2022-2023學年四川省成都市雙流區教科院附屬學校八年級第一學期測評數學試卷（一）一、選擇題（本大題8個小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．下列各數是無理數的是（）A．0.2 B．3 C．2. D．2．下列長度的三根線段，能構成直角三角形的是（）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm3．下列計算中，正確的是（）A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．4．是關于x，y的二元一次方程x﹣ay＝5的一組解，則a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數（單位：環）及方差S2（單位：環）如表所示：根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇（）甲乙丙丁9899S21.80.650.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．如圖，以一直角三角形的三邊分別向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則B所代表的正方形的面積為（）A．144 B．196 C．256 D．3047．下列說法正確的是（）A．若一個數的立方根等于它本身，則這個數一定為零 B．如果一個數有立方根，那么這個數也一定有平方根 C．負數沒有立方根 D．任何數的立方根都只有一個8．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個，或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現有36張白鐵皮，設用x張制盒身，y張制盒底，恰好配套制成罐頭盒．則下列方程組中符合題意的是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）9．（﹣3）2的算術平方根是，的倒數是．10．一組數據2，4，8，9的中位數是．11．已知一個正數的平方根分別是3﹣a和2a+3，則這個正數是．12．若：，則x+y＝．13．如圖，已知圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為dm．三、解答題（本大題共5個小題，共48分，答案寫在答題卡上）14．（1）計算：（）×﹣6；（2）解方程組：．15．化簡求值﹣a，其中a＝﹣1．16．在學校組織的“文明出行”知識競賽中，8（1）和8（2）班參賽人數相同，成績分為A、B、C三個等級，其中相應等級的得分依次記為A級100分、B級90分、C級80分，達到B級以上（含B級）為優秀，其中8（2）班有2人達到A級，將兩個班的成績整理并繪制成如下的統計圖，請解答下列問題：（1）求各班參賽人數，并補全條形統計圖；（2）此次競賽中8（2）班成績為C級的人數為人；（3）小明同學根據以上信息制作了如下統計表：求出m的值，并從優秀率和穩定性方面比較兩個班的成績．平均數（分）中位數（分）方差8（1）班m90498（2）班91902917．一輛卡車裝滿貨物后，高4m，寬2.8m，這輛卡車能通過橫截面如圖所示的隧道嗎？18．（1）如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點Q，連接PQ，則PQ，AP，CQ的數量關系是；（2）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數量關系？并證明你的結論；（3）（思維拓展）如圖3，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，若AD＝5，BD＝3，求CD的長度．四、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）19．如圖所示，OA＝OB，數軸上點A表示的數是．20．已知實數x，y滿足，則xy2的平方根為．21．如圖，在長方形ABCD中，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于點H，延長BF、DC相交于點G，若DG＝4，BC＝6，則DC＝．22．若a1＝1+，a2＝1+，a3＝1+，a4＝1+…，則+…+的值為．23．已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個動點，連接BE，將線段BE繞點B逆時針旋轉60°得到BF，連接DF，則在點E運動的過程中，當線段DF長度的最小值時，DE的長度為．五、解答題（本大題共3個小題，共30分，答案寫在答題卡上）24．閱讀下列文字，請仔細體會其中的數學思想：（1）解方程組，我們利用加減消元法，可以求得此方程組的解為；（2）如何解方程組呢，我們可以把m+5，n+3分別看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y，請補全過程求出原方程組的解；（3）若關于m，n的方程組，則方程組的解為．25．閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比，在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如（+3）（﹣3）＝﹣4，（+）（﹣）＝1，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理數因式，于是，二次根式除法可以這樣解：如＝＝，＝＝7+4．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫分母有理化．解決問題：（1）比較大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）計算：++…+；（3）設實數x，y滿足（x+）（y+）＝2019，求x+y+2019的值．26．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH＝AC；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：BM＝EM；（3）當點D在射線CB上時，連接BE交直線AC于M，若2AC＝5CM，則的值為．

參考答案一、選擇題（本大題8個小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．下列各數是無理數的是（）A．0.2 B．3 C．2. D．【分析】根據無理數的定義（無理數是指無限不循環小數）判斷即可．解：A．0.2是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；B．3是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；C．2.是循環小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；D．是無理數，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了無理數，掌握無限不循環小數是無理數是解題的關鍵．2．下列長度的三根線段，能構成直角三角形的是（）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm【分析】根據勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答．解：A、∵32+52＝34，52＝25，∴32+52≠52，∴不能構成直角三角形，故A不符合題意；B、∵42+52＝41，82＝64，∴42+52≠82，∴不能構成直角三角形，故B不符合題意；C、∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴能構成直角三角形，故C符合題意；D、∵2+4＝6＜7，∴不能構成三角形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．3．下列計算中，正確的是（）A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．【分析】利用二次根式的加減法的法則及乘法的法則對各項進行運算即可．解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、2與不屬于同類二次根式，不能運算，故B不符合題意；C、2與﹣2不屬于同類二次根式，不能運算，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．4．是關于x，y的二元一次方程x﹣ay＝5的一組解，則a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根據題意，可得：1﹣（﹣2）a＝5，據此求出a的值是多少即可．解：根據題意，可得：1﹣（﹣2）a＝5，∴2a+1＝5，解得a＝2．故選：B．【點評】此題主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．5．甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數（單位：環）及方差S2（單位：環）如表所示：根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇（）甲乙丙丁9899S21.80.650.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的參加比賽．解：由表知甲、丙、丁射擊成績的平均數相等，且大于乙的平均數，∴從甲、丙、丁中選擇一人參加競賽，∵丁的方差較小，∴丁發揮穩定，∴選擇丁參加比賽．故選：D．【點評】此題考查了平均數和方差，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．6．如圖，以一直角三角形的三邊分別向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則B所代表的正方形的面積為（）A．144 B．196 C．256 D．304【分析】正由方形的面積公式得出AC2＝25，AD2＝169，再由勾股定理得CD2＝AD2﹣AC2＝169﹣25＝144，即可得出答案．解：如圖，由正方形的面積公式得：AC2＝25，AD2＝169，由勾股定理得：CD2＝AD2﹣AC2＝169﹣25＝144，∴B所代表的正方形的面積為144，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理、正方形面積公式等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．7．下列說法正確的是（）A．若一個數的立方根等于它本身，則這個數一定為零 B．如果一個數有立方根，那么這個數也一定有平方根 C．負數沒有立方根 D．任何數的立方根都只有一個【分析】根據平方根及立方根的定義及性質進行逐項判斷即可．解：若一個數的立方根等于它本身，則這個數為±1或0，則A不符合題意；負數有立方根，但沒有平方根，則B不符合題意；任何實數都有立方根，則C不符合題意；任何數的立方根都只有一個，則D符合題意；故選：D．【點評】本題考查平方根及立方根，熟練掌握其定義及性質是解題的關鍵．8．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個，或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現有36張白鐵皮，設用x張制盒身，y張制盒底，恰好配套制成罐頭盒．則下列方程組中符合題意的是（）A． B． C． D．【分析】根據題意可知，本題中的相等關系是：（1）盒身的個數×2＝盒底的個數；（2）制作盒身的白鐵皮張數+制作盒底的白鐵皮張數＝36，列方程組即可．解：設用x張制作盒身，y張制作盒底，根據題意得：，故選：C．【點評】此題考查二元一次方程組問題，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．注意運用本題中隱含的一個相等關系：“一個盒身與兩個盒底配成一套盒”．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）9．（﹣3）2的算術平方根是3，的倒數是﹣．【分析】直接利用算術平方根的定義結合倒數的定義化簡得出答案．解：（﹣3）2＝9的算術平方根是3，的倒數是：﹣．故答案為：3，﹣．【點評】此題主要考查了實數的性質，正確掌握相關定義是解題關鍵．10．一組數據2，4，8，9的中位數是6．【分析】根據中位數的定義求解即可．解：數據2，4，8，9的中位數是＝6，故答案為：6．【點評】本題主要考查中位數，解題的關鍵是掌握中位數的定義．11．已知一個正數的平方根分別是3﹣a和2a+3，則這個正數是81．【分析】一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，從而可得到關于a的方程，然后再求得a的值，最后依據平方根的定義求得這個正數即可．解：∵一個正數的平方根分別是3﹣a和2a+3，∴3﹣a+2a+3＝0，解得：a＝﹣6，∴3﹣a＝3﹣（﹣6）＝9．∴這個正數＝92＝81．故答案為：81．【點評】本題主要考查的是平方根的定義和性質，熟練掌握平方根的定義和性質是解題的關鍵．12．若：，則x+y＝5．【分析】先解出方程組的解，然后求出x+y；或直接讓兩個方程相加整體求得x+y的值．解：方法一：（1）×2﹣（2）得：3y＝3，y＝1．將y＝1代入（1）得：x+2＝6，x＝4．∴x+y＝1+4＝5x+y＝5．方法二：兩個方程相加，得3x+3y＝15，x+y＝5．【點評】這類題目的解題關鍵是掌握方程組解法中的加減消元法和代入消元法．注意此題中的整體思想．13．如圖，已知圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為6dm．【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，根據勾股定理計算即可．解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度．∵圓柱底面的周長為12dm，圓柱高為9dm，∴AB＝9cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝92+62＝117，∴AC＝3（cm），∴這圈金屬絲的周長最小為2AC＝6cm．故答案為：6．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓柱的側面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．三、解答題（本大題共5個小題，共48分，答案寫在答題卡上）14．（1）計算：（）×﹣6；（2）解方程組：．【分析】（1）先根據二次根式的乘法法則運算，然后化簡后合并即可；（2）先利用加減消元法求出y，然后利用代入消元法求出x，從而得到方程組的解．解：（1）原式＝﹣2﹣3＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2），①×5﹣②×2得﹣25y+4y＝﹣15+36，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得2x+5＝﹣3，解得x＝﹣4，所以原方程組的解為．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．也考查了解二元一次方程組．15．化簡求值﹣a，其中a＝﹣1．【分析】將原式變形后代入數值，根據二次根式的性質計算即可．解：∵a＝﹣1，∴a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，∴原式＝﹣a＝1﹣a﹣a＝1﹣2a＝1﹣2（﹣1）＝1﹣2+2＝3﹣2．【點評】本題考查二次根式的性質與化簡，結合已知條件將原式進行正確的變形是解題的關鍵．16．在學校組織的“文明出行”知識競賽中，8（1）和8（2）班參賽人數相同，成績分為A、B、C三個等級，其中相應等級的得分依次記為A級100分、B級90分、C級80分，達到B級以上（含B級）為優秀，其中8（2）班有2人達到A級，將兩個班的成績整理并繪制成如下的統計圖，請解答下列問題：（1）求各班參賽人數，并補全條形統計圖；（2）此次競賽中8（2）班成績為C級的人數為1人；（3）小明同學根據以上信息制作了如下統計表：求出m的值，并從優秀率和穩定性方面比較兩個班的成績．平均數（分）中位數（分）方差8（1）班m90498（2）班919029【分析】（1）從兩個統計圖可知八（2）班成績為A等級的學生有2人，占調查人數的20%，由頻率＝可求出八（2）班調查人數，進而求出八（1）班成績為C等級的人數，補全條形統計圖；（2）根據頻率＝進行計算即可；（3）根據平均數的計算方法進行計算即可求出m的值，再根據優秀率的大小和方差的大小得出結論即可．解：（1）八（2）班調查人數為2÷20%＝10（人），即八（1）班調查人數也是10人，所以樣本中八（1）班成績在C等級的人數為10﹣3﹣5＝2（人），補全條形統計圖如下：（2）8（2）班成績為C級的人數為10×（1﹣20%﹣70%）＝1（人），故答案為：1；（3）八（1）班學生成績的平均數為＝91（分），即m＝91，八（1）班學生成績的優秀率為＝80%，八（2）班學生成績的優秀率為20%+70%＝90%，從優秀率看，80%＜90%，所以八（2）班的成績較好，從方差來看，49＜29，所以八（2）班的成績較穩定．【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖，理解兩個統計圖中數量之間的關系是解決問題的前提，掌握頻率＝是正確解答的關鍵．17．一輛卡車裝滿貨物后，高4m，寬2.8m，這輛卡車能通過橫截面如圖所示的隧道嗎？【分析】作弦EF∥AD，且EF＝2.8m，OH⊥EF于H，連接OF，在直角三角形OFH中，由勾股定理求出OH，再求出隧道高，就可以判斷．解：作弦EF∥AD，且EF＝2.8m，OH⊥EF于H，連接OF，則HF＝1.4m，又OH＝＝＝（m），∴隧道高HG＝OH+OG＝OH+AB＝2.6+（m），∵2.6+＞4，∴這輛卡車能通過隧道．【點評】本題考查了圓中垂徑定理，勾股定理以及矩形性質的實際應用，屬于中考常考題，靈活運用所學知識是解題關鍵．18．（1）如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點Q，連接PQ，則PQ，AP，CQ的數量關系是PQ＝AP+QC；（2）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數量關系？并證明你的結論；（3）（思維拓展）如圖3，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，若AD＝5，BD＝3，求CD的長度．【分析】（1）由旋轉的性質可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°，由“SAS”可證△BQE≌△BQP，可得PQ＝QE，可得結論；（2）由旋轉的性質可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，由“SAS”可證△BQE≌△BQP，可得PQ＝QE，可得結論；（3）分別以AB，AC為對稱軸，作出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F，延長EB，FC交于點G，證明四邊形AEGF是正方形；設CD＝x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出CD的值．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，如圖1，將△ABP繞點B順時針旋轉90°到△CBE，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝180°，∴點E，點C，點D三點共線，∵BP＝PF，∠BPF＝90°，∴∠PBF＝45°，∴∠ABP+∠CBQ＝45°，∴∠EBC+∠CBQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF，∵BE＝BP，BQ＝BQ，∴△BQE≌△BQP（SAS），∴PQ＝QE，∴PQ＝QE＝QC+CE＝AP+QC，故答案為：PQ＝AP+QC；（2）CQ＝AP+PQ，理由如下：如圖2，將△ABP繞點B順時針旋轉90°到△CBE，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∵∠PBF＝45°，∴∠ABP+∠ABQ＝45°，∴∠EBC+∠ABQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF，∵BE＝BP，BQ＝BQ，∴△BQE≌△BQP（SAS），∴PQ＝QE，∴PQ＝QE＝QC﹣CE＝QC﹣AP，∴CQ＝AP+PQ；（3）∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°．又∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．∴四邊形AEGF是矩形，又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形，且邊長為5，設CD＝x，則CF＝x，CG＝5﹣x，BG＝2，在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴22+（5﹣x）2＝（3+x）2．解得x＝，即CD＝．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質和判定，等腰直角三角形的性質，折疊的性質，旋轉的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．四、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）19．如圖所示，OA＝OB，數軸上點A表示的數是﹣．【分析】利用勾股定理求得線段OB的長，結合數軸即可得出結論．解：OB＝＝．∵OA＝OB，∴OA＝．∴數軸上點A表示的數是：﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了數軸，勾股定理．利用勾股定理求得線段OB的長度是解題的關鍵．20．已知實數x，y滿足，則xy2的平方根為±6．【分析】根據二次根式有意義的條件，可得x、y的值，最后，再進行計算即可．解：∵實數x，y滿足，∴x＝2，y＝3．∴xy2＝2×18＝36．∴xy2的平方根為±6．故答案為：±6．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的被開方數是非負數得出x、y的值是解題關鍵．21．如圖，在長方形ABCD中，點E是AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于點H，延長BF、DC相交于點G，若DG＝4，BC＝6，則DC＝．【分析】連結EG，由E是AD的中點，可證明Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），即知FG＝DG＝4，設DC＝x，在Rt△BCG中，可得（x+4）2＝（4﹣x）2+62，即可解得答案．解：連結EG，如圖：∵E是AD的中點，∴DE＝AE＝EF，在矩形ABCD中，∠D＝∠A＝∠BFE＝90°＝∠GFE，∵EG＝EG，∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），∴FG＝DG＝4，設DC＝x，則CG＝DG﹣DC＝4﹣x，BG＝BF+FG＝AB+FG＝DC+FG＝x+4，在Rt△BCG中，BG2＝CG2+BC2，∴（x+4）2＝（4﹣x）2+62，解得：x＝，故答案為：．【點評】本題考查矩形中的折疊問題，解題的關鍵是掌握折疊的性質，熟練運用勾股定理解決問題．22．若a1＝1+，a2＝1+，a3＝1+，a4＝1+…，則+…+的值為2022．【分析】根據題目中的已知條件，即可求求得a1、a2、a3、a4，…，a2022的值，觀察式子的規律即可求得答案．解：∵a1＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a2＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a3＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a4＝1+＝1+＝1++，…，a2022＝1++＝1+＝1++＝[1+]2，∴+…+＝1++1++1++1++…+1+＝2022+1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2023﹣＝2022；故答案為：2022．【點評】本題考查了二次根式的性質以及完全平方公式和數字變化的規律，解題的關鍵是用裂項法將分數代成﹣，再化簡，尋找抵消規律求和．23．已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個動點，連接BE，將線段BE繞點B逆時針旋轉60°得到BF，連接DF，則在點E運動的過程中，當線段DF長度的最小值時，DE的長度為．【分析】連接CF，F點在直線CF上運動；由已知可證明△ABE≌△BCF（ASA），當DF⊥CF時，DF最小，求出AE＝，即可求解．解：連接CF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BCAC，∵線段BE繞點B順時針旋轉60°得到BF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴F點在直線CF上運動，∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F點在直線CF上運動，當DF⊥CF時，DF最小，∵CD＝3，∴CF＝∴AE＝，∵AD＝3，∴DE＝，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，點的軌跡；熟練掌握等邊三角形的性質，能夠通過主動點的運動確定從動點的運動軌跡是解題的關鍵．五、解答題（本大題共3個小題，共30分，答案寫在答題卡上）24．閱讀下列文字，請仔細體會其中的數學思想：（1）解方程組，我們利用加減消元法，可以求得此方程組的解為；（2）如何解方程組呢，我們可以把m+5，n+3分別看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y，請補全過程求出原方程組的解；（3）若關于m，n的方程組，則方程組的解為．【分析】（1）用加減消元法即可；（2）把m+5，n+3分別看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y，即可解題；（3）設m+n＝x，m﹣n＝y，即可解題．解：（1）相加得6x＝12，即x＝2，代入得y＝3.5，故此方程組的解為；（2）由已知得，解得，即，解得；（3）設m+n＝x，m﹣n＝y，得，解得，即，解得．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的解法，關鍵是整體代換法的熟練應用．25．閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比，在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如（+3）（﹣3）＝﹣4，（+）（﹣）＝1，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理數因式，于是，二次根式除法可以這樣解：如＝＝，＝＝7+4．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫分母有理化．解決問題：（1）比較大小：＜（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）計算：++…+；（3）設實數x，y滿足（x+）（y+）＝2019，求x+y+2019的值．【分析】（1）先將兩邊進行分母有理化后再進行比較大小即可；（2）先將其中的一項進行分母有理化后觀察規律，再進行計算即可；（3）根據（1）和（2）得到的規律進行計算即可．解：（1）＝＝，＝＝2+，即+＜2+，則＜，故答案為：＜．（2）∵＝＝＝＝﹣，∴原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+?+（﹣）＝1﹣＝．（3）∵（x+）（y+）＝2019，∴x+＝，∴x+＝﹣y①，同理y+＝﹣x②，∴①+②得x+y++＝+﹣（x﹣y），∴x+y＝0，即x+y+2019＝2019．【點評】本題考查二次根式的應用，掌握二次根式分母有理化的方法是解題的關鍵．26．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH＝AC；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：BM＝EM；（3）當點D在射線CB上時，連接BE交直線AC于M，若2AC＝5