2022-2023學年江西省贛州市高二下學期6月期末考試數(shù)學試題一、單選題1．已知，，則可表示不同的值的個數(shù)為（）A．8 B．12C．10 D．9【答案】D【分析】第一步先從集合中取一個值，得到對應(yīng)的情況數(shù)，第二步再從集合中取一個值，得到對應(yīng)的情況數(shù)，兩次的情況數(shù)相乘并分析結(jié)果，由此可知可表示不同的值的個數(shù).【詳解】因為從集合中任取一個值共有種情況，從集合中任取一個值共有種情況，故可表示個不同的乘法計算，且經(jīng)檢驗計算結(jié)果均不相同，所以可表示不同的值有個．故選：D.2．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首項，從而可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選：A.3．直線l的方向向量為，，是平行于平面內(nèi)兩個不共線向量，下列關(guān)系中能推出的是（

）A． B．C． D．以上均不能【答案】D【分析】根據(jù)A、B、C，只能推得或，即可得出答案.【詳解】對于A項，若，則或，故A項錯誤；對于B項，若，則或，故B項錯誤；對于C項，若，則或，故C項錯誤；故選：D.4．坐標軸與圓的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出圓心和半徑，再分別求出圓心到兩坐標軸的距離與半徑比較可得結(jié)論.【詳解】圓，即圓，所以圓，半徑，因為圓心到軸的距離為1，且，所以圓與軸相交，即與軸有兩個交點，因為圓心到軸的距離為2，且等于半徑，所以圓與軸相切于點，即與軸有一個交點，綜上坐標軸與圓有3個交點，故選：C5．拋物線上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的準線方程為，焦點，因為拋物線上一點的縱坐標為2，根據(jù)拋物線的定義，可得點與拋物線焦點的距離為.故選：B.6．已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量結(jié)合線面平行求出的關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出向量模的最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，于是，即有，向量是平面的一個法向量，，則，而，于是，因為平面，則，即，化簡得，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：C7．設(shè)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解：由，構(gòu)造和，利用其單調(diào)性比較.【詳解】解：由，令，則，所以在上遞增，則，即，則，即；令，則，所以在上遞增，則，即，則，即，故選：C8．已知函數(shù)，則對于方程．下列說法錯誤的是（

）A．若，則該方程無解B．若，則該方程有一個實數(shù)根C．若，則該方程有兩個實數(shù)根D．若，則該方程有四個實數(shù)根【答案】C【分析】先畫出的圖象，令后方程可轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)的取值情況結(jié)合的圖象進行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，時，，單調(diào)遞減，且此時當趨近于0時，趨近于，故，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，則時，，而時，，故可得的圖象如圖所示：

令，則方程化為，對于A，時，，即方程無實根，故無實根，從而方程無實根，故A正確；對于B，時，方程即為，即，所以，則，由的圖象可知，此方程只有一個實根為，故B正確；對于C，由得，此為關(guān)于的對勾函數(shù)，在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，圖象如圖所示：

時或，由函數(shù)的圖象可知，當時，方程有兩個實根，不妨設(shè)，則有，，則此時沒有實根，有兩個或三個實根，故C錯誤；對于D，時，方程有兩個實根，不妨設(shè)，則有，，則此時有一個實根，有三個實根，故D正確.故選：C【點睛】思路點睛：對于復合函數(shù)的方程問題，常通過換元法轉(zhuǎn)化，逐層考慮方程的根的情況進行求解.二、多選題9．設(shè)數(shù)列、都是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】取，，可判斷A選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷BD選項；取可判斷C選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為、，其中，，對任意的，，，對于A選項，不妨取，，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但對任意的，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A不滿足條件；對于B選項，，即數(shù)列為等邊數(shù)列，B滿足條件；對于C選項，當時，，此時，不是等比數(shù)列，C不滿足條件；對于D選項，，故為等比數(shù)列，D滿足條件.故選：BD.10．已知是的前n項和，，，則（

）A． B．C． D．是以3為周期的周期數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項，即可得出D項；根據(jù)周期性，即可判斷A、C項；求出的值，結(jié)合周期性，即可得出B項.【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是以3為周期的周期數(shù)列.對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，因為，所以，故B項正確；對于C項，因為的周期為3，所以，，，所以，，故C項錯誤；對于D項，由解析可知，是以3為周期的周期數(shù)列，故D項正確.故選：ABD.11．已知等比數(shù)列的公比為，前項積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及下標和性質(zhì)一一分析即可.【詳解】因為等比數(shù)列的公比為，，，則，，即，所以，，所以，，故A正確，B正確；所以，，故C正確，D錯誤．故選：ABC．12．已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因為，所以，即，所以，，故A錯誤.因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以，即，所以，故B正確.令，則.當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，所以，所以，即，故C正確.因為，所以，所以，所以，所以，即，故D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，比較自變量的大小，可得函數(shù)值的大小.三、填空題13．函數(shù)在處的導數(shù)為．【答案】【分析】先用冪函數(shù)的求導公式求出導函數(shù)，再令即可求出答案【詳解】因為，所以.故答案為：14．在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前10項和為.【答案】10【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，然后直接對數(shù)列求和，結(jié)合對數(shù)運算法則計算即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以數(shù)列的前10項和為.故答案為：1015．已知函數(shù)，則的極小值為．【答案】/-0.5【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，即，得，令，即，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故當時，函數(shù)取得極小值，極小值為．故答案為:.16．將數(shù)列中的項排成下表：，，，，，，，，，，，…已知各行的第一個數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，且的前項和滿足（且），從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為同一個常數(shù).若，則第6行的所有項的和為.【答案】1344【分析】根據(jù)所滿足的條件，求出數(shù)列，由在表中的位置，得，所以每行等差數(shù)列公差，即可求第6行所有項的和．【詳解】解：∵(且)，∴，即，∴數(shù)列的通項公式為，（且），觀察表中各行規(guī)律可知，第n行的最后一項是數(shù)列的第項，，∴在表中第8行第3列，∵，且，∴公差；∴第6行共有32個元素，則第6行所有項的和為故答案為：1344．【點睛】思路點睛：由的前項和滿足，構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，觀察數(shù)列的規(guī)律，找到在表中的位置，結(jié)合的通項公式可求得表中每一行的公差，繼而可求第6行所有項的和．四、解答題17．已知圓(1)若直線過定點，且與圓C相切，求直線的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【詳解】（1）圓化為標準方程為，所以圓C的圓心為，半徑為①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，所以，即，解得，所以直線方程為綜上，所求直線的方程為或（2）依題意，設(shè)又已知圓C的圓心為，半徑為2，由兩圓外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圓D的方程為或【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得直線的方程．設(shè)出圓D圓心坐標，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D的方程．18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用與的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項，再利用等差數(shù)列定義推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法求和作答.【詳解】（1）數(shù)列中，，當時，，兩式相減得，即，則，于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，從而，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以.19．如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，，，的中點，，．

(1)試建立空間直角坐標系，并寫出點，的坐標；(2)求的余弦值．【答案】(1)，；坐標系見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到三條線兩兩垂直建系寫出坐標即可;（2）根據(jù)空間兩點間距離公式求出距離,再在三角形中應(yīng)用余弦定理即得.【詳解】（1）因為，平面，所以平面．

又平面，平面，所以，．又，所以，所以直線，，兩兩垂直，以E為坐標原點，以，，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．易得，，，所以點D、G的坐標分別為，．（2）因為，所以，，，在中，，即的余弦值為．20．一個小型制冰廠有3臺同一型號的制冰設(shè)備，在一天內(nèi)這3臺設(shè)備只要有一臺能正常工作，制冰廠就會有利潤，當3臺都無法正常工作時制冰廠就因停業(yè)而虧本（3臺設(shè)備相互獨立，3臺都正常工作時利潤最大）.每臺制冰設(shè)備的核心系統(tǒng)由3個同一型號的電子元件組成，3個元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當系統(tǒng)中有不少于的電子元件正常工作時，此臺制冰設(shè)備才能正常工作.(1)當時，求一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；(2)若已知當前每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.6，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，若制冰廠由于設(shè)備不能正常工作而停業(yè)一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經(jīng)濟損失，有以下兩種方案可供選擇參考：方案1：更換3臺設(shè)備的部分零件，使每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.85，更新費用共為600元.方案2：對設(shè)備進行維護，使每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.75，設(shè)備維護總費用為元.請從期望損失最小的角度判斷如何決策？【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率公式可得每臺設(shè)備能正常工作的概率，然后根據(jù)對立事件概率公式可得一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；（2）根據(jù)條件分別計算不采取措施，采用方案1，采用方案2制冰廠的總損失的期望，然后比較即得.【詳解】（1）當時，每臺設(shè)備能正常工作的概率為：，所以一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率為；（2）若不采取措施，設(shè)總損失為，當前每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.6，故元；設(shè)方案1、方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換3臺設(shè)備的部分零件，使得每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.85，故元；采用方案2，對設(shè)備進行維護，使得每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.75，故元，又，且，因此，從期望損失最小的角度，當時，可以選擇方案1或2；當時，選擇方案2；當時，采取方案1.21．已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；（2）利用錯位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當時，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因為對任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在時取得極值，求的值；(2)在第一問的條件下，求證：函數(shù)有最小值；(3)當時，過點與曲線相切的直線有幾條，并說明理由注：不用求出具體的切線方程，只需說明切線條數(shù)的理由【答案】(1)(2)證明見解析(3)有條，理由見解析【分析】（1）求定義域，求導，根據(jù)為極值點得到方程，求出的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，確定函數(shù)的極小值，結(jié)合函數(shù)特征，確定其也是最小值；（3）設(shè)出切點，根據(jù)斜率列出方程，得到，將公切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為一元三次方程的根的個數(shù)，結(jié)合零點存在性定理求出答案.【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域為R，可得，若函數(shù)在時取得極值，此時，解得，當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以是極大值點，滿足條件，綜上所述，；（2）由知，，，函數(shù)在處取得極小值，且，而，