2022年河南省信陽市縣長臺關中學高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，，則=

（

）A. B. C. D.參考答案：C略2.在區間上任意取兩個實數，則函數在區間上有且僅有一個零點的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知函數的定義域為，部分對應值如下表，的導函數的圖象如右圖所示。當時，函數的零點的個數為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：D4.計算機是將信息轉換成二進制進行處理的.二進制即“縫二進一”，如表示二進制數，將它轉化成十進制形式是，那么將二進制數轉化成十進制形式是（

）A．13

B．10

C．15

D．18參考答案：B5.設命題p：函數y＝sin2x的最小正周期為；命題q：函數y＝cosx的圖象關于直線x＝對稱．則下列判斷正確的是

(

)A．p為真

B．﹁q為假

C．p∧q為假

D．p∨q為真參考答案：C6.橢圓的中心、右焦點、右頂點及右準線與軸的交點依次為、、、，則的最大值為（

）A

B

C

D

不確定參考答案：答案：C7.“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：C8.直線過點且與直線垂直，則直線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.定義運算：已知函數，則函數的最小正周期是A． B． C． D．參考答案：B10.已知,其中m,n是實數，i是虛數單位，則m+ni=(A)1-2i

(B)1+2i

(C)2-i

(D)2+i參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的最小正周期為

.參考答案：答案：

12.(幾何證明選做題)如圖（3），是圓的直徑，延長至，使，且，CD是圓的切線，切點為，連接，則________，________．參考答案：、略13.若直線與圓相交于P、Q兩點，且（其中O為原點），則k的值為_______．參考答案：略14.若實數x，y滿足條件則的最大值為__________．參考答案：5.【分析】作出可行域和目標函數圖象，找到最值點，代入目標函數，求出最大值.【詳解】作出可行域及如圖，平移直線可知在點A處目標函數取到最大值，聯立可得,代入可得.【點睛】本題主要考查線性規劃，求解線性規劃問題時，準確作出可行域是求解關鍵，側重考查直觀想象的核心素養.15.在總體中抽取了一個樣本，為了便于統計，將樣本中的每個數據除以100后進行分析，得出新樣本方差為3，則估計總體的標準差為

．參考答案：略16.若橢圓經過點，且橢圓的長軸長是焦距的兩倍，則▲．參考答案：2【知識點】橢圓及其幾何性質H5橢圓經過點得b=,橢圓的長軸長是焦距的兩倍a=2c,,b=聯立得a=2.【思路點撥】a=2c,,b=聯立得a=2.17.設拋物線的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為

.參考答案：設圓心坐標為C（－1，m），則A（0，m），焦點F（1,0）=(－1，0)，=(1，－m)，cos∠CAF=，m=，由于圓C與y軸的正半軸相切，則取m=，所求圓的圓心為（－1，），半徑為1，所求圓的方程為(x+1)2+(y－)2=1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數．（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；（2）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．

參考答案：解：（Ⅰ），當時，在上恒成立，函數

在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．·························································4分（注：分類討論少一個扣一分。）（Ⅱ）∵函數在處取得極值，∴，………5分∴，

……………………6分令，可得在上遞減，在上遞增，………………8分∴，即．······························································9分（Ⅲ）證明：，······································10分令，則只要證明在上單調遞增，又∵，顯然函數在上單調遞增．································12分∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．

14分略19.（12分）設橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點F1、F2，其離心率e=，且點F2到直線的距離為．（1）求橢圓E的方程；（2）設點P（x0，y0）是橢圓E上的一點（x0≥1），過點P作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點，求|AB|的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）設F1（﹣c，0），F2（c，0），依題意有，．可得c=1，a=2，b=，（2）如圖設圓的切線PM的方程為y=k（x﹣x0）+y0，由圓心（﹣1，0）到PM的距離為1，?|y0﹣k（x0+1）|=?（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．設圓的切線PN的方程為y=k1（x﹣x0）+y0，同理可得B（0，y0﹣k1x0），依題意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的兩個實根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．由，得|AB|2=1+=1+．【解答】解：（1）設F1（﹣c，0），F2（c，0），依題意有，．又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b=，∴橢圓E的方程為：．（2）如圖設圓的切線PM的方程為y=k（x﹣x0）+y0由圓心（﹣1，0）到PM的距離為1，?|y0﹣k（x0+1）|=?（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0∴A（0，y0﹣kx0）．設圓的切線PN的方程為y=k1（x﹣x0）+y0．同理可得B（0，y0﹣k1x0）依題意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的兩個實根，k1+k=，k1k=|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．∵，∴|AB|2=1+=1+∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+．∴|AB|的取值范圍為[]【點評】本題考查了橢圓的方程，橢圓與直線的位置關系，圓的切線問題，屬于難題20.已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據統計，經過兩條路徑所用的時間互不影響，且經過L1與L2所用時間落在各時間段內的頻率分布直方圖分別如圖（1）和圖（2）．現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于從A地到B地．（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到B地，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到B地的人數，針對（1）的選擇方案，求X的分布列和數學期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；B8：頻率分布直方圖；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到B地”，i=1，2．由頻率分布直方圖及頻率估計概率求出P（A1）＞P（A2），從而甲應選擇L1，P（B2）＞P（B1），從而乙應選擇L2．（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互獨立，由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到B地”，i=1，2．…由頻率分布直方圖及頻率估計相應的概率可得：P（A1）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，P（A2）=（0.01+0.04）×10=0.5．∵P（A1）＞P（A2），故甲應選擇L1．…P（B1）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，P（B2）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．∵P（B2）＞P（B1），故乙應選擇L2．…（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到B地，由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由題意知，M，N相互獨立，…∴P（X=0）=P（）=P（）P（）=0.4×0.1=0.04；P（X=1）=P（N+M）=P（）P（N）+P（M）P（）=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．…∴X的分布列為X012P0.040.420.54∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．…21.已知向量設函數（I）求的最小正周期與單調遞減區間；（II）在△ABC中，分別是角A、B、C的對邊，若△ABC的面積為，求的值.參考答案：解：（I）

…………4分

…………5分

…………7分

（II）由得

…………10分