第三章大氣邊界層支配方程3.1基本控制方程3.2平均量方程3.3湍流脈動量方程3.4湍流方差預報方程3.5湍流通量預報方程3.6閉合理論第三章大氣邊界層支配方程3.1基本控制方程13.1基本控制方程為了定量描述和預報邊界層狀況，需要借助于流體力學來描述大氣中氣體動力學和熱力學方程。描述氣體和液體流動的方程組包括：三個動量守恒方程（Navier-Stokes方程）一個質量守恒方程（連續方程）一個熱力學能量方程一個狀態方程(水汽及污染物濃度的標量方程類似熱量方程)3.1基本控制方程為了定量描述和預報邊界層狀況，需要借助于23.1基本控制方程3.1.1控制方程3.1.2簡化與近似—Boussinesq近似3.1.3坐標系及其變換3.1基本控制方程3.1.1控制方程33.1.1控制方程狀態方程質量守恒（連續方程）動量守恒（牛頓第二定律）熱量守恒方程（熱力學第一定律）3.1.1控制方程狀態方程41）狀態方程理想氣體狀態方程：P：氣壓ρ：濕空氣密度R：干空氣氣體常數（R=287JK-1kg-1）虛溫Tv=T(1+0.61q)，q比濕，T溫度1）狀態方程理想氣體狀態方程：P：氣壓52）質量守恒（連續方程）連續性方程的一般形式：不可壓縮流體或泰勒假說:2）質量守恒（連續方程）連續性方程的一般形式：不可壓縮流6運用Einstein求和符號慣例，以上的連續方程寫成：（j=1、2、3分別代表x、y、z三個方向）運用Einstein求和符號慣例，以上的連續方程寫成：（j=73）動量守恒（牛頓第二定律）動量方程的表達式：局地時間變化平流項氣壓梯度力項重力作用項科氏效應粘滯應力項3）動量守恒（牛頓第二定律）動量方程的表達式：局地時間變8δi3為克羅內克符號重力僅在垂直方向起作用思考：方程右端第三項展開？δi3為克羅內克符號重力僅在垂直方向起作用思考：方程右端第94）熱量守恒（熱力學第一定律）熱量守恒關系常用位溫方程來表示：sθ：引起空氣位溫變化的熱量源(匯)項（分子熱傳導、與相變有關的潛熱釋放、凈輻射加熱）水汽及污染物的守恒方程形式與熱量守恒形式一致關鍵是要全面準確的了解引起成份變化的源匯項4）熱量守恒（熱力學第一定律）熱量守恒關系常用位溫方程來103.1.2簡化與近似—Boussinesq近似在一定條件下，控制方程中某些項的量值比其它項小得多，以致可以把它略去，使得方程變得較為簡單，有助于方程的求解。必須考慮地球自轉的影響大氣密度并非均勻，主要在垂直方向上是不均勻的層結流體大氣的空間尺度在水平方向遠大于鉛直方向，可視作淺層流體，不可壓縮流體大氣邊界層主要是湍流運動大氣邊界層的特點概括有：柯氏力作用Boussinesq近似3.1.2簡化與近似—Boussinesq近似11Boussinesq近似的基本假定：流體中的動力學粘滯系數μ=ρν是常數流體中的分子導熱系數kT是常數大氣是淺層流體，垂直范圍約10km描寫流體熱力狀態的特征量可表示為Boussinesq近似的基本假定：流體中的動力學粘滯系數12擾動量遠小于基態量：基本狀態量假設是靜力平衡、絕熱的，并且滿足理想氣體狀態方程，即：靜力平衡理想氣體狀態方程絕熱過程擾動量遠小于基態量：基本狀態量假設是靜力平衡、絕熱的，并且滿13Boussinesq近似下的簡化方程：連續方程狀態方程運動方程熱流量方程Boussinesq近似下的簡化方程：連續方程141）連續方程當大氣為淺層流體，在該范圍內密度的變化很小、可以忽略，邊界層大氣可以近似認為是不可壓縮的，連續方程為：或1）連續方程當大氣為淺層流體，在該范圍內152）狀態方程對于干空氣，狀態方程為P=ρRT，對該式進行對數微分，可以得到：如果運動的垂直尺度相對于大氣層厚度而言很小，則取對數：取微分：2）狀態方程對于干空氣，狀態方程為P=ρRT，對該式163）運動方程Navier-Stokes方程中壓力梯度項和重力項可以進行改寫：將上式代入運動方程得到：

擾動溫度在重力作用下形成的凈浮力項3）運動方程Navier-Stokes方程中壓力梯度項和174）熱流量方程邊界層支配方程中常用到位溫θ，Poisson方程：

對該式進行對數微分，近似有此外，有因此，有擾動溫度的垂直梯度位溫的垂直梯度4）熱流量方程邊界層支配方程中常用到位溫θ，Poisso18如果不考慮相變，熱源Sθ

僅考慮分子熱傳導及輻射加熱，則熱流量方程為：Rj

:j方向的輻射熱通量分子熱傳導的加熱輻射加熱上式中Td也可以換成θ

如果不考慮相變，熱源Sθ僅考慮分子熱傳導及輻射加熱，則熱19以上近似處理最早由Boussinesq(1903)提出－Boussinesq近似該簡化方程假定流體不可壓、并限制在一薄層內。適用于研究像積云對流、海陸風環流、邊界層急流中的重力波活動等發生在淺層內的中尺度運動－淺水方程以上近似處理最早由Boussinesq(1903)提出－Bo20綜上所述，Boussinesq近似下的基本方程組為：或或熱流量方程運動方程狀態方程連續方程綜上所述，Boussinesq近似下的基本方程組為：或或熱流213.1.2坐標系及其變換通常我們使用笛卡爾坐標系，在實際應用中，將笛卡爾坐標系繞z軸旋轉，使x、y軸指向其它方向，能夠在處理問題時更方便。例如，使x軸與平均風向、地轉風向、表面應力方向、垂直于海岸線、山的方向一致，這樣就可以簡化控制方程中的某些項。例如，選擇x軸與平均風方向一致，就可以求得u=M（平均風速）和v=0，這時，x軸叫做順風方向，y軸叫做側風方向。3.1.2坐標系及其變換通常我們223.2平均量方程以上動力方程組無法求解析解，但可以求得數值解。原則上，可以用動力方程組來描述湍流的運動，但是要想囊括所有尺度的湍流運動，計算量太大。為了簡化，可以截取一定尺度的渦旋，而在這個尺度以下的渦旋用湍流的統計特征來代替。在一些中尺度和天氣尺度模式中，截取尺度為10～100公里，而在邊界層模式，比如說大渦模擬，截取尺度一般為10～100米。3.2平均量方程以上動力方程組無法求解析解，但可以求得數值23一出發方程組1.狀態方程2.連續性方程3.動量守恒4.熱量守恒5.水汽守恒6.標量守恒一出發方程組1.狀態方程241、狀態方程干空氣氣體常數1、狀態方程干空氣氣體常數252、連續方程張量展開：2、連續方程張量展開：263、運動方程(動量守恒)Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅲ重力項，僅在垂直方向作用Ⅳ柯氏力項Ⅴ氣壓梯度力項Ⅵ粘性力項式中：

為分子動粘系數，f=2

sin

。3、運動方程(動量守恒)Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅲ重力項，274、熱量守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅵ熱擴散項式中：kθ為分子熱擴散系數，數值為2.06×10-5m2s-1；Lp為與E相變有關的潛熱（0oC時氣液相變取值2.50×106J·kg-1；液固相變取值3.34×105J·kg-1;氣固相變取值2.83×106J·kg-1）；cp為濕空氣定壓比熱，與干空氣定壓比熱的關系為cp=cpd(1+0.86q)；cpd取值1004.07J·kg-1·K-1；E為蒸發量Ⅶ輻射加熱項Ⅷ與相變有關的潛熱釋放4、熱量守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅵ熱擴散項式中：285、水汽守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅵ水汽擴散項式中：vq為空氣中水汽分子擴散率，Sq是方程中不含有其余過程時的凈水體源項（源-匯），單位是：單位時間單位體積的總水體質量。Ⅶ其它過程的凈水體源項5、水汽守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項Ⅵ水汽擴散項式中296、標量守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項ⅥC的擴散項Ⅶ其它過程的體源項式中：vc為空氣中C的分子擴散率，Sc是不存在于方程中的其余過程的體源項，例如化學反應等。6、標量守恒Ⅰ存儲項Ⅱ平流傳輸項ⅥC的擴散項Ⅶ30

在湍流運動的大氣邊界層中，上述方程組還不能完整地描述邊界層中的全部過程，應將上述的主要變量轉換成平均量和脈動量相加。即：平均場方程描述長時間過程，脈動場方程描述短時間過程。二湍流中平均變量方程在湍流運動的大氣邊界層中，上述方程組還不能31推導思路：出發方程：Boussinesq近似方程組采用雷諾平均的方法，將任意一個物理量表示成平均量和脈動量之和，代入方程組，然后再取平均。

————大氣邊界層平均量控制方程推導思路：出發方程：Boussinesq近似方程組32雷諾平均規則Stull.書P41-44雷諾平均規則Stull.書P41-44331狀態方程進行雷諾平均后：最后一項很小、略去不計平均量的狀態方程1狀態方程進行雷諾平均后：最后一項很小、略去不計平均量的342連續方程湍流脈動連續方程湍流平均量連續方程2連續方程湍流脈動連續方程湍流平均量連續方程353動量方程3動量方程表示為雷諾應力對平均運動的影響湍流應力或雷諾應力重要！！再進行雷諾平均，得到：3動量方程3動量方程表示為雷諾應力對平均運動的影響36假設，定常狀態，即假設，略去下沉，即假設，水平均勻性，即P.S.：定常、水平均勻性、下沉展開任一平均變量ξ的全導數：ⅠⅡⅢⅣ象位溫θ、湍流動能e等平均變量，垂直變化大、水平變化很小；風速相反，u、v量級m/s，而w量級mm/s；因此方程中Ⅰ～Ⅳ項多數情況下量級幾乎相等。水平平流垂直假設，定常狀態，即假設，略去下沉，即假設，水平均勻性，即374、熱量方程湍流熱通量的輸送對溫度變化的影響：湍流熱通量再進行雷諾平均，得到：分子熱傳導引起的熱通量，通常忽略4、熱量方程湍流熱通量的輸送對溫度變化的影響：湍流熱通量再進385、水汽守恒6、標量守恒5、水汽守恒6、標量守恒39

上面平均方程組均出現了湍流通量散度項，表現出湍流通量對平均場動量、熱量和水汽含量增減的貢獻。上面平均方程組均出現了湍流通量散度項，表現出40湍流中平均變量方程概要（略去分子擴散和粘性）狀態:連續:動量:熱量:水汽:標量:湍流中平均變量方程概要（略去分子擴散和粘性）狀態:連續:41【例子1】設湍流熱通量按隨高度線性遞減，其中a=0.3(Kms-1)和b=3×10-4(Ks-1)。如果初始位溫廓線是任意形狀（即選擇某一形狀），那么1小時后廓線的最終形狀是什么樣子？略去下沉、輻射、潛熱加熱，并假設水平均勻。-------------------【解法】-----------------------略去下沉、輻射、潛熱加熱，位溫平均量方程為：假設水平均勻，略去x和y導數，得到：1小時的增溫是【討論】ML，所有高度空氣以相同速率增溫，廓線形狀不變【例子1】設湍流熱通量按42【例子2】如果10m/s的風速把干空氣平流到某一區域，該區水汽水平梯度為(5g水/kg氣)/100km，那么要保持定常狀態的比濕，邊界層湍流水汽通量的垂直梯度多大？假設所有水都是氣態，且不存在水汽體源。問題中沒提到下沉或水平通量梯度，假設為零，得到：-------------------【解法】-----------------------定常即，選擇x坐標與平均風向一致，平均量方程:【討論】梯度大小相等于在垂直距離1km上減少0.5(g/kg)(m/s)【例子2】