數學文化教程（高等教材）目錄\h第一章認識數學：我們周圍的數學世界\h第一節什么是數學\h第二節我們周圍的“數學世界”\h第三節數字電視和數字地球\h第四節數學英雄：從陳景潤到王選\h第二章數學是人類文明的火車頭\h第一節數學是人類文明的火車頭——簡述四個數學高峰\h第二節古希臘為代表的地中海數學文明\h第三節古希臘數學與古代中國數學的比較\h第四節黃金時代：從牛頓到高斯\h第五節信息時代的數學——20世紀世界數學中心的變遷\h第六節國際數學聯盟與國際數學家大會\h第七節考據訓詁導致邏輯推斷——乾嘉學派對數學的影響\h第八節20世紀的中國現代數學\h第三章純粹數學的一些基本概念\h第一節集合和基數\h第二節關系和函數\h第三節群：代數結構\h第四節橡皮幾何：拓撲結構\h第五節三種基本數學結構\h第四章數學欣賞：數學意境與人文意境的溝通\h第一節《道德經》與自然數公理\h第二節杜甫《登高》與數學無限\h第三節中國古詩中的數學意境\h第四節欣賞數學的特定內涵：等價類\h第五節欣賞數學的美觀——以對稱與對仗為例\h第六節欣賞數學的和諧美：美好、美妙、完美\h第七節從算術到代數的考察：過河取寶還是拴線拉寶？\h第八節宏觀的變量與微觀的對應：初高中兩種函數定義的比較\h第九節四維時空和n維空間——從陳子昂的《登幽州臺賦》說起\h第十節識以領之，方能中鵠——兼談麻將為什么不能產生概率論\h第五章學一點微積分：局部和整體的矛盾統一\h第一節“一尺之棰”和“孤帆遠影”——談數學中的極限\h第二節用“有限”符號裝點的“極限”女神——數列極限嚴格定義的欣賞\h第三節抽刀斷水水更流的數學描述——函數的極限和連續\h第四節“無窮小量的鬼魂”——早期微積分學有效但不嚴謹\h第五節微分之比，“局部”為本\h第六節局部思考超越“飛矢不動”——考察瞬時速度\h第七節局部與整體溝通的橋梁——導函數與微分中值定理\h第八節累積微分，溯源整體\h第九節更上一層樓：尋找原函數\h第十節一橋飛架南北，天塹變通途——牛頓—萊布尼茨公式\h第十一節微分搭臺，方程唱戲\h附微積分之歌\h第六章數據人生\h第一節數據的統計處理——從去掉最高分和最低分談起\h第二節數據的運用：“公說公有理，婆說婆有理”\h第三節系統聚類\h第四節《紅樓夢》的作者是誰？數據分析的應用\h第五節數據與歷史：計量歷史學\h第六節媒體信息中的數據欺詐和濫用\h第七節蘇聯李森科的“偽科學”數據\h第七章線性數學與非線性數學\h第一節線性空間、向量空間、歐氏空間\h第二節線性空間上的矩陣\h第三節超市里的向量和矩陣\h第四節非線性數學蝴蝶效應\h第五節分形幾何\h第八章數學應用例談\h第一節數學與民主投票\h第二節數學最優化例談\h第三節田忌賽馬和對策論\h第四節算法復雜性：計算機的速度還太慢！\h第五節金融數學“華爾街革命”\h第六節微分幾何與規范場：陳省身和楊振寧的科學會師\h第九章現代數學重大事件綜述\h第一節從勾股定理到費馬大定理\h第二節破解拓撲學世紀之謎：龐加萊猜想的證明歷程\h第三節第二次世界大戰中的數學密碼學\h第四節開創數字時代：仙農創立信息論\h第五節維納與他的控制論\h第六節數學證明的機械化之路\h第七節重建人體內部的三維圖像—計算機X射線斷層成像（CT）的數學理論\h第八節攻克斯坦納三元系大集的百年難題第一章認識數學：我們周圍的數學世界什么是數學我們周圍的“數學世界”數字電視和數字地球數學英雄：從陳景潤到王選數學屬于每一個人。這一章將為您提供一些數學發展的文化背景，分析數學文化的現狀，展望數學的明天。第一節什么是數學什么是數學？每個人都有自己的看法。幾十年前，有關部門曾經把大學數學系的畢業生分配到財務科去當會計，潛臺詞是把數學看作一種計算技能。一部分教師則說，數學是一把篩子，通過數學考試發現好學生，為上大學選拔人才服務。蘇聯的教育家加里寧認為，“數學是思想的體操”，可以鍛煉人的思維。現代教育家的看法是，數學是基礎教育的主課，公民素質的核心部分。至于數學家自己，則把數學定義為“關于現實世界數量關系和空間形式的科學”。以上的種種看法，盡管角度不同，提法相異，但都反映出數學的某種價值，有其特定的道理。數學是一門科學，但所研究的對象并不直接存在于現實世界。這是數學區別于其他科學的一個非常重要的特點。魯迅說過：地上本沒有路，走的人多了，也便成了路。同樣，世上本來沒有龍，人們只見過蛇、獅、虎、豹，因為先人的圖騰想象，大家認同了，就有了約定俗成的“龍”。那么看看數學，世上原來也沒有數學這個事物，沒有人見過1，2，3，4。只有一個蘋果、兩條魚、三只羊、四條腿。由于人們的創造，經過人的想象，才有了數字，并發展成數學。世上原本就有太陽、地球、原子、電子、化合物、動植物、細胞和基因。人們發現了物體運動、聲光電熱、化合與分解、生長與遺傳等現象。當人們掌握了物質運動規律，并運用它為人類造福，這就有了物理學、化學、生物學學科。至于數學，卻不直接面對某個特定的物質運動形式。世上并沒有“質數”“合數”“方程式”這樣的東西。哥德巴赫猜想，是人類思維的創造。數學和龍一樣，具有巨大的威力。“龍”象征著“君權”，體現出至高無上的權威。數學則因其覆蓋一切科學領域，也是君臨天下，成為“科學的女王”。另一方面，威嚴會使人難以親近。正如普通百姓穿不得象征皇權的龍袍一樣，一般學生往往害怕抽象的數學。但是，時代在前進。如果說“龍”文化現在已經滲入到尋常百姓家，那么今日的數學文化則應伸展到學校的每一個角落。現在的問題是，進入21世紀之后，我們在數學觀上面應該有怎樣的改變呢？社會在進步，數學在發展，數學觀也必然會發生變化。一個顯著的事實是，數學正從幕后走到臺前。數學不僅是其他學科的工具，而且是可以直接產生經濟效益的技術。數學的應用已經滲入到社會的各個層面，體現在日常生活之中，甚至有可能決定國家的命運。翻開《中國大百科全書·數學》，吳文俊先生開宗明義地寫道：數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的，簡單地說，是研究數和形的科學。這是一個權威的論斷，脫胎于馬克思和恩格斯關于數學的概括。關于這個定義，人們有各種不同的理解、補充、修改。例如，錢學森在《關于思維科學》一書中，把數學和哲學并列，認為數學是在社會科學和自然科學之上的一門學問。有人對數學來源于現實世界有不同的看法。比如，“哥德巴赫猜想”來源于現實世界的哪一部分？很難說得清楚。記得1958年，武漢大學的齊民友先生寫過《竹子的哲學》一文，文中認為數學的生長像竹子，根在大地，然后自己一節一節向上長，間或爆出新筍，長成新竹。若干年之后，竹子開花，枯萎而死（陳舊的數學被淘汰），卻留下種子，重回大地，并另生春筍破土而出（新數學的萌芽）。這一比喻，非常形象。但在當時，它是作為反對數學來源于實踐的“反面教材”發表的。更多的數學家認為，現代數學的發展，已經超出“數”和“形”的范圍，應當包括結構、范疇、模型等更廣的對象。不過，只要把數和形作廣義的理解，大概也就可以了。無論如何，《中國大百科全書·數學》上的這一定義，還是目前普遍接受的關于“什么是數學”的答案。關于數學的特點，一般都沿用蘇聯亞歷山大洛夫（A.D.Aleksandrov）的“三性”提法：抽象性、嚴謹性、廣泛應用性。這一提法有合理的成分，但產生的實際效果卻在很大程度上被異化了。一提數學，首先就是抽象，使數學遠離人們的實際經驗和日常生活，嚇人一跳。其實，數學的抽象在于它的對象：形式化的思想材料。而這些材料仍然可以溯源于經驗世界，不必過于強調其抽象之難。至于嚴謹性，和邏輯聯系在一起，使數學成為一門相對精確的科學。但是，過分地強調嚴謹性，把數學等同于邏輯，把生動活潑的數學思想淹沒在形式演繹的海洋里，實在是歪曲了數學的本質。至于“廣泛應用性”，乃是抽象性的推論，幾乎沒有新的論述。因為數學的抽象，雖然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是到處都可以用數學，數學的廣泛應用性也就成立了。這樣的論述引申到中學數學教育上，便是絕口不提數學的應用。數學高考，相當長時間不涉及應用題，學生視應用題為畏途，連教師也覺得頭痛。到了這一步，數學除了“思維的體操”之外，再也沒有什么可談的了。于是，數學教育變成解考題教育，數學教學的目的是通過考試，數學教師成了解題機器，解數學難題成了數學雜技。只要躲在抽象性、嚴謹性的口號下，什么聯系實際、數學為國家建設服務、培養用數學分析和解決實際問題的能力，便統統不必過問了。問題出在“數學觀”已經跟不上時代要求。長期以來，數學的含義只包括“純粹數學”。《中國大百科全書·數學》中的數學定義，亞歷山大洛夫的“三性”都是從純粹數學的意義上來說的。不過，今天的數學，已經不再僅限于純粹數學，而是滲透到社會生活的每個角落，成為能夠立即轉化為生產力的一門技術。每一種高科技的背后，都離不開數學的支持。電視衛星的姿態和定點控制必須用數學計算得分毫不差。數字電視主要依靠信息壓縮的數學技術。頭頂呼嘯而過的飛機的制造和飛行，是用數學方法加以計算和控制的。與人的健康緊密相關的CT掃描，其基本原理竟是一條數學定理——拉東逆變換公式。信息時代的國家機密正是通過數論才得以在通信過程中保持安全。龐大的世界經濟正在由成千上萬個未知數的微分方程組進行模擬和計算。北京大學數學系畢業的王選院士用數學技術推動了“印刷革命”。當我們在盡情享受數學文明的時候，如何認識當今的數學呢？要說明這一點，可以在理論上展開，從社會、哲學、科學的角度詳加分析。但是，這也許太復雜了。還是讓我們看幾段講話吧。錢學森講話1989年8月18日，錢學森（圖1.1.1）在中國數學會“數學教育與科研”座談會上發言，提到了“數學技術”，全文發表于《中國數學會通訊》1989年第4期。現將有關的段落摘引于此（為使語氣連貫，有一些文字上的改動）：?圖1.1.1錢學森“在理科、工科的實際工作中，現在不是用手算，而是用電子計算機去算，去求解。數學的基礎理論有了，工程技術的具體問題在這兒，中間怎么過去？不是靠手算了，是靠電子計算機。也就是說，從自然科學的理論出發，用電子計算機能得到具體工程技術問題的解答。那么誰來做這些中間的工作呢？在美國成立了一些新學術組織，如工業數學與應用數學協會（SocietyoflndustrialandAppliedMathematics（SIAM）），國際工業數學和應用數學大會（InternationalCongressofIndustrialandAppliedMathematics（ICIAM））。他們都離開了老的領域，而利用計算機來工作。謝定裕教授把這稱為‘數學科技’，我想不叫‘數學科技’，而叫‘數學技術’。它要求數學給一個方法，能用科學的理論通過電子計算機解答具體的科學技術問題。這包括兩個方面：第一是要會用計算機，會指揮它去算；第二是對電子計算機給出的解答，通過熒光屏的顯示，能夠理解它，別讓它給唬住了。上百年的這套老東西脫離實際太遠了。今天的實際要求學生學會兩條：一要會用電子計算機，二要能理解計算機給出的答案。”國際數學聯盟主席芒福特（D.Mumford）答記者問1995年5月，國際數學聯盟（IMU）在巴黎舉行執委會會議。有記者問：“您個人認為21世紀數學將面臨怎樣的挑戰？”芒福特（圖1.1.2）的回答是：“啊！這可真是一個重大問題，人們需要坐下來，長時間地思考這個問題。我個人感覺到，一個十分重要的問題是恢復純粹數學家和應用數學家之間的思想交流。在19世紀，您可以看到大多數數學家都是身兼二職，例如傅里葉（Fourier）發現和研究級數，就是受了應用的刺激。但以后產生了分隔，尤其是在美國。我想其他國家在某種程度上也是如此。我希望當前對科學用處的普遍強調（這有利于公眾對科學的投資），將不至于簡單地花很多錢去搞純粹數學研究，而是相反，應當引向一個共同目標，使得純粹數學研究人員能在應用中受到啟發，運用他們的理論思想更有效地解決實際應用問題……我堅信數學教育應當很認真地努力，從思想上重視實際應用。”?圖1.1.2芒福特值得注意的是：芒福特本人是一位純粹數學家，1937年出生，美國哈佛大學教授。其研究方向是代數曲面，1974年獲得世界數學家最高獎——菲爾茲獎章，2008年又榮獲代表數學家終身成就的另一個世界大獎——沃爾夫獎。一位研究純粹數學的名家發表上述談話，更是意味深長。姜伯駒院士在教育部數學與力學教學指導委員會上的講話姜伯駒院士（圖1.1.3）是北京大學教授，專長拓撲學，在不動點類理論上有獨特貢獻，獲第三世界科學院頒發的數學獎。他曾是教育部的數學與力學教學指導委員會主任。1996年5月，他發表講話，作為一個純粹數學家，同樣呼吁數學應用（原文見《中國數學會通訊》1996年第9期，這里摘引其中的一段，做了少量刪節）。?圖1.1.3姜伯駒我做學生的時候，老師講數學的重要性，就是兩句話：數學是思想的體操，數學是科學的語言。數學要通過其他科學發揮作用。但是，現在數學已不必通過別的學科，而直接發揮作用了。很多高精尖的東西根本上取決于數學模型。數學已經走到前列了。我們常常聽到出國留學人員的一種反映，說工科學生到國外聽課，一個攔路虎就是數學。近幾年聽到文科學生，不僅是學經濟的，甚至學政治學、社會學這樣的學科，在國外都在數學上碰到很大的困難。因此，‘數學是生活的需要’，而不只是前面所說的兩句話了。我覺得，許多事情，特別是有競爭的地方，數學往往是最后取勝的法寶。數學用得好，你就贏了。20世紀下半葉數學有很大的發展，其中最大的一個發展是應用。這三段講話，表明我們的數學觀應該有所更新了。純粹數學的定義仍然有效，不過要有更寬泛的理解；如果加上應用數學的內涵，就會對21世紀的數學有新的認識。讓我們再看看中國數學界的實際行動。1997年3月，中國數學界提出了面向21世紀的數學研究計劃——“973計劃”。其計劃要點涉及以下四方面：●核心數學。它是純粹數學的核心，應用數學的基礎。●非線性問題的數學理論和方法。各門自然科學中的非線性現象和純粹數學各分支交叉形成許多新的生長點。●金融和高科技中的數學建模、計算和運籌決策。這是國民經濟可持續發展、高科技的重大突破和科學管理所面臨的重大挑戰性課題。●復雜系統的建模、分析、控制和優化。現代科學技術中出現大量急需解決的復雜系統控制與優化問題，需要發揮現代數學、計算機科學和工程科學多學科的綜合優勢。以上各點，除了“數論”和“經典分析”的一部分曾是我們的強項之外，其他項目多半是我們以前所不熟悉的弱項。一個不爭的事實是：今天的數學，已經不是我們從前熟悉的模樣了。現代數學常識，正作為一種普通公民應該具有的素質，展現在我們面前。第二節我們周圍的“數學世界”數學在改變世界，也在改造我們的生活。從1996年開始，電視屏幕上出現了“降水概率”的字樣。“概率”這一詞走進了尋常百姓家。也是在電視上，跳水比賽，7個評委們亮分之后，要去掉一個最高分，一個最低分。有時還要去掉兩個最高分，兩個最低分。這是為什么？追根尋底，原來涉及“數理統計”的數據處理了。20世紀的最后幾年，國家和地方先后發行福利彩票、體育彩票，各大商場的抽獎活動花樣翻新。“中獎”成了人們的日常話題。那么“中獎率”是多少？這又涉及“概率”計算。市場經濟是一個大課堂。我國實行社會主義計劃經濟，又給人們提出了一系列的數學問題。利息、納稅、成本、折扣、銷售、贏利、虧損、債券、股票、期貨等經濟問題一股腦地呈現在人們面前。沒有數學頭腦，沒有算計，你將寸步難行。我國從1995年起，高考數學題目中出現了“應用”大題，內容涉及“養魚補貼”、“人口增長”、“土地減少速度”，乃至“分期付款”等。總之，數學已經悄悄地進入日常生活，正像春雨來到大地，“潤物細無聲”。被稱為“美國經濟掌舵人”的前美國聯邦儲備局主席格林斯潘，在2001年4月6日的一個會議上呼吁加強金融基礎教育。他說：“提高小學生和中學生的金融基礎教育，將可達成金融掃盲，幫助年輕人避免作出盲目的財務決策。這種盲目決策導致的惡果往往需要多年才能彌補。”“對復利計算的數學公式的基本理解，可以讓人認識到長年定期儲蓄帶來的累積效果。”格林斯潘還說，增強大眾的財經知識，可望幫助消費者避免接受一些可能造成災難性后果的信貸計劃，建立儲蓄計劃，以及為退休或兒童教育做長期投資決策時獲得必要的知識。近年來，美國出現一些“濫權放貸”，對金融知識匱乏的消費者發放高利率貸款，致使一些低收入者因此類貸款背負重大債務。（以上內容見美國《世界日報》2001年4月6日報道。）“復利”，就是計算利息時的“利滾利”，俗稱“驢打滾”的債務關系。在舊社會，高利貸加上“利滾利”，被認為是超經濟剝削、殺人不見血的刀子。于是，不少人以為“驢打滾”是地主老財剝削農民的非法的借貸關系，今天不能使用了。但現今的國際上通行的借貸，多數按復利計算利息：有的以年為單位計算復利，有的以“月”、“日”為單位計算復利，甚至有每時每刻計復利的借貸關系。近幾年來，我國的金融市場正在不斷發展，從房屋按揭、大件商品分期付款開始，各種各樣的借貸關系正在發生。因此，開展金融掃盲，熟悉金融市場中的數學關系，已成為國民素質教育和城鄉經濟發展的一項重要課題。近十幾年來，與數學有關的新聞時常見報。這里我們摘引幾段。（1）1998年9月2日《新民晚報》報道：抗洪指揮部運用“有限元素法”計算荊江大堤的強度，證明幾天內尚可抵御洪水。因此，在決定荊江大堤命運的時刻，數學起過應有的作用。事實證明，荊江大堤沒有炸堤分洪，保住了江漢平原的萬頃良田，數學計算是正確的。（2）1998年底，中央電視臺、香港鳳凰衛視先后播放王選院士的訪問記。方正集團作為中國高科技產業的大企業，成為改革開放時代的成功代表。但是，這項告別“鉛與火”的印刷業革命，其核心技術是數字信息的壓縮：一個漢字包含許多筆畫，形狀各異，如何使用較少的信息加以刻畫。這其實是一個數學問題。（3）1996年8月，英國的格拉斯哥地區法庭審理一樁工業訴訟案。原告是一家劇院，起訴某建筑設計院的設計不好，影響票房收入。而證據是一臺電腦。法庭訴訟中，將劇院設計的各種設計參數輸入電腦，并用直觀的動畫模擬劇院內空氣流動的情況。結果是劇院業主勝訴。電腦中存儲的空氣動力學軟件其實是一組數學方程式。此舉開創了電腦模擬作為法庭證據的先例。（4）美國對沖基金1998年損失了100億美元，原因是運用的金融數學技術出現了失誤，一個小概率事件導致了錯誤的決策，損失慘重。此外，還有密碼編制和破譯、CT掃描技術、海灣戰爭模擬技術、噴氣式飛機和航天器的控制技術，等等。這些技術的核心都包含有一些特殊的數學技術。第三節數字電視和數字地球我們先說數字電視的故事。電視是20世紀最重要的發明，它對社會發展的影響怎樣估計都不會過高。大家知道，傳統的電視原理是基于一種高頻模擬電磁信號的調制-解調技術：先用攝像機逐行、逐幀地捕捉畫面的光信號并將其轉變為電信號（光電效應）；然后把這些電信號連同畫面的行、幀同步信號和聲音信號，調制成高頻電磁波，通過電視塔發射到天空；各地的電視機天線接收到這些電磁信號后，用解調技術把它們還原成電信號，并控制顯像管中的電子槍一邊移動一邊把電信號射向熒屏，從而重現畫面。由于畫面各點的亮度信息與電磁信號的振蕩幅度成正比，所以稱這種技術為模擬（調幅）技術。中國以前的標準是每秒傳送25幅畫面，每個畫面上有400條水平線，每條線上有400個點，屏幕寬高比是4∶3。顯然，每幅畫面分解的行數和點數越多，圖像就會越清晰。用通俗的語言來說，“電視屏幕上的點子越細越好。”計算機屏幕上有1150條線，當然就比電視畫面要清晰得多。由于光信號轉變為電信號的方法多種多樣，于是有美國的NTSC制，法國的SECAM制，德國和亞洲的PAL制，互不統一。日本曾是世界電視工業的領頭羊。索尼、松下等公司一向領導電視技術的新潮流。早在1972年，幾位具有前瞻性的日本人開始探討這樣的問題：未來的電視如何發展？答案是：“用高分辨率提高清晰度。”他們于是設想，未來的電視機應該有更多的幀頻（每秒60幅），更高的行數（每幀1125條或1250條），每行有800個點，以及更合理的屏幕寬高比16∶9。但是，他們認為仍然必須采用模擬技術，因為這種技術已經很成熟，改造起來更有把握。他們花了12年的時間來完善方案，希望能夠得到國際的公認，而且最好是全世界統一的制式。然后按新制式生產各種電視攝像機、發射機、接收機，從而能讓日本掌握未來電視機產業的主動權。但是，數字化電視技術的出現，把日本的“高清晰度”模擬技術方案徹底打垮了。20世紀80年代的美國，幾乎沒有電視工業，所有的電視設備全由國外進口，特別是從日本。1991年，美國通用儀器公司（GeneralInstrumentCorporation）和麻省理工學院（MassachusettsInstituteofTechnology，MIT）聯合提出了電視的全數字化技術方案。幾乎在一夜之間，美國所有研究電視技術的計劃全部改弦易轍，拋棄陳舊的模擬電視技術，站到“數字化”的大旗之下。日本的模擬電視方案不得不于1993年退出在美國的競爭。1992年，《數字化生存》的作者尼葛洛龐帝向日本首相宮澤喜一說明“模擬高清晰度電視沒有前途”，這使宮澤喜一大吃一驚。1994年，日本“郵政聲放送行政局”局長講山晃正提議日本跨入“數字世界”時，遭到日本產業領袖的圍攻。日本人在“模擬高清晰度”電視上投入的錢實在太多了，不肯輕言放棄是可以理解的。但是，當美國和歐洲相繼放棄模擬技術之后，世界市場的大部分已經在“數字化”方案的控制之下，日本在“高清晰度”電視模擬技術上的近20年努力，終于宣告失敗。簡單地講，數字電視就是把電視畫面上每點的亮度用一個二進制數來表示，彩色電視畫面上的每個點就用三個二進制數（分別代表紅、綠、藍三種色彩的亮度）表示。然后可以使用計算機對這些數字信號進行各種處理。本來，人們早已知道數字電視技術有許多優越性：比如說，電視信號在被數字化后可以很方便地儲存、剪輯、復制，實現回放和點播，遠距離傳送而不失真，等等。而這些都是模擬電視技術很難甚至無法做到的。但是，數字電視有一個當時看來不能解決的困難——數據量太大。如上所說，一個清晰的電視畫面上有1150條線，每條線上有近1000個點，每個點要表明亮度和顏色，每秒要傳60幅畫面，此外還有聲音伴送。這樣，傳送數字電視時，每秒至少要傳一億個字節的數據才行：這怎么可能做到呢？但是，根據仙農創立的信息論，電視畫面實際所包含的信息量并沒有那么多：因為同一幅畫面上的色彩和亮度大部分是呈均勻分布和有規則的，而兩幅連續畫面之間的差別也很小。于是，可以采用數學方法，把龐大的數字電視信號大大壓縮，一般能壓縮到只有原來的幾十分之一，使之能在通信線路上方便地傳輸。數字電視之所以能夠打破模擬電視的壟斷而成為當今電視的主流，其關鍵就在于有了基于各種數學原理的數據壓縮技術。我們再來談數字地球。1998年，當時的美國副總統戈爾提出了“數字地球”的概念。1998年6月1日，江澤民總書記在談到科技發展趨勢時，提到了“數字地球”對中國的挑戰，隨之而來的研究課題便是“數字中國”。什么是“數字地球”？就是把與地球有關的各種信息加以數字化，輸入計算機，從而可以更方便地分析和認識我們居住的星球。確切一些說，數字地球是對真實地球及其相關現象進行統一的數字化重現和認識，其核心思想是用數字化的手段來整體地描述和處理與地球有關的自然現象問題。目前，“數字地球”工程正在世界各地進行。“數字澳大利亞”在2000年已經基本完成。美國的比爾·蓋茨宣布，微軟和寶馬汽車公司聯合開發汽車的導航系統，把汽車衛星導航和移動辦公室結合在一起，在汽車上可以直接上因特網。這當然需要“數字地球”的支持。“數字地球”中有一條是1米分辨率。這樣，房子、汽車都可以看清楚，無人駕駛汽車的夢想就不遠了（現在衛星傳送下來并達到商業化應用的圖像是10米分辨率）。數字地球把地球裝進了計算機，但是要用它解決問題，還需要做一系列的工作。數字化—建立數學模型—系統仿真—虛擬現實，這條工作鏈中，建立數學模型是一個關鍵。否則，一大堆原始數據放在那里，不能利用數據，豈不白搭？所以，數據要加以整理。一個人通常記不住7條數據，但能卻能記住一張臉，認出一個人，理解一個星系。所以“數字地球”和“數字中國”的實現，必然要用大量的數學。讓我們重復一句：“數字化”來了，數學還會遠嗎？第四節數學英雄：從陳景潤到王選20世紀70年代末期，徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》風靡全國，陳景潤（1933—1996，圖1.4.1）的名字一夜之間傳遍大江南北，成為中國科學復興的英雄。“哥德巴赫猜想”由德國數學家哥德巴赫（C.Goldbach，1690—1764）在1742年提出，他問：“任意一個大于2的偶數是否都可寫成兩個素數之和？”這是一個著名的數學猜想，幾百年來，許多最杰出的數學家為證明它而花費了大量的精力，但進展甚緩。?圖1.4.1陳景潤陳景潤在1973年發表的論文中，證明了“一個充分大的偶數總可以表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和”。這一結果是數學家攻克“哥德巴赫猜想”艱苦戰斗中的一個重要突破，至今仍在世界上領先。陳景潤所從事的是“堆壘數論”研究，屬于純粹數學。其成就主要反映人類的智力活動，體現在對數學精神的追求，成為不畏艱險攀登科學高峰的榜樣。由于它是客觀數量規律的反映，說不定哪一天會在實際工作中獲得重要的應用（就目前來說，有關哥德巴赫猜想的研究工作還沒有發現有實用價值）。因此，我們不應該也不可能用實用價值來衡量陳景潤的貢獻。然而，由于徐遲《哥德巴赫猜想》的影響十分廣泛和深遠，以致許多人以為所有數學都是“哥德巴赫猜想”式的“純粹數學”，數學的價值都只在理論層面，數學離開實際應用都十分遙遠。這種錯覺在很大程度上左右了我們的數學觀。進入90年代，中國的數學成就很多。除了在純粹數學方面繼續取得進展以外，在應用數學上也出現了重大突破。其中一個突出的代表是以王選為總裁的方正集團開發了“漢字激光照排系統印刷技術”。王選（1937—2006，圖1.4.2），江蘇無錫人。曾就讀于上海南洋模范中學，1962年畢業于北京大學數學力學系。他所領導的這項告別“鉛與火”的印刷術革命，其原理基于一項數學技術——“數據壓縮”。漢字字形信息量太大，數字化的困難是西方文字照排無法相比的。王選說“由于我是數學系畢業，所以很容易想到信息壓縮，即用輪廓描述和參數描述相結合的方法描述字形，并于1976年設計出一套把漢字輪廓快速復原成點陣的算法。”到了20世紀80年代，輪廓描述西方文字的做法在國外大為流行，當時已發展為三次曲線輪廓。由于王選的研究起步早，很快吸收了國外的一些經驗，發明了高分辨率字形的高倍率信息壓縮和復原技術，用于印刷照排系統。以后又設計專用的超大規模集成電路實行復原算法，顯著提高了性能價格比。這一技術已經領先于國際先進水平。他所領導研制的華光和方正系統開始在全國的報社和出版社使用。印刷業告別“鉛與火”的歷史，就此開始。1985年，方正系統列入全國十大科技發明成果；1986年，獲日內瓦科技發明獎；1987年，獲國家科技一等獎。1992年1月21日，《澳門日報》的彩色版用方正激光照排系統排版印刷，轟動海內外。臺灣的印刷業同行在報紙上以“眼見為實”加以報導，原來用電子分色機三四個小時的工作，現在只要20分鐘，乃至9分鐘就可以完成。這樣的技術是一種“擋不住的誘惑”。現在，方正集團及其伙伴的產品占有國內排版系統市場份額的99%，國外華文市場的70%以上。計算機技術是西方發達國家領先的領域，中國科學家要在某一方向上占據一個領先地位，非常不容易。王選的成功，具有很不平常的意義。其中，數學技術是關鍵的因素之一。?圖1.4.2王選總之，我們既要重視純粹數學的發展，將核心數學搞上去；同時要將數學和國民經濟、高科技發展、現代金融管理等一系列重大實際問題相聯系。既要有“哥德巴赫猜想”那樣的智力角逐，又要發展“激光照排”那樣的數據壓縮技術。應當看到，在積貧積弱的舊中國，沒有工業基礎，先輩們不得不首先從事純粹數學的研究。經過半個世紀的發展，中國已經有了自己的工業、農業、科技與國防。我們不能把數學局限于純粹數學，更不可把數學的作用僅僅看成是“思想體操”。數學已經從社會的幕后走向臺前，直接為人類創造財富了。第二章數學是人類文明的火車頭數學是人類文明的火車頭——簡述四個數學高峰古希臘為代表的地中海數學文明古希臘數學與古代中國數學的比較黃金時代：從牛頓到高斯信息時代的數學——20世紀世界數學中心的變遷國際數學聯盟與國際數學家大會考據訓詁導致邏輯推斷——乾嘉學派對數學的影響20世紀的中國現代數學數學的歷史和人類的歷史一樣長。歷史是一面鏡子，它可以找到我們的根，看到我們的傳統，折射出前進的方向。“春江水暖鴨先知。”重大人類文明的先兆，往往是數學。印度科學家拉奧（A.N.Rao）認為，一個國家的科學水平可以用它消耗的數學來衡量。歷史表明，世界的軍事經濟強國一定是數學強國。時至今日，美國數學一馬當先。冷戰時代社會主義陣營的領袖蘇聯，曾占據世界數學的半壁江山。西歐數學緊隨其后，日本數學正在迎頭趕上。中國數學，還是一個未知數。但是已經提出了目標：21世紀數學大國。這一章，我們將簡述世界數學的歷史。第一節數學是人類文明的火車頭——簡述四個數學高峰古希臘文明以倡導公理化的《幾何原本》的理性精神作為人類文明的代表。在17世紀人類科學文明的黃金時代，牛頓創立微積分、發展力學，無疑是那個時代的科學巨人。19世紀末和20世紀初，愛因斯坦是那個時代的高峰，但是他的理論框架依賴數學。第二次世界大戰之后，人類社會進入信息時代，其科學代表人物馮·諾依曼，則是一位基于純粹數學的計算機科學家。這四個人類文明的時代，正是數學發展的四個高峰。因此可以說，數學是人類文明進步的火車頭。第一個高峰：古希臘的演繹數學時期數學的起源可以追溯到上古時期，尼羅河文明、兩河流域文明、印度文明和華夏文明都作出過杰出的貢獻。但是作為科學形態的數學，還是以古希臘的演繹數學為高峰。它的意義也不僅在數學，而是人類“理性思維”的第一個重大勝利。歐幾里得的《幾何原本》成為影響人類文明進程的里程碑。幾何公理化體系的思想，成為所有科學追求的一種境界。《幾何原本》是僅次于圣經的印刷數量最多的作品。同樣，《九章算術》確立了中國古代數學的算法體系，也是中國古代科學文明的代表作。第二個高峰：牛頓-萊布尼茨的微積分時期文藝復興時期，雖然回到古希臘文明，歐幾里得、阿基米德等大數學家的光輝驅走了中世紀的黑暗。但是，公理化思想推不出微積分。牛頓和萊布尼茨是在古希臘的“窮竭法”“求拋物線弓形面積”等思想的啟發下，煥發了新的科學活力。17—18世紀，可以說是一個數學力量所向披靡的時代。盡管“無窮小”思想被貝克萊大主教斥責為“逝去了量的鬼魂”，很不嚴格。可是實踐證明了微積分算法的巨大威力。在力學、光學、工程技術領域獲得的成功確立了微積分的劃時代的歷史地位。以后的歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅里葉等大家的貢獻，再次推動人類文明進入了一個新階段。第三個高峰：希爾伯特為代表的形式主義公理化時期大約在19世紀中葉，非歐幾何的出現、抽象群論的誕生，特別是微積分的嚴格化過程，使數學進入一個新的時期。理性思維、嚴密證明成為數學時尚。德國格丁根學派的代表人物希爾伯特（DavidHilbert，1862—1943），在1898年發表《幾何基礎》，把歐幾里得的《幾何原本》完全地嚴密化。此后便一發不可收，形式主義和邏輯主義的思潮占據了數學領域的主導地位。抽象和嚴密成為新的時尚。希爾伯特希望把數學建立在一個“相容的、獨立的、完全的”公理體系之上，一勞永逸地樹立數學的真理性。這一努力最后失敗了，但也創立了一門叫做“數學基礎”的學科。另一方面，數學大量地用于各個科學領域，例如影響人類文明進程的電磁學，其基本架構乃是一組微分方程。作為這一時期物理學思想革命的相對論，則建立在黎曼幾何的框架上。第四個高峰：以計算機技術為標志的新數學時期自1946年第一臺電子計算機（ENIAC）問世以來，以馮·諾依曼為代表的一批數學家參與計算機的研制，又一次為人類文明的進步做出最基礎的貢獻。與此同時，數學本身也受到計算機技術的推動，進入了嶄新的時期。1948年，維納的控制論、仙農的信息論相繼問世，開創了新的局面。此后，數學大舉“入侵”各個學科領域，包括社會科學領域。諾貝爾科學獎中有許多是數學工作，如線性規劃工作獲經濟學獎，源于拉東變換原理的CT掃描獲醫學獎等。計算機的出現，使許多數學理論能成為實時控制的技術，數字模擬替代了昂貴的科學實驗，運籌帷幄的數學進入企業管理。數字地球和信息高速公路把信息數據壓縮的數學技術推到科學競爭的前臺。說到底，一切高新技術的背后往往都有數學技術在支持。數學技術已成為知識經濟時代的一個重要特征。四個數學高峰，催生或代表了人類的文明進步。第二節古希臘為代表的地中海數學文明地中海沿岸是人類文明的發源地之一。最早的數學記錄可溯源于公元前兩千多年的蘇美爾文化。19世紀的考古發現，揭示了人類最早的數學文明出現在古巴比倫，今伊拉克、土耳其一帶。實物證據是帶有楔形文字的泥板，其中有300塊有關數學。破譯古巴比倫文字以后，知道那時已能解一元二次方程，泥板上有21/2的近似值。令人驚奇的是普林頓322號泥板上有15行數字（圖2.2.1），用現代的阿拉伯數字寫下其中的四行數字是1191694601664912709185416597?圖2.2.1古巴比倫泥板普林頓322號經過德國數學史家破譯之后發現，以上各組數字如果分別補上120，4800，13500，72之后，每三個數恰好是某直角三角形的三條邊之長，即這幾組數都是勾股數：1192+1202=169246012+48002=66492127092+135002=185412652+722=972這顯示古巴比倫有非常發達的數學文明。埃及在地中海的南岸。她的數學文明可以從寫在莎草紙上的文字為證。它們分別收藏于倫敦大英博物館和莫斯科。這些紙草書的年代在公元前1850—前1600，大約相當于我國的“夏”代。紙草書的內容涉及一元一次方程的解法，有等差和等比數列的簡單知識。公元前8世紀，北方來的人控制了地中海沿岸，進入了輝煌的古希臘文明時期。古希臘的版圖，以現今的希臘雅典城為中心，包含今天的意大利南部、土耳其的一部分以及埃及的亞歷山大城等廣袤地區。約公元前700年，泰勒斯倡導數學證明，開創論證幾何。比如“對頂角相等”，需要從等量減等量、余量相等的公理推出，他還發現直徑上的圓周角是直角，相似形各對應線段成比例等數學知識，并能用數學方法求金字塔的高度。活躍于公元前500年的畢達哥拉斯學派是一個神秘的團體，他們研究幾何學和數論。據說畢達哥拉斯（Pythagoras，約前570—前495，圖2.2.2）證明了直角三角形的直角邊平方之和等于斜邊的平方，不過并沒有文字記載流傳至今。他們只承認整數及整數的比——分數。但是，正是這個學派的門人發現了正五邊形的對角線和邊長不可公度，這等于發現了無理數的存在。畢達哥拉斯不能容忍這樣的數，竟把發現無理數的弟子拋進大海。古希臘大哲學家柏拉圖（Plato，前427—前347，圖2.2.3）在古希臘首都雅典的近郊，開設了一個講學和研究知識的場所，取名為Academy。它斷續存在了900余年，直到公元529年才被拜占庭皇帝下令徹底關閉；而它對科學的深遠影響延續至今。如今，每個大國都設立Academy，也就是科學院。每位科學家以當選科學院院士為最高的學術榮譽。在柏拉圖學院的大門上，刻著這樣一句話：“不懂幾何者免入”（LetNoOneIgnorantofGeometryEnterHere）。在古希臘，“幾何”與“數學”同義。所以，這句話凸顯出數學在古希臘知識領域中的崇高地位。約公元前400年，歐多克斯用非常精細的“窮竭法”，克服了不可公度量的困難，將線段之比為有理數的結論推廣到無理數情形。這是一個很大的飛躍。古希臘數學的第二期創造集中在亞歷山大城（即今天埃及的亞歷山大城），代表人物是歐幾里得和阿基米德等。歐幾里得（Euclid，前330—前275年，圖2.2.4）著《幾何原本》13卷，含465個命題，用邏輯演繹的方法，展現了公理化的幾何體系，成為人類理性思維的典范作品。?圖2.2.2畢達哥拉斯▲圖2.2.3柏拉圖▲圖2.2.4歐幾里得阿基米德（Archimedes，約前287—前212，圖2.2.5）是古希臘數學的重要代表，甚至被稱為人類有史以來三位最偉大的數學家之一（另兩位是牛頓和高斯）。他出生在古希臘西西里島東南端的敘拉古城。當時，古希臘早期的輝煌文化已經逐漸衰退，經濟、文化中心逐漸轉移到埃及的亞歷山大城；另一方面，意大利半島上新興的羅馬帝國，正在不斷地擴張勢力；北非也有新的國家迦太基興起。阿基米德就是生長在這種新舊勢力交替的時代，敘拉古城則成為許多勢力的角力場所。阿基米德的父親是天文學家和數學家，所以他從小受家庭影響，十分喜愛數學。大概在九歲時，父親送他到亞歷山大城念書，亞歷山大城是當時西方世界的知識、文化中心，學者云集，舉凡文學、數學、天文學、醫學的研究都很發達，阿基米德在這里跟隨許多著名的數學家學習，包括幾何學大師歐幾里得。▲圖2.2.5阿基米德阿基米德發現了一些重要的物理學原理，如杠桿原理和浮體定律；還發明了許多神奇的機械裝置，敘拉古人利用其中一些裝置曾多次擊退羅馬軍隊的進攻。然而，他更著迷于純數學的研究，并做出一系列開創性的貢獻：包括用“窮竭法”算出球面積、球體積、拋物線和橢圓面積，這些工作發展成近代的“微積分”；他還研究了螺旋形曲線的性質，這種曲線后來被稱為“阿基米德螺線”。另外他在《數沙術》一書中，創造了一套記大數的方法，簡化了記數的方式。第三節古希臘數學與古代中國數學的比較中國是世界文明古國，具有唯一延續至今沒有中斷的歷史文明。就數學文明而言，中國古代數學的發展較古巴比倫和古埃及要晚許多。中國的夏朝與古埃及的年代相當。但是目前還沒有發現夏朝文字，因而談不上數學記載。到了公元前14世紀至前11世紀的商代，出現了甲骨文，其中已刻有數字。甲骨文的記數方法是十進制，這是一個了不得的成就。在古巴比倫，都是60進位，寫數字十分麻煩，古希臘的記數方法也非常復雜。如果說中國古代數學以計算和算法見長，那么十進位記數法是重要的特點。現在世界上通用的印度—阿拉伯記數法就是十進制。古希臘數學是奴隸主思想家為追求精神滿足、探討真理、相互辯論的結果。有一幅畫上，奴隸主一邊在做數學研究，一邊把雙腳浸在腳盆里，由奴隸伺候洗腳。奴隸主之間進行學術爭論，為了說服對方，便使用邏輯演繹的方法，從顯然成立的公理出發，一步步推理，直至到達終于使對方相信的某個學術成果。這種求真求實，打破砂鍋問到底的理性思維，體現在數學上便是歐幾里得《幾何原本》中的公理化體系，以及嚴密而有說服力的證明方法。中國的數學發展和古希臘走著不同的方向。春秋戰國時代和古希臘的黃金時代大體相當。例如柏拉圖（前427—前347），墨子（約前468—前376）；歐幾里得（前330—前275），孔子（前551—前479），莊子（前369—前286）。這樣的時代，在學術上可謂“百花齊放，百家爭鳴”，因而能產生出輝煌的精神文明。諸子百家各陳其說，一些重要的數學思想相繼問世。如墨子有形式邏輯原則和一些數學概念的陳述，莊子有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的論斷，公孫龍提出“白馬非馬”的議論，等等，都是深刻的數學觀念。不過，這些論述多半停留在哲學層面上，并未形成系統的理論。特別是，春秋戰國時期的思想家，其主要目標是締造社會秩序，為“王者統治臣民”服務，對于純粹的理性思維方式，并不特別看重。另一方面，當時的諸子百家都把“經綸天下，治國濟民”作為最高理想，數學也沿著“經世致用”的路子走向實用，成為官方管理國家的一種工具。中國考古發現中，以1984年在湖北張家山出土的《算數書》竹簡為最早的實物證據，初步定為公元前2世紀初的作品，其內容和后來三國時代數學家劉徽注釋的《九章算術》（263年）很相似。《九章算術》（圖2.3.1）采用問題集的形式，全書共有246個問題，分為以下九章：?圖2.3.1《九章算術》書影1.方田：土地丈量中的面積計算。2.粟米：物品交換中的兌換比例。3.衰分：計工、稅收中按等級、比例分配。4.少廣：面積體積中開方、開立方。5.商功：筑城、開渠等的土方計算。6.均輸：按人口、路途的實物攤派與運輸。7.盈不足：關于依某法“盈”依另法“不足”的數學模型。8.方程：線性方程組問題。9.勾股：利用勾股定理解決測量計算問題。中國古代算學的“實用性”，由此可見。但是，中國古代數學并非沒有理論色彩。它和古希臘的演繹數學不同，主要體現為“算法化、數值化”的計算特色。中國古代稱“數學”為“算學”。將源于古希臘的英文詞Mathematics譯成“數學”，是在20世紀由日本傳入，到1939年才在中國完全統一使用。因此，說中國的數學傳統是“計算”，大概是不會錯的。中國古代計算用算籌，按十進的位置記數法放置，黑色為正數，紅色為負數。然后按一定的規則演算（開方等），即將算籌依法則進行移動，最后得出精確度很高的結果來（方程求解）。讀者用現代數學的眼光看，這里有十進制的記數，有正負數，有乘方和開方，有聯立方程求解，高次方程求根。一個突出的成果記載在《隋書》中：祖沖之（429—500）求出圓周率π的近似值為3.1415926＜π＜3.1415927在世界上獨步千年。由此可見中國“算學”的偉大與成功。我國著名數學家吳文俊院士，于20世紀70年代首先提出中國數學傳統是“算法化”“數值化”“離散化”的觀點，并認為在當今的計算機時代，數學的“算法化”是發展趨勢，由此創造性地提出了數學定理機械化證明的理論，在許多領域獲得了成功。他也因此獲得2000年首次頒發的國家最高科學技術獎。古代數學史的成就，不能單純以發現的遲早論英雄。主要看數學成就所蘊涵的特殊思想，考察它能對人類文明做出何等的貢獻。要說如何用數學史內容進行愛國主義教育，吳文俊先生的工作是一個典范。盡管中國古代數學具有燦爛的歷史，古希臘的數學所具有的更加深邃的理性精神仍然震撼了近代中國數學界。其中《幾何原本》（圖2.3.2）對中國的影響尤其重大，以至許多人將《幾何原本》譯成中文作為中國近代數學的開端。我國明末時期的杰出學者徐光啟（1562—1633）與意大利籍傳教士利瑪竇（MatteoRicci，1552—1610）合作，首次把《原本》的前六卷翻譯成中文，并使用了中文書名《幾何原本》（圖2.3.3）。從此，“幾何”成為數學中一門歷史悠久的主要學科的中文名稱。徐光啟盛贊此書“能令學理者祛其浮氣練其精心，學事者資其定法發其巧思，故舉世無一人不當學。”“能精此書者無一事不可精，好學此書者無一事不可學。”1徐光啟對《幾何原本》極其推崇，指出“此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。”所謂的“欲駁之不可得”，即說明了它的嚴密的邏輯性。《幾何原本》對徐光啟的震撼可見一斑。?圖2.3.2《幾何原本》古版書影?圖2.3.3《幾何原本》中譯本書影再過250年，清末最杰出的數學家李善蘭（1811—1882）與英國籍傳教士偉烈亞力（AlexanderWylie，1815—1887）合作，翻譯了《幾何原本》的后九卷（末兩卷是后人校對增補的內容），使中國學者終能看到該書全貌。《幾何原本》從5條公設和5條公理出發，運用邏輯推理證明了465個命題，從而演繹出整個古典幾何學體系。時至今日，不僅中學生仍然在課堂上學習歐幾里得幾何學，而且數學家也依舊在沿用《幾何原本》所開創的公理化加邏輯推理的方法建造高度抽象、極其復雜的現代數學大廈。以下是書中第一卷開頭部分的內容。1見徐光啟和利瑪竇譯《幾何原本》中徐光啟序。第一卷定義1.點只有位置沒有尺寸。2.線只有長度沒有寬度。3.線之兩端是點。4.線如隨同其上的點平直延伸，則稱之為直線。5.面只有長度和寬度。6.面的邊緣是線。7.面如隨同其上的直線平直展開，則稱之為平面。8.平面角是指一平面上兩條不在同一直線上且相交的線互相之間的傾斜度。9.當包含角的兩條線是直線時，則稱該角為直線角。10.當一條直線站在另一條直線上，使得相鄰的兩個角相等，則這兩個角都被稱為直角，并稱前一條直線垂直于后一條直線。11.鈍角就是大于直角的角。12.銳角就是小于直角的角。13.邊界是任意一物的邊緣。14.圖形是被一個或幾個邊界所圍起的。15.圓是由一條線所圍起的平面圖形，使得兩端落在該線上并經過圖形內一點的所有直線都相等。16.上述圖形內的那一點被稱為圓心。17.圓的直徑是指任意一條通過圓心且兩端沿相反方向落在圓周上的直線，這條直線也平分了圓。18.半圓是直徑和由它截得的圓弧所圍成的圖形，而且半圓的心就是圓心。19.直線形是由直線圍成的圖形，三邊形由三條直線圍成，四邊形由四條直線圍成，多邊形由四條以上的直線圍成。20.在三邊形中，等邊三角形是指其三條邊相等，等腰三角形是指其有兩條邊相等，不等邊三角形是指其三條邊都不相等。21.在三邊形中，直角三角形是指其有一個直角，鈍角三角形是指其有一個鈍角，銳角三角形是指其有三個銳角。22.在四邊形中，正方形是指其等邊且四角都為直角，長方形是指其四角為直角但不是等邊，菱形是指其等邊但沒有直角，平行四邊形是指其對邊和對角都分別相等但不是等邊且不是直角，其余的四邊形叫做不規則四邊形。23.平行線是指一平面上的兩條直線，它們朝兩個方向無限延伸而永不相交。公設1.從任意一點到任意另外一點可作一條直線。2.可從一條直線上連續地取出有限長直線（段）。3.可以用任意圓心和半徑作圓。4.所有的直角都相等。5.若一條直線與另外兩條直線相交，若直線同側的兩個內角之和小于180°，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交。公理1.與同一個事物相等的事物彼此相等。2.等量加等量，其和仍相等。3.等量減等量，其差仍相等。4.彼此重合的事物彼此相等。5.整體大于部分。現在我們來看“對頂角相等”的證明給我們帶來的震撼。定理如圖2.3.4，兩條直線相交，那么角A等于角B。這太簡單了！一眼就看出來了！這還要證明嗎？那不是自找麻煩嗎？然而，在《幾何原本》中，“對頂角相等”是命題15。證明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根據公理3（“等量減等量，其差仍相等”），所以A=B。據歷史考證，最早使用這一方法的是公元前7世紀古希臘數學家泰勒斯。這里，重要的價值不在于“對頂角相等”的命題本身，而在于泰勒斯提供了不憑直觀和實驗的邏輯證明。弄清要不要證明才是關鍵。古希臘是奴隸制國家。當時希臘的雅典城邦實行奴隸主民主政治。由男性公民組成的民眾大會有權制定法律，處理財產、祭祀、軍事等問題（注意：廣大的奴隸、婦女、外來人不能享受民主權利）。奴隸主的民主政治和皇帝君王獨裁的政治，是有所區別的。古希臘的奴隸主民主政治，彼此間的不同意見需要用理由說服對方，于是學術上的辯論風氣隨之興起。為了證明自己堅持的是真理，就需要證明。于是，古希臘的學術不僅要解決真理“是什么（what）”的問題，還要回答“為什么（why）”的問題，“唯理論”的學術風氣很盛。在這樣的政治文化氛圍中，數學也就不僅要回答“什么是數學真理”，還必須回答“為什么”它是數學真理。于是“對頂角相等”命題的證明就是可以理解的了。試想：為了證明自己的學問是真理，先設一些人人皆同意的“公理”，規定一些名詞的意義，然后使要陳述的命題成為公理的邏輯推論，豈不是很有說服力嗎？▲圖2.3.4對頂角相等重要的幾何命題是世界各國都有的。比如，中國很早就發現了勾股定理，古希臘稱之為畢達哥拉斯定理。中國為了說明勾股定理的正確，也講“為什么”，使用了“出入相補”原理，用拼接的方法加以證明。但是，中國的古代數學，多半以“官方文書”的形式出現，目的是為了丈量田畝、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。雖然中國古代社會也說理，卻沒有古希臘那樣的“自由學術辯論”，唯理論沒有形成大的風氣。因此，中國古代沒有用公理方法進行學術探討的傳統。文化上的差異，導致了數學上的分別。對于古希臘用公理化體系表達科學真理的方法，后人稱它為“理性思維”的一種最高形式。這一點，中國傳統文化比較薄弱和欠缺。我們應當實行“拿來主義”，認真加以學習和體會，努力提高我們的思維能力。數學是體現理性思維最好的載體。所以，我們學習數學，不僅要記住定義和定理，更重要的是能學會這種理性思維的方法。但是話說回來，我們不能事事、時時使用公理化的邏輯思維方法。那會成為書呆子的。我們仍然應當重視自己的直觀觀察能力，運用測量、估計的手段，使用物理的、化學的實驗方法，采用各種證據來說明自己所主張的結論是科學的真理。公理化方法，只是其中的一種（然而是十分重要的一種）而已。直觀和理性，是整個思維過程的兩個方面，相輔相成。第四節黃金時代：從牛頓到高斯歐洲中世紀的漫漫長夜逐漸過去，歷史的車輪滾滾向前。數學的巨人不斷出現，形成了連綿的科學高峰。當中國的明清兩代皇帝坐穩江山的時候，科學落后的禍根已經埋下。撫今追昔，“科學是第一生產力”的論斷，似乎更加清晰了。牛頓（IsaacNewton，1642—1727，圖2.4.1）的生平，我們將在后面提到。這里先介紹牛頓所面臨的數學問題。?圖2.4.1牛頓借助于17世紀法國哲學家、數學家笛卡兒（ReneDescartes，1596—1650）于1637年提出的坐標幾何的概念，曲線、方程、函數等概念得到了完美的統一。大家知道，二次函數可以表示勻加速運動的距離s和時間t之間的關系。我們就從觀察拋物線函數y=x2的性質說起。見圖2.4.2，通過觀察我們發現，研究曲線的切線有助于研究圖像本身。在y=x2的頂點（x=0處），切線平行于x軸，斜率為零；在頂點的左邊，函數值隨x的增加而減少，與此相應的切線的斜率一直是負的；而在曲線頂點的右邊，函數值隨x的增大而增大，這時的切線斜率是正的。這樣一來，如果能夠把函數圖像的切線斜率計算出來，函數本身的性質就可以得到進一步的了解。正是這樣創新的想法，導致了微積分的產生。這是石破天驚的科學事件。牛頓概括前人的成果，完成了微積分學的創立，并且把力學用微積分方法重新加以整理，成為物理學的工具。世界上的物體運動狀態的改變，無非是力的作用：重力、熱力、電力、原子核力等。這樣，大到天體運行，小到電子旋轉，微積分成為刻畫運動的基本工具。數學對于人類的價值，由此可以想見。和牛頓同時研究微積分的還有德國的萊布尼茨（GottfriedWihelmLeibnitz，1646—1716）。他的微積分研究從幾何出發，與牛頓殊途同歸。從現有文獻來看，牛頓在微積分的研究上比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨發表微積分論文的年代卻比牛頓要早些。位于英倫海島上的英國人和位于歐洲大陸的德國人曾為微積分的發明優先權爭得不可開交，英國人甚至不愿和歐洲大陸的數學家來往，結果是英國人在牛頓之后缺乏大數學家。實際上，牛頓和萊布尼茨都是微積分的發明人，都對人類做出過巨大的貢獻。誰早誰遲不必過分計較，而意氣用事更不足取。英國人為爭微積分發明權作繭自縛，吃虧的是自己。▲圖2.4.2拋物線切線的變化18世紀的數學家在牛頓和萊布尼茨的基礎上創造了許多輝煌的數學成就。其中歐拉（LeonhardEuler，1707—1783）是最多產的數學家，他先后在瑞士和俄國工作，著作累累，不及備述。1789年，法國發生大革命，工業發展，科學昌盛，世界數學中心也轉至法國。法國巴黎高等師范學校、巴黎高等工業學校等，產生了大批的杰出數學家，如拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736—1813）、勒讓德（Adrien-MarieLegendre，1752—1833）、拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace，1749—1827）、柯西（Augustin-LouisCauchy，1789—1857）、傅里葉（JosephFourier，1768—1830）、蒙日（GaspardMonge，1746—1818）等，都是頂尖的數學大師。到了19世紀，德國的資產階級興起，在數學上的代表人物則是高斯。高斯（CarlFriedrichGauss，1777—1855，圖2.4.3）是全能數學家，數論、分析、幾何、代數、概率等領域，都有他的足跡。一個家喻戶曉的故事，說從1加到100是多少？少年高斯看出那是50個101，結果是5050。這個故事對于說明數學的魅力，很有價值。高斯的另一個著名工作是首先證明，任何一個n次代數方程在復數域內必有n個根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整數、高斯曲面……以高斯命名的數學名詞數不勝數。最值得提起的是高斯發現非歐幾何。19世紀30年代，俄國的羅巴切夫斯基（NikolasIvanovichLobachevsky，1792—1856）和匈牙利的波里埃（JánosBolyai，1802—1860）都先后發現了“過平面上一點有多于一條直線與一給定直線平行”的幾何。他們通過各種方式宣布或寫成論文發表。其實，高斯早已發現這種幾何，只是害怕眾人不能接受，不敢公布。就這點而言，高斯太膽小了。?圖2.4.3高斯在高斯之后有黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826—1866）、克萊因（FelixKlein，1849—1925）、希爾伯特（DavidHilbert，1862—1943）等人，使德國在20世紀初成為世界數學中心。第五節信息時代的數學——20世紀世界數學中心的變遷一部近代世界史表明：世界經濟軍事大國一定也是數學文明的發源地。17世紀的英國爆發資產階級革命，牛頓的微積分誕生在英倫三島。18世紀法國大革命催生拿破侖帝國，法國數學學派稱雄歐洲。19世紀中葉，德國資產階級崛起，數學王子高斯帶來德國數學的輝煌。到了20世紀的開頭，國際數學界形成法國與德國數學爭雄的格局。那時的美國尚未稱霸世界，數學也處于二流水平。到了20世紀的中葉以后，則是美國數學與蘇聯數學對決的年代了。清代學者趙翼有詩云：“江山代有才人出，各領風騷數百年。”在數學界，能領先數百年是不可能的，能當幾十年的霸主就很不容易了。1900年，第二屆國際數學家大會在巴黎召開。法國的龐加萊任大會主席，德國的希爾伯特作大會報告。這反映了法、德兩國在國際數學的領導地位依然平分秋色。龐加萊（HenriPoincaré，1854—1912，圖2.5.1）是一位牛頓式數學家，關注天文學、物理學等自然科學中的數學問題，開創了定性理論、拓撲學等許多影響深遠的新學科。龐加萊于1912年去世。法國數學漸漸走下坡路。不久前披露的檔案表明，鑒于龐加萊的數學工作大氣磅礴，在證明的嚴密性上有時不甚講究，法國同行（包括他的導師皮卡）頗有非議。結果是權威的領導決定不讓龐加萊教數學課，只能教天文學和物理學。20世紀20年代的法國數學，逐漸遠離龐加萊的數學路線，研究領域縮小到純粹數學中狹小的一塊，簡直成了“函數論王國”。于是一批年輕的數學家開始向德國格丁根學派學習，繼承發揚希爾伯特的數學傳統，努力走出函數論王國的圈子。這就是著名的布爾巴基（Bourbaki）學派。20世紀法國數學的這一亮點，使得德國希爾伯特形式主義成為一時的時尚。布爾巴基學派的結構主義的數學，曾經在20世紀50年代前后領導世界數學潮流，風靡一時。希爾伯特（圖2.5.2）是一位全才的數學大師，曾有證據顯示他和愛因斯坦各自獨立地提出了廣義相對論。不過，希爾伯特更以純粹數學的創見、提倡形式主義的數學哲學而著稱，可以說更具歐幾里得那樣的古希臘數學的特色。▲圖2.5.1龐加萊▲圖2.5.2希爾伯特希爾伯特贏得了很高的聲譽。他在國際數學家大會上提出了20世紀將要解決的23個問題，引無數英雄競折腰。能夠解決其中一個問題都是極高的榮譽（著名的哥德巴赫猜想是第8問題的一部分）。希爾伯特引導的現代公理化數學思潮，成為人類數學文明的又一個高峰。20世紀的前30年，世界數學中心在德國的格丁根大學。那里曾是高斯、黎曼等大數學家工作的地方，以后則是希爾伯特為首的格丁根數學學派大本營。愛因斯坦發表相對論時，這里的閔可夫斯基就發展四維的時空幾何。量子力學剛剛形成，外爾的《量子力學的數學基礎》立即在格丁根問世。當過希爾伯特助教的馮·諾依曼，則建立起希爾伯特空間上的算子譜論，成為量子力學的數學框架。近代史上偉大的女數學家諾特在這里發表影響深遠的“一般理想論”，開創抽象代數的先河。那時的歐洲，還從未有過女性的教授。希爾伯特為此忿忿不平：“大學評議會不是浴室，為什么不準婦女進入？”1933年的那個黑色的春天，立即把格丁根的輝煌葬送了。希特勒上臺迫害猶太人，驅逐猶太籍的科學家。愛因斯坦是猶太人，馮·諾依曼、諾特都是猶太人，外爾的太太是猶太人，格丁根數學研究所的所長柯朗也是猶太人。他們先后被迫前往美國的普林斯頓和紐約，美國也因此成為新的世界數學中心。在20世紀初，像愛迪生那樣的美國發明家領導著先進技術的世界潮流，經濟實力已經達到世界前列。但是基礎科學的水平還遠落在歐洲后面。美國學生到歐洲學習數學，是普遍的現象。1930年，一位零售業富商，想捐款建造一所醫學院，造福社會。當時的科學名流富萊斯納告訴他，這些錢造一所醫學院是不夠的，而且紐約附近的醫學院已經足夠多。如果設立一個以數學為主的研究院，投資較少，而且美國正需要這樣的基礎性研究。這樣，普林斯頓高等研究院便開始籌備。富萊斯納到歐洲，請來愛因斯坦、外爾、馮·諾依曼三位頂尖的數理科學家，加上美國本土的三位數學家，強大的陣容一下子就把普林斯頓的學術聲譽推到云端。諾特在普林斯頓附近的一所女子學院任教，柯朗則在紐約大學工作。大批的數學家難民從歐洲來到美國，造就了美國的數學輝煌。馮·諾依曼（圖2.5.3）來到普林斯頓高等研究院時只有26歲。他不僅在純粹數學和應用數學上獨樹一幟，更偉大的創造是用數理邏輯方法設計數字電子計算機的方案。這一使用至今的科學精品，不僅是數學的驕傲，更是人類文明的里程碑。美國本土出生的數學家也有杰出的成就，尤其是應用數學方面。例如，首創控制論的維納，提出信息論的仙農，都是劃時代的數學英雄。差不多也在20世紀30年代，另一個世界數學中心出現在莫斯科。大數學家歐拉曾在俄國工作多年，數學的積淀很深。1917年十月革命勝利之后，國家經濟一度十分困難。人們都在期待“面包會有的，牛奶也會有的”。可是，蘇聯的科學政策保證了科學研究的優先發展，數學家們可以經常出國訪問，特別是到德國的格丁根大學。例如蘇聯的天才數學家▲圖2.5.3馮·諾依曼和他設計的計算機烏雷松訪問德國和法國之后，因在海邊游泳時溺水去世，時年僅26歲。蘇聯的莫斯科大學有魯金為首的數學學派，起先以函數論為主，以后全面出擊，泛函分析、變分學、概率論、集合論、偏微分方程等學科，都有一流成果展現。魯金是沙俄時代留下來的數學家，在歷次政治運動中倒也平安。據說斯大林曾經出面“保”過魯金。魯金招收了許多具有數學天才的年輕學者。其中尤以P·亞歷山大羅夫和A·H·科爾莫戈羅夫（圖2.5.4）兩人最為杰出，前者是世界拓撲學先驅，后者是20世紀少有的全能數學家。第二次世界大戰期間，科爾莫戈羅夫建立火炮自動跟蹤技術，和維納同時創立控制論。到了20世紀50年代，蘇聯數學可以和美國數學全面抗衡。冷戰時代蘇美在軍事上爭霸，在數學上也處于彼此爭雄的年代。不過，兩國的數學家之間還是相當友好（難免有些小的摩擦），大家都統一在國際數學家聯盟的數學大家庭中間。自從電子計算機問世以來，數學更趨向于應用。一張紙、一支筆、一個腦袋的研究方法，已經由于計算機的介入而被打破。美國和蘇聯在軍備競賽中投入了大量的人力物力，也作了大量的數學投資，這就刺激和帶動了數學科學的進步。美國和蘇聯的數學技術也長期在世界上繼續領先。?圖2.5.4科爾莫戈羅夫1991年蘇聯解體和東歐政治變化之后，莫斯科數學中心的地位大為下降。一些優秀的蘇聯、東歐數學家相繼到西方工作。最突出的例子是蘇聯數學大師蓋爾范德（IzrailMoiseevichGelfand，1913—2009），曾以80歲高齡接受了美國羅格斯大學之聘。還有當代幾何大家格羅莫夫（MikhailLeonidovichGromov，1943—）先后到美國、法國執教，并加入了法國籍。蘇美數學爭雄結束之后，美國數學一枝獨秀。但是數學中心也呈現多元化趨勢。俄羅斯數學的威勢仍存，莫斯科和圣彼得堡都有十分優秀的數學家在工作。圣彼得堡走出了佩雷爾曼，一舉解決“龐加萊猜想”，卻拒絕接受菲爾茲獎章和克萊數學研究所的千年獎，堪稱一代風范。以阿蒂亞為首的英國的牛頓數學研究所，法國的龐加萊數學研究所，德國的馬克斯-普朗克數學研究所，日本京都大學的數學研究所，都是一定范圍的數學研究中心。即使在美國，除了普林斯頓高等研究院之外，還有加州伯克利的美國數學科學研究所、明尼蘇達的美國應用數學研究所，紐約大學的柯朗數學研究所也負盛名。目前國際數學大勢是：美國繼續領先，西歐緊隨其后，俄羅斯蓄勢待發，日本正在迎頭趕上。至于中國數學，目前還是未知數。一旦潛在的力量釋放出來，北京也許是又一個國際數學中心。近50年來，數學發展呈現出許多特點。隨著計算機技術的成熟和發展，數學從社會進步的幕后走到臺前，進入數學的又一個黃金時期。計算機的硬軟件設計基于數學，又推動數學。當數學模型能夠實時控制生產和管理流程時，數學成為能夠直接產生經濟效益的“數學技術”。宏觀地如數學控制論于航天技術，微觀地如拓撲學扭結理論于基因的雙螺旋結構；造福人類健康的CT掃描技術基于“拉東變換理論”，隨機微分方程用于金融股票價格的確定；數論公式用于保證網絡通信和電子商務的安全。時至今日，數據處理已經進入千家萬戶，成為人們日常生活中理財、決策時不可缺少的一部分。難怪“紅樓夢的作者是誰？”，也可以去問問數學家了。數學和計算機技術聯姻，并未放慢純粹數學前進的腳步。費馬猜想和龐加萊猜想的解決，是世紀之交數學科學的華彩樂章。數學研究從線性問題跨到非線性問題，從交換情形發展到非交換情形。從低維空間問題推廣到高維空間，卻以4維空間為最大難點。當隨機數學以確定性數學為工具進行研究的時候，復變函數中的皮卡定理用隨機數學方法加以證明。新鮮事物窮出不窮，引無數數學英雄競折腰。當20世紀的大數學家希爾伯特、外爾、馮·諾依曼、科爾莫戈羅夫等先后逝世之后，能夠通曉當代全部數學的數學家已經遠去。一些哲學家和數學史家喜歡描述數學的三次危機。由集合論在的羅素悖論觸發的第三次數學危機至今并未完全度過。然而，所謂的數學“危機”，不過是故作驚人之語。數學文明正在一日千里地發展，依然絢麗多彩，無比燦爛。第六節國際數學聯盟與國際數學家大會2002年8月20日，國際數學家大會在北京開幕（圖2.6.1）。這一數學家的盛會，第一次在一個發展中國家舉行，又是21世紀的第一次國際數學家大會，人們期待著國際數學合作將由此揭開新篇章。現在的國際數學家大會（ICM）每四年舉行一次，由國際數學聯盟負責組織。盡管數學有許多分支，各分支間又“隔行如隔山”，但是數學很幸運仍舊是統一的。數學能夠超越國界、超越民族、超越歧見，在追求數學真理的崇高目標下，使全球的幾千名數學家聚集在同一個大廳內，當屬國際合作的典范，人類精神文明的勝利。?圖2.6.12002北京國際數學家大會會徽國際數學家大會已經有100年以上的歷史了。19世紀末年，每年產生的數學文獻在2400種以上，一個人、甚至一個國家都無法了解數學整體的最新進展，國際交流日顯其重要性。1897年，歐洲的數學家在瑞士的蘇黎世舉行第一次國際數學家大會，有16個國家的208名數學家參加，全部來自歐洲各國。奉行孤立主義的英國只來了3人，俄羅斯倒有12位數學家與會。這屆大會的功績在于：確立國際數學家大會是一個常設機構，準備定期舉行下去。因此是一個良好的開端。1900年在巴黎舉行第二屆國際數學家大會。龐加萊擔任大會主席，希爾伯特作大會報告。希爾伯特是格丁根大學教授，大會舉行那年剛38歲，已和龐加萊并列為當時在世的最偉大的數學家。大會的成果深刻地影響了20世紀數學的進程。巴黎大會在數學史上因希爾伯特的演講而永遠享有特殊的榮譽。希