女文科25理科103

根據表中數據，利用公式計算的值，若斷定實驗中學的高一學生選報文理科與性別有關，那么這種判斷出錯的可能性為（

）(A)0.1

(B)0.05

(C)0.01

(D)0.001參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.A、B、C、D、E五種不同的商品要在貨架上排成一排,其中A、B兩種商品必須排在一起,而C、D兩種商品不能排在一起,則不同的排法共有___________種.參考答案：2412.已知平行四邊形ABCD的四個頂點均在雙曲線上，O為坐標原點，E，F為線段AB，AD的中點且OE，OF的斜率之積為3，則雙曲線C的離心率為

.參考答案：2由雙曲線的對稱性知O是平行四邊形ABCD對角線的交點，∴OE//AD，OF//AB，∴，設，則，設，則，∴，，故答案為2．

13.已知直線：ax+by=1（其中a，b是實數）與圓：x2+y2=1（O是坐標原點）相交于A，B兩點，且△AOB是直角三角形，點P（a，b）是以點M（0，1）為圓心的圓M上的任意一點，則圓M的面積最小值為．參考答案：（3﹣2）π【考點】直線與圓相交的性質．【分析】根據圓的方程找出圓心坐標和半徑，由|OA|=|OB|根據題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據勾股定理求出|AB|的長度，根據等腰直角三角形的性質可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個橢圓，圓M的面積最小時，所求半徑為橢圓a2+=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離最小值，即可得出結論．【解答】解：由圓x2+y2=1，所以圓心（0，0），半徑為1所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=則圓心（0，0）到直線ax+by=1的距離為，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圓M的面積最小時，所求半徑為橢圓a2+=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離最小值，由橢圓的性質，可知最小值為﹣1．所以圓M的面積最小值為π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案為：（3﹣2）π．14.橢圓x2＋4y2＝1的離心率為________．參考答案：a>1略15.已知向量，，，若，則

．參考答案：16.從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中奇數的個數為________(用數字作答)

參考答案：1817.某停車場內有序號為1,2,3,4,5的五個車位順次排成一排，現在四輛車需要停放，若兩車停放的位置必須相鄰，則停放方式種數為

▲

．（用數字作答）參考答案：48三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）根據橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，∴∴b=∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為∴△AMN的面積S=∵△AMN的面積為，∴∴k=±1．【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確求出|MN|．19.為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所科研單位A、B、C的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數據見下表（單位：人）：科研單位相關人數抽取人數A16B123C8（1）確定與的值；（2）若從科研單位A、C抽取的人中選2人作專題發言，求這2人都來自科研單位A的概率.

參考答案：略20.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE．（Ⅱ）求平面FBE與平面DBE夾角θ的余弦值．（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論．參考答案：（Ⅰ）證明：∵平面，平面，∴

…………1分

又∵是正方形，∴，…………2分∵，∴平面．…………3分（Ⅱ）∵，，兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標系，∵，得．…………4分則，，，，，∴，，…………6分設平面的法向量為，則，即，令，則．因為平面，所以為平面的法向量，∴，所以．因為二面角為銳角，故平面FBE與平面DBE夾角θ的余弦值為．…………9分（Ⅲ）依題意得，設，則，∵平面，∴，即，解得：，∴點的坐標為，此時，∴點是線段靠近點的三等分點．……12分21.已知函數().(Ⅰ)若在處的切線過點(2,2)，求a的值；(Ⅱ)若恰有兩個極值點，().(ⅰ)求a的取值范圍；(ⅱ)求證：.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)見證明【分析】(Ⅰ)對函數進行求導，然后求出在處的切線的斜率，求出切線方程，把點代入切線方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分類討論函數的單調性；當時，可以判斷函數沒有極值，不符合題意；當時，可以證明出函數有兩個極值點，，故可以求出的取值范圍；由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，由得，，又，.法一：先證明（）成立，應用這個不等式，利用放縮法可以證明出成立；法二：令()，求導，利用單調性也可以證明出成立.【詳解】解:(Ⅰ)，又在處的切線方程為，即切線過點，(Ⅱ)(ⅰ)，，，當時，，在上單調遞增，無極值，不合題意，舍去當時，令，得，()，或;，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，恰有個極值點，，符合題意，故的取值范圍是(ⅱ)由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，由得，，又，法一:下面證明（），令（），，在上單調遞增，，即（），，綜上法二:令()，則，在上單調遞增，，即，綜上【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了函數有極值時求參數取值范圍問題，考查了利用導數研究函數的性質.22.（本小題滿分14分）已知數列的前項和，函數對任意的都有，數列滿足.（1）分別求數列、的通項公式；（2）若數列滿足，是數列的前項和，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在請指出的取值范圍，并證明；若不存在請說明理由．參考答案：（1）

……………1分

時滿足上式，故

……………2分∵=1∴

……………3分∵

①∴

②∴①+②，得

……………5分（2）∵，∴

………………6分

∴，

①，

②①－②得

……