/專題03絕對值壓軸題（最值與化簡）專項講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數學中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規律，解題時能達到事半功倍的效果。題型1.兩個絕對值的和的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時無法確定當時的值為定值，即為當無法確定結論：式子在時，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數軸是數形結合思想的產物．有了數軸以后，可以用數軸上的點直觀地表示實數，這樣就建立起了“數”與“形”之間的聯系．在數軸上，若點，分別表示數，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數軸上表示實數與實數3兩點之間的距離．則當有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據題意將可以理解為數軸上表示實數x與實數-2的距離，實數x與實數5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據解答即可得到答案.【解析】方法一：代數法（借助零點分類討論）當x<-2時，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當時，=（x+2）+（5-x）=7；當x>5時，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時，故選：D.方法二：幾何法（根據絕對值的幾何意義）可以理解為數軸上表示實數x與實數-2的距離，實數x與實數5的距離，兩者的和，通過數軸分析反現當時，有最小值，最小值為7。【點睛】此題考查依據絕對值的性質化簡絕對值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級階段練習）同學們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負整數是_____________．（3）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由．【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根據題目中的式子和絕對值可以解答本題；（2）分別討論當x＞2時，當﹣5≤x≤2時，當x＜﹣5時去絕對值進行求解即可；（3）同（2）利用分類討論的思想進行求解即可．【詳解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案為：7；（2）當x＞2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2與x＞2矛盾，故此種情況不存在；當﹣5≤x≤2時，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2時，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整數是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；當x＜﹣5時，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5與x＜﹣5矛盾，故此種情況不存在．故答案為：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：當x＞6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；當x＜3時，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．【點睛】本題考查了數軸、絕對值，解答本題的關鍵是明確數軸的特點和絕對值，利用數軸和分類討論的數學思想解答．例2.（2022·河南·鄭州外國語中學七年級期末）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．例如：從“形”的角度看：可以理解為數軸上表示3和1的兩點之間的距離；可以理解為數軸上表示3與﹣1的兩點之間的距離．從“數”的角度看：數軸上表示4和﹣3的兩點之間的距離可用代數式表示為：4-（-3）．根據以上閱讀材料探索下列問題：(1)數軸上表示3和9的兩點之間的距離是；數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是；（直接寫出最終結果）(2)①若數軸上表示的數x和﹣2的兩點之間的距離是4，則x的值為；②若x為數軸上某動點表示的數，則式子的最小值為．【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4【分析】（1）直接根據數軸上兩點之間的距離求解即可；（2）①根據數軸上兩點之間的距離公式列絕對值方程，然后解方程即可；②由于所給式子表示x到－1和3的距離之和，當x在－1和3之間時和最小，故只需求出－1和3的距離即可．(1)解：數軸上表示3和9的兩點之間的距離是｜9－3｜=6，數軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是｜2－（－5）｜=7，故答案為：6，7；(2)解：①根據題意，得：｜x－(－2)｜=4，∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，解得：x=－6或x=2，故答案為：－6或2；②∵表示x到－1和3的距離之和，∴當x在－1和3之間時距離和最小，最小值為｜－1－3｜=4，故答案為：4．【點睛】本題考查數軸上兩點之間距離，會靈活運用數軸上兩點之間的距離解決問題是解答的關鍵．變式2.（2022?思明區校級期末）同學們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數值可以進行分段計算，令x+5＝0或x﹣2＝0時，分為3段進行計算，最后確定x的值．（3）根據（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時，則x＝﹣5或x＝2當x＜﹣5時，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內不成立）當﹣5＜x＜2時，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當x＞2時，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內不成立）∴綜上所述，符合條件的整數x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點評】本題主要考查了去絕對值和數軸相聯系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數軸上的運用，難度較大，去絕對值的關鍵是確定絕對值里面的數的正負性．題型2.兩個絕對值的差的最值【解題技巧】目的是在數軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時的值為定值，即為—當時當的值為定值，即為結論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級開學考試）代數式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當x≥1時；當-2＜x＜1時；當x≤-2時；進行討論可求代數式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；③當a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．變式1．（2022·上海七年級期中）代數式，當時，可化簡為______；若代數式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質即可化簡，分別化簡當時以及當x＞1時，根據當時，，求出a，b即可．【詳解】解：當時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當時，，當x＞1時，∵當時，，∴代數式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關鍵是對x進行分類討論，再化簡代數式．例2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關鍵．變式2．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數軸上表示數a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數軸上分別表示數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據絕對值的幾何意義并結合數軸解答下列問題：（1）數軸上的數x與1所對應的點的距離為__，數x與-1所對應的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當x≤-1時，②當-1≤x≤1時，③當x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據（2）得到規律，依次進行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數軸上的數x與1所對應的點的距離為，數x與-1所對應的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數的計算，絕對值的性質，數軸上兩點間的距離公式．題型3.多個絕對值的和的最值【解題技巧】最小值規律：①當有兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點在數，的點的中間；②當有三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數的點與數的點重合；③當有（奇數）個絕對值相加：，且，則取中間數，即當時，取得最小值為；④當有（偶數）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當時，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最小；當點在4與2016之間時，到4和2016距離和最小；…，所以當x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據絕對值得幾何意義分析，知當x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：|x-a|表示數軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．變式1．（2022?武侯區校級月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時x的取值為．解：原式可轉化為在數軸上找一個點到1，2，3，…，2014對應的點的距離和最小，故當1007≤x≤1008時，距離和最小，可取x＝1007，則此時距離和為：1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007＝1014049，即原式的最小值為1014049；當x＝1008時，最小值也為1014049，故1007≤x≤1008．例2.（2022·北京市第四十四中學七年級期中）閱讀下面一段文字：在數軸上點A，B分別表示數a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．例如：當a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當a＝2，b＝－5時，＝＝7；當a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發現點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請你根據上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數a和－2的兩點間距離是6，則a＝；（2）如果數軸上表示數a的點位于－4和3之間，則＝（3）代數式的最小值是．（4）如圖，若點A，B，C，D在數軸上表示的有理數分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根據題意可得：，解出即可求解；（2）根據題意可得：，從而得到，進而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根據題意可得：當a＝2時，代數式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據題意可得：原式表示對應點到對應的點的距離之和，從而得到當時，有最小值，即可求解．【詳解】解：（1）根據題意得：，∴或，解得：或-8；（2）∵表示數a的點位于－4和3之間，∴，∴，∴＝a＋4，＝3－a，∴＝a＋4＋3－a＝7；（3）當a＝2時，代數式存在最小值，∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根據題意得：，∴原式表示對應點到對應的點的距離之和，如圖所示，∴當時，有最小值，∴原式．【點睛】本題主要考查了絕對值得幾何意義，數軸上兩點間的距離，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．變式2.（2022?龍泉驛區期中）我們知道，在數軸上，|a|表示數a到原點的距離．進一步地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B兩點之間的距離就表示為|a﹣b|；反過來，|a﹣b|也就表示A，B兩點之間的距離．下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語言：數軸上什么數到﹣5的距離等于2．②圖形語言：③答案：x為﹣7和﹣3．請你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運用數形結合思想：圖一圖二圖三圖四【解答】解：（1）文字語言：數軸上什么數到﹣4的距離等于到2的距離．圖形語言：答案：x＝﹣1．（2）文字語言：數軸上什么數到3的距離比到原點（0）的距離大2．圖形語言：答案：x=12（3）文字語言：數軸上什么數到1的距離和它到3的距離大于4．圖形語言：答案：x＞4，x＜0．（4）文字語言：數軸上什么數到1，2，3，4，5距離之和最小值．圖形語言：答案：6．【點評】本題主要考查了絕對值的性質以及利用數形結合求解問題．課后專項訓練：1．（2022·全國·七年級）若表示數軸上x與a兩數對應的點之間的距離，當x取任意有理數時，代數式的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據|x-a|表示數軸上x與a兩數對應的點之間的距離，可知當x處于2和6中間時，|x-6|+|x-2|取得最小值，即為數軸上2和6之間的距離．【詳解】解：∵|x-a|表示數軸上x與a兩數對應的點之間的距離，∴|x-6|+|x-2|表示數軸上數x與6和數x與2對應的點之間的距離之和，∴當2≤x≤6時，代數式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值為|6-2|=4，故選：B．【點睛】本題考查了數軸上的兩點之間的距離，明確|x-a|表示數軸上x與a兩數對應的點之間的距離是解題的關鍵．2．（2022·湖北·宜昌市第九中學七年級期中）最小值為

______．【答案】5【分析】先分區間確定零點，x+2=0和x-3=0，分三種情況，和分別化去絕對值符號，合并化簡，根據x的范圍確定每個區間中絕對值式子的值的范圍即可確定最小值．【詳解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2與x=3，當時，，∵，∴，當時，，當，，的最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題考查利用絕對值化簡求最小值問題，掌握絕對值化簡得技巧，會根據絕對值的個數分區間化去絕對值符號是解題關鍵．3．（2022·陜西·西安交大陽光中學七年級階段練習）閱讀下列材料:我們知道a的幾何意義是在數軸上數a對應的點與原點的距離.數軸上數a與數0對應點之間的距離，這個結論可以推廣為:|a-b|均表示在數軸上數a與b對應點之間的距離，例:已知|a-1|=2，求a的值.解:在數軸上與1的距離為2點的對應數為3和-1，即a的值為3和-1.仿照閱讀材料的解法，解決下列問題(1)已知，求a的值.(2)若數軸上表示a的點在-4與2之間，則|a+4|+|a-2|的值為___(3)當a滿足什么條件時，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是多少?【答案】(1)；(2)，【分析】(1)根據數軸上數a與數-2之間的距離等于4即可求得答案；(2)根據題意，可知當﹣4≤a≤2時，|a+4|+|a-2|的值為6；(3)根據線段上的點與線段兩端點的距離的和最小，可得到答案.【詳解】(1)，得到或a=2；(2)根據題意，|a+4|表示數軸上表示數a的點與表示數-4的點之間的距離，|a-2|表示數a的點與表示數2的點之間的距離，因為﹣4≤a≤2，畫圖可知∴|a+4|+|a-2|＝6；(3)時，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是【點睛】本題考查了數a的絕對值的意義：數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，利用數形結合是解題的關鍵.4．（2021·貴州六盤水·七年級階段練習）同學們都知道，根據絕對值的幾何意義，|4﹣（﹣2）|表示4與﹣2的差的絕對值，實際上也可理解為4與﹣2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離：同理|x﹣3|也可理解為x與3兩數在數軸上所對應的兩點之問的距離，試探索：（1）|4﹣（﹣2）|＝；（2）找出所有符合條件的整數x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并說明理由．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【答案】（1）6；（2）符合條件的整數x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由見解析【分析】（1）可先算出4與-2的差，然后再求出差的絕對值即可；（2）設-2、4、x在數軸上所對應的點分別為A、B、X，則有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在點A的左邊、X在AB之間、X在點A的右邊三種情況討論，就可解決問題；（3）設3、6、x在數軸上所對應的點分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鑒（2）中的經驗可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，當X在A、B之間時取等號．【詳解】解：（1），故答案為：6；（2）設-2、4、x在數軸上所對應的點分別為A、B、X，則|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．①X在點A的左邊時，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+6=6，∴AX=0與X在點A的左邊矛盾，不符合題意②當X在點A、B之間時，BX+AX=AB=6與AB=6相符，∴此時X表示的整數可以為-2、-1、0、1、2、3、4；∴整數x的值可以為-2、-1、0、1、2、3、4；③X在點B的右邊時，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX=6，∴BX=0，與X在點B的右邊矛盾，不符合題意綜上所述：符合條件的整數x為-2、-1、0、1、2、3、4；（3）對于任何有理數x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3．設3、6、x在數軸上所對應的點分別為A、B、X，則|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．由（2）同理可知，當X在點A的左邊時，BX+AX=AX+AB+AX=2AX+3，當X在點A、B之間時，BX+AX=AB=6，當X在點B的右邊時，BX+AX=AB+BX+BX=6+2BX，∴AX+BX≥AB，∴|x-3|+|x-6|≥3，當X在A、B之間時取等號．∴|x-3|+|x-6|有最小值3．【點睛】本題考查的是絕對值的概念、幾何意義、數軸等知識，在解決問題的過程中用到了分類討論及數形結合的思想，是解決本題的關鍵．5．（2021·北京市平谷區峪口中學七年級期中）同學們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對值，實際上也可理解為5與－2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若成立，則x＝_________．（3）請你寫出的最小值為________．并確定相應的x的取值范圍是______．【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2【分析】（1）根據5與-2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離為7得到答案；（2）根據題意可得方程x-3=±2，再解即可；（3）分情況討論，去絕對值化簡，從而確定x的最小值．【詳解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，故答案為：7；（2）∵|x-3|=2成立，∴x-3=±2，∴x=5或1，故答案為：5或1；（3）當x＜1時，原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；當1≤x≤2時，原式=x-1-x+2=1；當x＞2時，原式=x-1+x-2=2x-3＞1，∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，故答案為：3，1≤x≤2．【點睛】本題主要考查了去絕對值和數軸相聯系的綜合試題以及去絕對值的方法，難度較大，去絕對值的關鍵是確定絕對值里面的數的正負性．6．（2022·山東·濟南七年級期中）唐代文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無”，當代印度詩人泰戈爾也寫道：“世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚”．距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．已知點，在數軸上分別表示有理數，，，兩點之間的距離表示為．例如，在數軸上，有理數3與1對應的兩點之間的距離為；有理數5與對應的兩點之間的距離為；有理數與對應的兩點之間的距離為；…解決問題：（1）數軸上有理數與3對應的兩點之間的距離等于_________；數軸上有理數與對應的兩點之間的距離用含的式子表示為________；若數軸上有理數與1對應的兩點、之間的距離，求的值；聯系拓廣：（2）如圖，點表示的數為4，點表示的數為，為數軸上的動點，動點表示的數為．①若點在點、兩點之間，則______；若，則點表示的數為______；由此可得：當取最小值時，求整數的所有取值的和；②當點到點的距離等于點到點的距離的2倍時，求的值．【答案】（1），，或；（2），或，；（3）或【分析】（1）理解題意，根據距離的概念求解即可；（2）①根據點的位置分情況討論，利用距離求解即可，對進行討論，求出的取值，然后求解即可；②設點表示的數為，根據題意列方程求解即可．【詳解】解：（1）數軸上有理數與3對應的兩點之間的距離為，數軸上有理數與對應的兩點之間的距離用含的式子表示為若數軸上有理數與1對應的兩點、之間的距離，則即或解得或故答案為，，或（2）設點表示數為，則，①若點在點、兩點之間，則，，若，即當時，，解得當時，，解得即點表示數為或當取最小值時，可得在和之間（包含端點），所以又∵為整數∴的取值為整數的所有取值的和為故答案為，或，②由題意可得：，即可得：或解得或故答案為或【點睛】此題考查了數軸的應用，涉及了數軸上的動點，數軸上兩點之間的距離以及絕對值方程，解題的關鍵是掌握數軸的基本知識，理解數軸上兩點之間的距離．7．（2022·重慶市銅梁區關濺初級中學校七年級期末）數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作．數軸上表示數a的點與表示數b的點的距離記作，如表示數軸上表示數3的點與表示數5的點的距離，表示數軸上表示數3的點與表示數－5的點的距離，表示數軸上表示數a的點與表示數3的點的距離．根據以上材料回答下列問題：（將結果直接填寫在答題卡相應位置，不寫過程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關于x的式子的取值范圍是_______．【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3【分析】（1）根據絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義，得到x的取值范圍，進而得到最大值和最小值；（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意義，確定x的取值范圍，進而求出最大值；（4）根據|x-2|+|x+1|的意義，求出|x-2|+|x+1|的最小值為3，從而確定取值范圍．【詳解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示數軸上表示x的點到表示2和-2的距離相等，因此到2和-2距離相等的點表示的數為，|x-3|=|x+1|表示數軸上表示x的點到表示3和-1的距離相等，因此到3和-1距離相等的點表示的數為=1，故答案為：0，1；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義是數軸上表示x的點到表示3和-1兩點的距離之和為4，可得-1≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為-1；故答案為：-1，3；（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意義是數軸上表示數x的點與表示數3的點距離比它到表示-1的點的距離大4，根據數軸直觀可得，x≤-1，即x的最大值為-1，故答案為：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意義是數軸上表示x的點到表示2和-1兩點的距離之和，由數軸直觀可得，|x-2|+|x+1|最小值為3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案為：大于或等于3．【點睛】本題考查數軸表示數的意義，理解絕對值的意義和兩點距離的計算方法是正確解答的關鍵．8．（2022·云南·昆明七年級期中）閱讀下面材料并解決有關問題，我們知道：，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式時，可令和，分別求得，，稱，分別為與的零點值在有理數范圍內，零點值，，可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下種情況：①；②；③從而化簡代數式時可分以下種情況：①當時，原式；②當時，原式；③當時，原式；綜上所述：原式，通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）當時，______．（2）化簡代數式：（3）直接寫出的最大值______．【答案】（1）；（2）原式；（3）【分析】（1）根據絕對值的意義可得結論；（2）零點值x=2和x=4可將全體實數分為不重復不遺漏的如下三種情況：、、分該三種情況找出的值；（3）分、、分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而求出代數式的最大值．【詳解】解：（1）當時，．故答案為：（2）化簡代數式：分為以下三種情況討論：當時，原式；當時，原式；當時，原式；綜上所述：原式（3）的最大值：當時，原式，當時，原式，，當時，原式，則的最大值為．【點睛】本題考查了含絕對值的代數式化簡問題，注意讀懂題目的解答，以及分類思想的運用．9．（2022·全國·七年級）閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示數a、b．A、B兩點之間的距離表示為|AB|．則數軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是；數軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是；（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，符合條件的整數x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，問當x取何值時，y最小，最小值為多少？請求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2時，y最小，最小值為4【分析】（1）根據兩點間的距離的求解列式計算即可得解；（2）根據兩點之間的距離表示列式并計算即可；（3）根據數軸上兩點間的距離的意義解答；（4）根據數軸上兩點間的距離的意義解答．【詳解】解：（1）數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是：；數軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是：；（2）∵A，B分別表示的數為x，﹣1，∴數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，則|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，﹣1≤x≤2，∴符合條件的整數x有﹣1，0，1，2；（4）當|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值時，x＝2，∴當x＝2時，y最小，即最小值為：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2時，y最小，最小值為4．【點睛】本題考查數軸與絕對值，熟練掌握數軸上兩點之間距離的計算方法是解題的關鍵．10．（2021·福建·泉州七中七年級期中）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”．數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．例如，式子的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與-1所對應的點之間的距離．結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）若，則；的最小值是．（2）若，則的值為；若，則的值為．（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接寫出這個最小值及此時的取值情況；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值為17，此時【分析】（1）對于直接根據絕對值的性質進行求解即可；設A點表示的數為-2，B點表示的數為3，P點表示的數為x，則表示的意義即為數軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，然后分別討論P在AB之間，P在A點左側和P在B點右側的取值即可得到答案；（2）設A點表示的數為-2，B點表示的數為3，P點表示的數為x，由（1）可知當P在AB之間（包含A、B）時，，當P在A點左側時，當P在B點右側時，由此可以確定此時P點在A點左側或在B點右側，由此進行求解即可；分當時，當時，當時，當時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案；（3）分當時，當時，當時，當時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴或；設A點表示的數為-2，B點表示的數為3，P點表示的數為x，∴表示的意義即為數軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，如圖所示，當P在AB之間（包含A、B）時，；當P在A點左側時；同理當P在B點右側時；∴的最小值為5，故答案為：5或-1；5；（2）設A點表示的數為-2，B點表示的數為3，P點表示的數為x，由（1）可知當當P在AB之間（包含A、B）時，，當P在A點左側時，當P在B點右側時∵，∴當P在A點左側時即，∴；同理當P在B點右側時即，∴；∴當時，或4；當時，∵，∴，解得符合題意；當時，∵，∴，解得符合題意；當時∵，∴，解得不符合題意；當時∵，∴，解得不符合題意；∴綜上所述，當，或；故答案為：或4；或；（3）當時，∴，當時，∴，當時∴，當時∴，∴此時∴綜上所述，的最小值為17，此時．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，絕對值方程，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵在于能夠熟練掌握絕對值的幾何意義．11．（2021·廣東·西關外國語學校七年級期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是________，表示和2兩點之間的距離是________．（2）一般地，數軸上表示數和數的兩點之間的距離等于．如果表示數和的兩點之間的距離是3，那么________．（3）若數軸上表示數的點位于與2之間，則的值為________；（4）利用數軸找出所有符合條件的整數點x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，這些點表示的數的和是．（5）當________時，的值最小，最小值是________．【答案】（1）3，5；（2）2或-4；（3）6；（4）12；（5）1；7【分析】（1）根據數軸上兩點之間的距離等于兩點所表示數的絕對值進行解答即可；（2）根據數軸上兩點之間的距離等于兩點所表示數的絕對值得到，解得即可；（3）先根據表示數的點位于與2之間可知，再根據絕對值的性質把原式去掉絕對值符號求出a的值即可；（4）根據線段上的點到線段兩端點的距離的和最小，可得答案．（5）根據分類討論的數學思想可以解答本題．【詳解】解：（1）由數軸上兩點之間的距離公式可知：數軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示和2兩點之間的距離是；故答案為：3，5；（2）若表示數和的兩點之間的距離是3，則，解得或，故答案為：2或；（3）∵，∴；故答案為：6；（4）當時，，當時，，當時，，∴使得的所有整數為：，，0，1，2，3，4，5，∵，故答案為：12；（5）當時，，當時，，則，當時，，則，當時，，由上可得，當時，的值最小，最小值是7，故答案為：1，7．【點睛】本題考查數軸、絕對值等知識點，明確題意，利用數軸的特點和分類討論的數學思想解答是解答本題的關鍵．12．（2022?綿陽市校級月考）認真閱讀下面的材料，完成有關問題．材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數軸上對應的兩點之間的距離：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在數軸上對應的兩點之間的距離，一般地，點A、點B在數軸上分別表示有理數a、b，那么點A、點B之間的距離可表示為|a﹣b|．（1）點A、B、C在數軸上分別表示有理數x、﹣2、1，那么點A到點B的距離與點A到點C的距離之和可表示為（用含絕對值的式子表示）；（2）利用數軸探究：①找出滿足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②設|x﹣3|+|x+1|＝p，當x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時，P的值是不變的，此時P取最小值是；|x|+|x﹣2|最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值為，此時x的值為．解：（1）點A到點B的距離：|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；點A到點C的距離：|x﹣1|；∴距離之和為：|x+2|+|x﹣1|；故答案為：|x+2|+|x﹣1|．（2）①|x﹣3|+|x+1|＝6表示x到3和到﹣1的距離之和為6；∵3和﹣1之間的距離為4，故x一定不在3和﹣1之間，∴當x＜﹣1時，x﹣3＜0，x+1＜0，∴|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+[﹣（x+1）]＝﹣2x+2，∴﹣2x+2＝6，解得x＝﹣2，當x＞3時，x﹣3＞0，x+1＞0，∴|x﹣3|+|x+1|＝（x﹣3）+（x+1）＝2x﹣2，∴2x﹣2＝6，解得x＝4，綜上所述，x＝﹣2或4．故答案為：﹣2或4．②|x﹣3|+|x+1|＝p，當﹣1≤x≤3時，∴x﹣3＜0，x+1＞0，|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+（x+1）＝4，∴p取最小值為4，即3到﹣1之間的距離．故答案為：4．∵|x|+|x﹣2|＝|x﹣0|+|x﹣2|，∴|x|+|x﹣2|的最小值即0到2之間的距離．故答案為：2．（3）由前面規律可知，當|x﹣3|+|x+1|取最小值時，x在3和﹣1之間；∴當x＝2時，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|有最小值，即最小值為4，此時x＝2．故答案為：4，2．13．（2022·河南南陽·七年級期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（

）A．10 B．11 C．17 D．21【答案】C【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意義，得出當-1≤x≤3時，這個距離之和最小，再根據數軸表示數的特點進行計算即可．【詳解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示數軸上表示數x的點，到表示數﹣8，﹣1，3，5的點的距離之和，由數軸表示數的意義可知，當﹣1≤x≤3時，這個距離之和最小，最小值為|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故選：C．【點睛】本題考查絕對值，理解絕對值的定義，掌握數軸上兩點距離的計算方法是解決問題的關鍵．14．（2022·全國·七年級課時練習）利用數軸解決下面的問題：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是；（3）當式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時，相應的x的取值范圍或值是，最小值是．【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距離之和與到2的距離之和最小，那么x應在﹣1和2之間的線段上；（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x為中間點時有最小值，依此即可求解；（3）找到中間點即可求得最小值．【詳解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；（3）當式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時，相應的x的取值范圍或值是：=1010，最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．故答案為：3；2；1010，1019090．【點睛】本題考查了數軸，涉及的知識點為：數軸上兩點間的距離=兩個數之差的絕對值．絕對值是正數的數有2個．找到中間點即可求得最小值．15．（2021·福建省仙游縣楓亭職業學校七年級期中）閱讀理解；我們知道，若A、B在數軸上分別表示有理數、，A、B兩點間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數軸上表示X的點與表示2的點之間的距離．根據上述材料，解答下列問題：（1）若點A表示－2，點B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數軸上表示數的點位于－4和2之間，求的值；（4）點取何值時，取最小值，最小值是多少？請說明理由；（5）直接回答：當式子取最小值時，相應的取值范圍是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）當時，最小值為；（5）當時，最小值為【分析】（1）根據題目中的方法確定出的長即可；（2）原式利用絕對值的代數意義化簡即可求出的值；（3）根據數軸上兩點間的距離的求法，化簡即可；（4）根據線段中點到各點的距離的和最小，可得答案；（5）根據線段中點到各點的距離的和最小，可得答案．【詳解】解：（1），則；（2）∵，∴，故或，故答案為：或；（3）∵數軸上表示數的點位于－4和2之間，∴；（4）∵，代表點到和到之間的距離之和，當時，取得最小值，最小值為；（5）當時，有最小值，最小值為====20．【點睛】本題考查了絕對值，數軸兩點間的距離，利用了兩點間的距離公式，注意線段上的點與線段兩端點的距離的和最?。?6．（2022·四川·安岳縣李家初級中學七年級階段練習）我們知道，|a|表示數a到原點的距離，這是絕對值的幾何義．進一步地，數軸上兩個點A、B，分別用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，為什么？)，利用此結論，回答以下問題：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是______，數軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是_____，數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是_______；（2）數軸上表示x和－1的兩點A、B之間的距離是_______，如果|AB|=2，那么x的值為_______；（3）當x取何值時，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出這個最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值為6【分析】（1）根據兩點間的距離的求法列式計算即可得解；（2）根據絕對值的幾何意義列式計算即可得解；（3）根據數軸上兩點間的距離公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意義，從而分析出x=3時，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【詳解】解：（1）表示2和5的兩點之間的距離是|2-5|=3，表示-2和-5的兩點之間的距離是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的兩點之間的距離是|1-（-3）|=4；（2）表示x和-1的兩點A、B之間的距離是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到數軸上1，2，3，4，5五個數的距離之和，∴當x與3重合時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值為6，此時x=3．【點睛】本題主要考查了數軸以及數軸上兩點間的距離公式的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值．解題時注意：數軸上任意兩點分別表示的數是a、b，則這兩點間的距離可表示為|a-b|．17．（2022·全國·七年級期中）唐代著名文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無．”當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：“世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓；而是尚未相遇，便注定無法相聚．”距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度．已知P、Q在數軸上分別表示有理數p、q，P、Q兩點的距離表示為．閱讀上述材料，回答下列問題：（1）若數軸上表示x與3的兩點之間的距離是4，則___________．（2）當x的取值范圍是多少時，代數式有最小值，最小值是多少？（3）若未知數x，y滿足，求代數式的最大值，最小值分別是多少？【答案】（1）或7；（2），5；（3）最大8，最小值1【分析】（1）由距離的表示方法得出，求解即可；（2）根據若代數式有最小值，表示在數軸上找一點x，使其到與3的距離之和最小，據此求解；（3）由（2）分別求出與有最小值時x，y的取值范圍，進而求解．【詳解】解：（1）由題意知，，解得或，故答案為：或7；（2）若代數式有最小值，表示在數軸上找一點x，使其到與3的距離之和最小，顯然這個點x在與3之間（包括與3），所以x的取值范圍是，且最小值為5，故答案為：，5；（3）∵，由（2）知的最小值為2，其有最小值的取值范圍為，的最小值為3，其有最小值的取值范圍為，∴的最大值為，最小值為，即的最大值為8，最小值為1．【點睛】本題考查數軸，絕對值的幾何意義，利用數形結合思想，理解絕對值的幾何意義是解題的關鍵．專題2.絕對值化簡問題絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重點題型，考卷中會經常出現它的身影，且易錯，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負；兩數相減：大的數-小的數＞0，轉化到數軸上：右-左＞0；小的數-大的數＜0，轉化到數軸上：左-右＜0.兩數相加：正數＋正數＞0，轉化到數軸上：原點右側兩數相加＞0；負數＋負數＜，轉化到數軸上：原點左側兩數相加＜0；正數＋負數：取絕對值較大數的符號，轉化到數軸上：原點兩側兩數相加，取離原點遠的符號.②將絕對值符號改為小括號：若正數，絕對值前的正負號不變（即本身）；若負數，絕對值前的正負號改變（即相反數）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內不變；括號前是“－”，去括號，括號內各項要變號.④化簡.例1.（2022·湖南長沙·七年級期末）有理數a、b、c在數軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據數軸，確定每個數的屬性，每個代數式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據數軸上點的位置得：，且，則，，，則．故選A．【點睛】本題考查數軸和有理數的大小比較與絕對值的化簡，掌握獲取數軸信息，熟練化簡是解題的關鍵．變式2.（2022·河南周口·七年級期末）有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【分析】先根據數軸求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉絕對值，然后根據分式的性質計算即可．【詳解】解：根據數軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．【點睛】本題考查了代數式的化簡、數軸和去絕對值的計算，解題的關鍵是注意去掉絕對值后，要保證得數是非負數．例2.（2021·長郡集團郡維學校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定【答案】C【解析】，所以，，中有一個正數，二個負數．不妨設，，，則．故選．點睛：本題考查有理數的除法，利用得出a、b、c有一個正數，二個負數是解題關鍵．變式2．（2022·內蒙古赤峰·七年級期中）、、是有理數且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1【答案】D【分析】根據，則這三個數中一定有一個或三個數為負數兩種情況進行討論，得出結果即可．【詳解】∵，∴ｘ、y、z這三個數中有一個或三個數為負數，當這三個數中有一個負數時，假設，，，則；當這三個數中有三個負數時，假設，，，則；故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，正確進行分類討論是解題的關鍵．題型2.未知范圍的絕對值化簡【解題技巧】絕對值的性質：①正數的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負數的絕對值是它的相反數，即；④絕對值具有非負性，即。例1.（2022?新都區校級月考）已知x為有理數，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．解：|x﹣3|＝2x+3，∴2x+3≥0，∴x≥﹣∴x﹣3＝2x+3或x﹣3＝﹣（2x+3）∴x﹣2x＝3+3或x﹣3＝﹣2x﹣3﹣∴x＝6或x+2x＝﹣3+3∴x＝﹣6（舍去）；或3x＝0∴x＝0．變式1．（2022·河北·七年級期中）若a、b、c是有理數，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號，b，c同號，求a﹣b﹣（﹣c）的值．解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，∴a＝±3，b＝±10，c＝±5，∵a，b異號，b，c同號，∴a＝3，b＝﹣10，c＝﹣5或a＝﹣3，b＝10，c＝5，∴a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝8或﹣8．變式2．（2021·江蘇·九年級）已知，求．【答案】1-x【分析】根據絕對值的性質，要化簡絕對值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三種情況進行分析．【詳解】解：①當x≤0時，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，滿足題意；②當0＜x＜1時，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不滿足題意；③當x≥1時，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不滿足題意．綜上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．【點睛】本題考查了絕對值的性質，注意要分情況討論，再去絕對值化簡．例2.（2022·福建福州·七年級期末）閱讀材料：我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據絕對值的意義進一步解決問題．解：根據絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0【分析】先去絕對值轉化成一元一次方程求解．(1)解：根據絕對值的意義得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=；(2)由絕對值的意義得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【點睛】本題考查含絕對值的一元一次方程的解法，理解絕對值的意義是求解本題的關鍵．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級期末）閱讀下列材料，回答問題：“數形結合”的思想是數學中一種重要的思想．例如：在我們學習數軸的時候，數軸上任意兩點，A表示的數為a，B表示的數為b，則A，B兩點的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識應用】我們解方程時，可用把看作一個點x到5的距離，則該方程可看作在數軸上找一點P（P表示的數為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識拓展】我們在解方，可以設A表示數5，B表示數，P表示數x，該方程可以看作在數軸上找一點P使得，因為，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應用】解方程【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或【分析】（1）將方程的解看作在數軸上找一點P與的距離為2，進而可得方程的解；（2）類比題干中的求解方法，進行求解即可；（3）由題意知，設P點表示的數為x，分類討論：①若P點在A，B之間，表示出的值，然后列方程求解；②若P點在A點的左邊，表示出的值，然后列方程求解；③若點P在B點的右邊，表示出的值，然后列方程求解．(1)解：方程的解，可以看作在數軸上找一點P與的距離為2∴或故答案為：或．(2)解：由題意知，設A表示數，B表示數6，P表示數x，∴該方程可以看作在數軸上找一點P使得，∵，∴P在線段AB上都可，∴該方程有無數解，x的取值范圍是故答案為：不唯一；．(3)解：由題意知，設P點表示的數為x，分類討論：①若P點在A，B之間則（不合題意，舍去）②若P點在A點的左邊則∴③若點P在B點的右邊∴綜上所述：原方程的解為或．【點睛】本題考查了絕對值的意義，數軸上點的距離．解題的關鍵在于明確絕對值的意義．課后專項訓練：1．（2022?肇源縣期末）當2≤x＜5時，化簡：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2．∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．∴|2x﹣10|＝10﹣2x．∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x．2．（2022·陜西寶雞·七年級期末）已知、兩數在數軸上的位置如圖所示，則化簡代數式的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數軸可知b<-1<1<a<2，且，得到a+b>0，b+1<0，化簡絕對值再合并即可．【詳解】解：由數軸可知，b<-1<1<a<2，且，∴a+b>0，b+1<0，∴=a+b-b-1=a-1，故選：A．【點睛】此題考查了利用數軸比較數的大小，判斷式子的正負，化簡絕對值，正確理解數軸上數的大小關系是解題的關鍵．3．（2021·河南周口·七年級期中）是有理數，它在數軸上的對應點的位置如圖所示．則________．【答案】14【分析】由數軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，再去掉絕對值，可解．【詳解】由數軸可知-6<x<0，則x-7<0，x+7>0，∴|x-7|+|x+7|=7-x+x+7=14故答案為14．【點睛】此題綜合考查了數軸、絕對值的有關內容，在去掉絕對值的時候，要特別細心．4．（2022·四川廣元·七年級期末）已知有理數，則化簡的結果是_______．【答案】【分析】先根據已知條件判斷每個絕對值里邊的代數式的值是大于0還是小于0，再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，最后去括號，合并同類項即可．【詳解】∵a<-1，∴a+1<0，1-a>0，∴=(-a-1)+(1-a)=-a-1+1-a=-2a，故答案為：-2a．【點睛】本題考查了絕對值和相反數的性質，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0，掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2022·四川眉山·七年級期末）已知，有理數a，b，c在數軸上的對應點的位置如下圖所示，化簡：．【答案】-2b【分析】根據有理數a，b，c在數軸上的對應點的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，即可得c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，再根據絕對值的性質進行計算即可得出答案．【詳解】解：由圖可知，∵3＜a＜4，0＜b＜1，?2＜c＜?1，∴c＋b＜0，a?c＞0，b?a＜0，∴|c＋b|?|a?c|＋|b?a|＝?（c＋b）?（a?c）＋[?（b?a）]＝?c?b?a＋c?b＋a＝?2b．【點睛】本題主要考查數軸的應用及絕對值的性質，熟練掌握數軸的應用及絕對值的性質進行計算是解決本題的關鍵．6．（2022·云南昭通·七年級期末）閱讀下面一段文字：在數軸上A，B兩點之間的距離可以用符號表示，可以利用有理數減法和絕對值計算A，B兩點之間的距離．若點A，B分別用數a，b表示，則當，時，；當，時，；當，時，．發現點A，B之間的距離（也可以表示為）．請你根據上述材料，探究回答下列問題：(1)數軸上表示和7兩點之間的距離是______；(2)如果數軸上表示a和1兩點間的距離是7，那么______；(3)如果數軸上表示的數a的取值范圍為，求的值．【答案】(1)9(2)或8(3)【分析】（1）根據數軸，求出兩個數的差的絕對值即可；（2）由題意得出方程，即可得出答案；（3）先去掉絕對值號，然后進行計算即可得解.(1)解：根據題意，；故答案為：9；(2)解：由題意得：，解得：或；故答案為：或8；(3)解：∵，∴，，∴.【點睛】本題考查了絕對值，數軸，讀懂題目信息，理解數軸上兩個數之間的距離的表示方法是解題的關鍵．7．（2021·山東·夏津縣萬隆實驗中學七年級階段練習）數軸上從左到右的三個點A，B，C所對應的數分別為．其中AB=2020，BC=1000，如圖所示．（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數，并計算的值．

（2）若原點O在A，B兩點之間，求的值．

（3）若O是原點，且OB=20，求的值．【答案】（1）?1020；（2）3020；（3）?3000或?3040【分析】（1）數軸上原點左側的數為負數，原點右側的數為正數，可表示出A、C所對應的數；（2）原點O在A，B兩點之間，|a|＋|b|＝AB，|b?c|＝BC，進而求出結果；（3）若原點O在點B的左邊；若原點O在點B的左邊；分兩種情況討論可求a＋b?c的值．【詳解】解：（1）∵點B為原點，AB＝2020，BC＝1000，∴點A表示的數為a＝?2020，點C表示的數是c＝1000，∴a＋b＋c＝?2020＋0＋1000＝?1020；（2）∵原點在A，B兩點之間，∴|a|＋|b|＋|b?c|＝AB＋BC＝2020＋1000＝3020．答：|a|＋|b|＋|b?c|的值為3020；（3）若原點O在點B的左邊，則點

A，B，C所對應數分別是a＝?2000，b＝20，c＝1020，則a＋b?c＝?2000＋17?1017＝?3000；若原點O在點B的右邊，則點A，B，C所對應數分別是a＝?2040，b＝?20，c＝980，則a＋b?c＝?2040?20?980＝?3040，∴的值為：?3000或?3040．【點睛】本題考查了數軸與絕對值的意義，理解絕對值的意義是解決問題的前提，用數軸表示則更容易解決問題．8．（2022·重慶一中七年級期中）有理數a，b，c在數軸上表示的點如圖所示，則化簡______．【答案】4a-b【分析】根據數軸可以判斷a、b、c的正負和它們的絕對值的大小，從而可以化簡題目中的式子．【詳解】解：由數軸可得，a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|＝b+c﹣2（