5實驗：用單擺測量重力加速度[學習目標]1.進一步理解單擺做簡諧運動的條件和單擺周期公式中各物理量的意義。2.學會利用單擺的周期公式測量重力加速度。3.能正確熟練地使用游標卡尺和停表。一、實驗思路1．實驗原理單擺在擺角較小時，單擺做簡諧運動，根據其周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推導得g＝eq\f(4π2l,T2)。據此，通過實驗測出擺長l和周期T，可計算得到當地的重力加速度值。2．物理量的測量擺長l：擺長等于擺線長度和小球半徑之和。可用刻度尺直接測量小球球心與懸點之間的距離作為擺長的測量值，也可用游標卡尺測量小球的直徑，算出它的半徑，再測量懸點與小球上端之間的距離，以兩者之和作為擺長的測量值。周期T：用停表測量單擺做多次全振動(例如幾十次)的時間，然后通過計算求出它的周期的測量值。二、實驗裝置實驗裝置如圖所示實驗器材鐵架臺及鐵夾、金屬小球(有孔)、停表、細線(1m左右)、刻度尺、游標卡尺。三、進行實驗1．讓細線穿過小球上的小孔，在細線的穿出端打一個比孔徑稍大一些的線結，制成一個單擺。2．將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，把單擺上端固定在鐵夾上，使擺線自由下垂。在單擺平衡位置處做上標記。3．用刻度尺量出懸線長l′(準確到mm)，用游標卡尺測出擺球的直徑d，則擺長為l＝____________。4．把單擺拉開一個角度，角度小于5°，釋放擺球。擺球經過最低位置(平衡位置)時，用停表開始計時，測出單擺完成30次(或50次)全振動的時間，求出一次全振動的時間，即為單擺的振動周期。5．改變擺長，反復測量幾次，將數據填入表格。四、數據分析1．公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g的值，最后求出g的平均值。設計如表所示實驗表格實驗次數擺長l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232.圖像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝__________________，以T2為縱軸，以l為橫軸作出T2－l圖像(如圖所示)。其斜率k＝______________，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。五、誤差分析由周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推導得g＝eq\f(4π2l,T2)，擺長、周期的測量不準確會導致誤差。1．測量擺長時引起的誤差(1)擺長測量值偏小，則g的測量值偏小。如在未懸掛擺球前測量了擺長；僅測量了擺線長漏加擺球半徑等；(2)擺長測量值偏大，則g的測量值偏大。如測量擺長時擺線拉得過緊或以擺線長和小球的直徑之和作為擺長(多加了半徑)。懸點未固定好，擺球擺動過程中出現松動，使實際的擺長變長等。2．測量周期時引起的誤差(1)周期測量值偏大，則g的測量值偏小。如把(n＋1)次全振動的時間誤當成n次全振動的時間；開始計時時停表過早按下或停止計時時停表過遲按下等。(2)周期測量值偏小，則g的測量值偏大。如把(n－1)次全振動的時間誤當成n次全振動的時間；開始計時時，停表過遲按下或停止計時時停表過早按下等。(3)計量單擺的全振動次數時，不從擺球通過最低點(平衡位置)時開始計時，容易產生較大的計時誤差。六、注意事項1．選擇細而不易伸長的線，長度一般不應短于1m；擺球應選用密度較大、直徑較小的金屬球。2．擺動時擺線偏離豎直方向的角度應很小。3．擺球擺動時，要使之保持在同一豎直平面內，不要形成圓錐擺。4．計算單擺的全振動次數時，應從擺球通過最低位置(平衡位置)時開始計時，要測n次全振動的時間t。例1(2022·江蘇鹽城市高二期末)用單擺測量重力加速度的實驗裝置如圖甲所示：(1)組裝單擺時，應在下列器材中選用______(選填選項前的字母)。A．長度為1m左右的細線B．長度為10cm左右的橡皮繩C．直徑為1.5cm左右的塑料球D．直徑為1.5cm左右的鐵球(2)選擇好器材，將符合實驗要求的單擺掛在鐵架臺上，應采用圖________(選填“乙”或“丙”)所示的固定方式。(3)下列測量單擺振動周期的方法正確的是________。A．把擺球從平衡位置拉開到某一位置，然后由靜止釋放擺球，在釋放擺球的同時啟動停表開始計時，當擺球再次回到原來位置時，按停停表停止計時B．以單擺在最大位移處為計時基準位置，用停表測出擺球第n次回到基準位置的時間t，則T＝eq\f(t,n)C．以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每經過最低位置，記數一次，用停表記錄擺球n次經過最低位置的時間t，則T＝eq\f(t,n－1)D．以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每從同一方向經過擺球的最低位置記數一次，用停表記錄擺球從同一方向n次經過擺球的最低位置時的時間t，則T＝eq\f(t,n－1)例2(2023·江西省豐城九中高二期末)在“用單擺測量重力加速度”的實驗中。(1)某同學先用米尺測得擺線長為97.43cm，用游標卡尺測得擺球直徑如圖甲所示為_____cm，則單擺的擺長為_______cm；然后用停表記錄了單擺振動50次所用的時間如圖乙所示為__________s，則單擺的周期為__________s；當地的重力加速度為g＝__________m/s2；(2)實驗中，如果擺球密度不均勻，無法確定重心位置，一位同學設計了一個巧妙的方法不計擺球的半徑，具體做法如下：第一次量得懸線長L1，測得振動周期為T1；第二次量得懸線長L2，測得振動周期為T2，由此可推得重力加速度為g＝________。例3在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，由單擺做簡諧運動的周期公式得到g＝eq\f(4π2l,T2)，只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2－l圖像，就可以求出當地的重力加速度。理論上T2－l圖線是一條過坐標原點的直線，某同學根據實驗數據作出的圖像如圖所示：(1)造成圖線不過坐標原點的原因可能是____________________________________________________________________________________________________________________________。(2)由圖像求出的重力加速度g＝______m/s2(取π2＝9.87)。(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是______________________________________________。A．測擺長時擺線拉得過緊B．擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了C．開始計時時，停表過遲按下D．實驗時誤將49次全振動記為50次針對訓練某實驗小組在利用擺長約為1m的單擺測量當地重力加速度的實驗中：(1)周期測量環節中進行了下列振動圖像所描述的四種操作過程，圖中橫坐標原點表示計時開始，A、B、C、D均為30次全振動圖像，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.259，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________。(2)改變擺長，利用測出的多組周期T、擺長L數據，作出T2－L圖像，可以更準確地求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2－L圖線如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當地重力加速度的值。則相對于圖線b，出現圖線a的原因可能是擺長L的測量值________(填“偏大”或“偏小”)，出現圖線c的原因可能是周期T的測量值________(填“偏大”或“偏小”)。5實驗：用單擺測量重力加速度[學習目標]1.進一步理解單擺做簡諧運動的條件和單擺周期公式中各物理量的意義。2.學會利用單擺的周期公式測量重力加速度。3.能正確熟練地使用游標卡尺和停表。一、實驗思路1．實驗原理單擺在擺角較小時，單擺做簡諧運動，根據其周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推導得g＝eq\f(4π2l,T2)。據此，通過實驗測出擺長l和周期T，可計算得到當地的重力加速度值。2．物理量的測量擺長l：擺長等于擺線長度和小球半徑之和。可用刻度尺直接測量小球球心與懸點之間的距離作為擺長的測量值，也可用游標卡尺測量小球的直徑，算出它的半徑，再測量懸點與小球上端之間的距離，以兩者之和作為擺長的測量值。周期T：用停表測量單擺做多次全振動(例如幾十次)的時間，然后通過計算求出它的周期的測量值。二、實驗裝置實驗裝置如圖所示實驗器材鐵架臺及鐵夾、金屬小球(有孔)、停表、細線(1m左右)、刻度尺、游標卡尺。三、進行實驗1．讓細線穿過小球上的小孔，在細線的穿出端打一個比孔徑稍大一些的線結，制成一個單擺。2．將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，把單擺上端固定在鐵夾上，使擺線自由下垂。在單擺平衡位置處做上標記。3．用刻度尺量出懸線長l′(準確到mm)，用游標卡尺測出擺球的直徑d，則擺長為l＝l′＋eq\f(d,2)。4．把單擺拉開一個角度，角度小于5°，釋放擺球。擺球經過最低位置(平衡位置)時，用停表開始計時，測出單擺完成30次(或50次)全振動的時間，求出一次全振動的時間，即為單擺的振動周期。5．改變擺長，反復測量幾次，將數據填入表格。四、數據分析1．公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g的值，最后求出g的平均值。設計如表所示實驗表格實驗次數擺長l/m周期T/s重力加速度g/(m·s－2)重力加速度g的平均值/(m·s－2)1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)232.圖像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，以T2為縱軸，以l為橫軸作出T2－l圖像(如圖所示)。其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。五、誤差分析由周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可推導得g＝eq\f(4π2l,T2)，擺長、周期的測量不準確會導致誤差。1．測量擺長時引起的誤差(1)擺長測量值偏小，則g的測量值偏小。如在未懸掛擺球前測量了擺長；僅測量了擺線長漏加擺球半徑等；(2)擺長測量值偏大，則g的測量值偏大。如測量擺長時擺線拉得過緊或以擺線長和小球的直徑之和作為擺長(多加了半徑)。懸點未固定好，擺球擺動過程中出現松動，使實際的擺長變長等。2．測量周期時引起的誤差(1)周期測量值偏大，則g的測量值偏小。如把(n＋1)次全振動的時間誤當成n次全振動的時間；開始計時時停表過早按下或停止計時時停表過遲按下等。(2)周期測量值偏小，則g的測量值偏大。如把(n－1)次全振動的時間誤當成n次全振動的時間；開始計時時，停表過遲按下或停止計時時停表過早按下等。(3)計量單擺的全振動次數時，不從擺球通過最低點(平衡位置)時開始計時，容易產生較大的計時誤差。六、注意事項1．選擇細而不易伸長的線，長度一般不應短于1m；擺球應選用密度較大、直徑較小的金屬球。2．擺動時擺線偏離豎直方向的角度應很小。3．擺球擺動時，要使之保持在同一豎直平面內，不要形成圓錐擺。4．計算單擺的全振動次數時，應從擺球通過最低位置(平衡位置)時開始計時，要測n次全振動的時間t。例1(2022·江蘇鹽城市高二期末)用單擺測量重力加速度的實驗裝置如圖甲所示：(1)組裝單擺時，應在下列器材中選用________(選填選項前的字母)。A．長度為1m左右的細線B．長度為10cm左右的橡皮繩C．直徑為1.5cm左右的塑料球D．直徑為1.5cm左右的鐵球(2)選擇好器材，將符合實驗要求的單擺掛在鐵架臺上，應采用圖________(選填“乙”或“丙”)所示的固定方式。(3)下列測量單擺振動周期的方法正確的是________。A．把擺球從平衡位置拉開到某一位置，然后由靜止釋放擺球，在釋放擺球的同時啟動停表開始計時，當擺球再次回到原來位置時，按停停表停止計時B．以單擺在最大位移處為計時基準位置，用停表測出擺球第n次回到基準位置的時間t，則T＝eq\f(t,n)C．以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每經過最低位置，記數一次，用停表記錄擺球n次經過最低位置的時間t，則T＝eq\f(t,n－1)D．以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每從同一方向經過擺球的最低位置記數一次，用停表記錄擺球從同一方向n次經過擺球的最低位置時的時間t，則T＝eq\f(t,n－1)答案(1)AD(2)丙(3)D解析(1)為減小實驗誤差，應選擇1m左右的細線；為減小空氣阻力影響，擺球應選密度大而體積小的鐵球，因此需要的實驗器材是A、D；(2)要保持懸點固定，應采用題圖丙固定方式，題圖乙的固定方式在擺動過程中擺長會發生變化從而帶來系統誤差；(3)擺角應小于5°，在測量周期時，應在擺球經過最低點開始計時，測量多次全振動的周期，可以減小誤差，故A、B錯誤；以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每經過最低位置，記數一次，用停表記錄擺球n次經過最低位置的時間t，則擺球兩次經過最低點的時間間隔是半個周期，所以擺球通過最低點作為第1次開始計時到一直數到擺球第n次通過最低點，擺球經過了(n－1)個半個周期，所以單擺的周期T＝eq\f(2t,n－1)，故C錯誤；以擺球在最低位置處為計時基準位置，擺球每從同一方向經過擺球的最低位置記數一次，用停表記錄擺球從同一方向n次經過擺球的最低位置時的時間t，則擺球相鄰兩次同一方向經過最低點的時間即為一個周期，則有T＝eq\f(t,n－1)，故D正確。例2(2023·江西省豐城九中高二期末)在“用單擺測量重力加速度”的實驗中。(1)某同學先用米尺測得擺線長為97.43cm，用游標卡尺測得擺球直徑如圖甲所示為________cm，則單擺的擺長為________cm；然后用停表記錄了單擺振動50次所用的時間如圖乙所示為________s，則單擺的周期為________s；當地的重力加速度為g＝________m/s2；(2)實驗中，如果擺球密度不均勻，無法確定重心位置，一位同學設計了一個巧妙的方法不計擺球的半徑，具體做法如下：第一次量得懸線長L1，測得振動周期為T1；第二次量得懸線長L2，測得振動周期為T2，由此可推得重力加速度為g＝________。答案(1)2.12598.4999.82.09.71(2)eq\f(4π2L1－L2,T12－T22)解析(1)游標卡尺的讀數為主尺讀數＋游標尺讀數，故擺球直徑為21mm＋5×0.05mm＝21.25mm＝2.125cm單擺的擺長為L＝l＋eq\f(d,2)＝97.43cm＋eq\f(2.125,2)cm≈98.49cm秒表的讀數為t＝90s＋9.8s＝99.8s單擺的周期為T＝eq\f(t,N)＝eq\f(99.8,50)s≈2.0s根據單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))解得g＝eq\f(4π2L,T2)≈9.71m/s2(2)由題可知T1＝2πeq\r(\f(L1＋r,g))T2＝2πeq\r(\f(L2＋r,g))聯立以上兩式可解得g＝eq\f(4π2L1－L2,T12－T22)。例3在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，由單擺做簡諧運動的周期公式得到g＝eq\f(4π2l,T2)，只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2－l圖像，就可以求出當地的重力加速度。理論上T2－l圖線是一條過坐標原點的直線，某同學根據實驗數據作出的圖像如圖所示：(1)造成圖線不過坐標原點的原因可能是____________________________________________________________________________________________________________________________。(2)由圖像求出的重力加速度g＝________m/s2(取π2＝9.87)。(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是______。A．測擺長時擺線拉得過緊B．擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了C．開始計時時，停表過遲按下D．實驗時誤將49次全振動記為50次答案(1)測量擺長時漏掉了擺球的半徑(2)9.87(3)B解析(1)T2－l圖線不通過坐標原點，將圖線向右平移1cm會通過坐標原點，可知相同的周期下擺長偏小1cm，故造成圖線不過坐標原點的原因可能是測量擺長時漏掉了擺球的半徑。(2)由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得T2＝eq\f(4π2,g)·l，則T2－l圖像的斜率為k＝eq\f(4π2,g)；由圖像得k＝4s2·m－1，解得g＝9.87m/s2。(3)測擺長時擺線拉得過緊，則測量的擺長偏大，測得的重力加速度偏大，A不符合題意；擺線上端未牢固地