專題05導數中含參討論問題總結一、重點題型目錄【題型】一、由函數的單調區間求參數【題型】二、由函數在區間上的單調性求參數【題型】三、含參分類討論求函數單調性區間【題型】四、根據極值點求參數【題型】五、有導數求函數的最值（含參）【題型】六、已知函數最值求參數【題型】七、參變分離法解決導數問題【題型】八、構造函數并利用函數的單調性判定函數值大小【題型】九、構造函數法解決導數問題二、題型講解總結【題型】一、由函數的單調區間求參數例1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的單調遞減區間為，則（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根據得到，再根據的單調遞減區間是，得到和1是方程的兩個根，代入解方程即可.【詳解】由得，又的單調遞減區間是，所以和1是方程的兩個根，代入得.經檢驗滿足題意故選：B.例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據函數的單調性知導數小于等于0恒成立，分離參數后由正切函數單調性求解.【詳解】由題意，在上恒成立，即在上恒成立，因為在上單調遞增，所以，所以在時，，所以.故選：B例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，為的導函數．若在(0，1)上單調遞減，則下列結論正確的是（

）A．有最小值3 B．有最大值C． D．【答案】D【分析】由在(0，1)上單調遞減，得到，，即可判斷D；求出，當時，有，可否定C；記，其中滿足，利用數形結合求出，判斷A、B.【詳解】由題意可得.因為在(0，1)上單調遞減，所以在(0，1)上恒成立，即，，所以，因為，在(0，1)上單調遞減，所以，即，所以，當時，有所以C錯誤，D正確.記，其中滿足，作出可行域如圖示：由解得：.當拋物線，經過點時最小，沒有最大值.故A、B錯誤.故選：D.例4．（2023·全國·高三專題練習）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．【答案】AD【分析】由條件可得在上單調遞增，再結合導數和單調性的關系列不等式求a的范圍，由此確定正確選項.【詳解】設，則，所以在上單調遞增，所以，所以，∴，∴．又在上恒成立，所以在上單調遞增，所以對恒成立，即恒成立．令，當時，，故，∴，解得或，所以a的值可以為，，故選：AD.【題型】二、由函數在區間上的單調性求參數例5．（2023·全國·高三專題練習）若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數的定義域，則有，對函數求導后，令求出極值點，使極值點在內，從而可求出實數的取值范圍.【詳解】因為函數的定義域為，所以，即，，令，得或（舍去），因為在定義域的一個子區間內不是單調函數，所以，得，綜上，，故選：D例6．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉化為在上恒成立，采用分離變量法可得，由可構造不等式求得結果.【詳解】在上單調遞增，在上恒成立，即在上恒成立，又在上單調遞增，，，解得：，即實數的取值范圍為.故選：A.例7．（2023·全國·高三專題練習）下列說法正確的有（

）A．設，，若，則實數a的取值范圍是B．“，”是“”成立的充分條件C．命題p：，，則：，D．“”是“函數是R上的單調增函數”的必要不充分條件【答案】BD【分析】分與兩種情況討論，求出參數的范圍，即可判斷A，根據不等式的性質及充分條件的定義判斷B，根據全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷C，求出函數的導數，由恒成立求出的取值范圍，再根據集合的包含關系判斷D即可；【詳解】解：對于A：當，即，解得時滿足，當，因為，所以，解得，綜上可得，故A錯誤；對于B：由，則，故“，”是“”成立的充分條件，即B正確；對于C：命題p：，，則：，，故C錯誤；對于D：因為，所以，若在上單調遞增，則恒成立，所以，解得，因為，所以“”是“函數是R上的單調增函數”的必要不充分條件，故D正確；故選：BD例8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上單調遞減，則實數的最小值是___________【答案】【分析】原問題等價于在上恒成立，構造函數求最值即可.【詳解】由在上單調遞減，得，即，令，則，當時，，則，所以，即，所以在是單調遞減函數，，得，的最小值為.故答案為：【題型】三、含參分類討論求函數單調性區間例9．（2023·全國·高三專題練習）已知，則下列說法正確的是（

）A．當時，有極大值點和極小值點 B．當時，無極大值點和極小值點C．當時，有最大值 D．當時，的最小值小于或等于0【答案】D【分析】討論、，利用導數研究在定義域上的單調性，進而判斷極值點及最值情況，即可確定答案.【詳解】由題設，且，當時，則在上遞增，無極值點和最大值，A、C錯誤；當時，若則，遞減；則，遞增；所以，即無極大值點，有極小值點，B錯誤；令且，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，即的最小值小于或等于0，D正確；故選：D例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若不等式在區間上恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】即為，設，，求出函數的導函數，分解和討論函數的單調性，求出函數在區間上的最小值，即可得解.【詳解】解：由已知可得即為，設，，則，當時，顯然，當時，在上也成立，所以時，在上單調遞減，恒成立；當時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，于是，存在，使得，不滿足，舍去此情況，綜上所述，.故選：A.例11．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．當，，時，B．當，，時，C．當，，時，D．當，，時，【答案】AC【分析】根據等號兩邊式子的結構特征構造函數,利用導數分類討論函數的單調性進行求解.【詳解】設，因為，所以，當，時，，即.易知，當時，，所以在上單調遞減，所以，故選項A正確，選項B錯誤.當，時，，即.當時，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故選項C正確，選項D錯誤.故選：AC.【題型】四、根據極值點求參數例12．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間內有極小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用導數求出函數的極小值點，然后使極小值點在內，從而可求出的取值范圍【詳解】由題意，得，當時，在上恒成立，所以在上遞增，函數無極值，所以，令，則x＝±，∵函數在（，）上，函數遞減，在（，+∞）上，函數遞增∴x時，函數取得極小值∵函數在區間（0，1）內有極小值，∴01，∴b∈（0，1）故選：B．例13．（2023·全國·高三專題練習）若，分別是函數的零點和極值點，且在區間上，函數存在唯一的極大值點，使得，則下列數值中，的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數的零點和極值點的概念結合正弦函數圖象的性質對各個選項進行判斷即可.【詳解】設函數的最小正周期為T,由題意得則其中在區間上，函數存在唯一的極大值點，使得，所以解得即解得對于D.若，則由且可知可使成立，當時當或時，都成立，故不符合；對于C.若，則，且可知可使成立，當時，當時，存在唯一的極大值點，使得，故符合條件；對于B.若，則由且可知可使成立，當時，當或時，都成立，故不符合；對于A.若，則由且可知可使成立，當時，，當或時，都成立，故不符合；故選：C【題型】五、有導數求函數的最值（含參）例14．（2023·全國·高三專題練習）設直線與函數，的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由題意，函數的最小值即|MN|達到最小值時，再求導分析的極小值點即可【詳解】設函數，求導數得因為，故當時，，函數在上為單調減函數，當時，，函數在上為單調增函數所以x為的極小值點.故當|MN|達到最小時t的值為．故選：B．例15．（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為.、、為圓上的點，，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱錐.當的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：的最大值為______.

【答案】【分析】連接，交于點，設，則，，進而算出三棱錐的高和體積，構造函數，令，，求導，根據導函數的正負判斷單調性進而求出最大值．【詳解】由題意，連接，交于點，由題意得，，即的長度與的長度成正比，設，則，，三棱錐的高，，則，令，，，令，即，解得，則，∴，體積最大值為．故答案為：【點睛】思路點睛：本題將三棱錐體積的計算轉化為利用導數研究函數的最值問題，考查學生對這些知識的掌握能力，本題的解題關鍵是掌握根據導數求單調性的方法，屬于中檔題.例16．（2023·河北·高三階段練習），則a的最大值為_____________．【答案】1【分析】，即，令，分和兩種情況討論，利用導數求出函數的最小值，即可得出答案.【詳解】解：，即，令，當，即時，，則，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，所以當時，，當，即時，，因為函數為增函數，所以函數在上遞減，所以當時，，綜上所述，，所以，即a的最大值為1.故答案為：1.【題型】六、已知函數最值求參數例17．（2023·廣西·模擬預測（文））已知函數存在最大值0，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】討論與0的大小關系確定的單調性，求出的最大值.【詳解】因為，，所以當時，恒成立，故函數單調遞增，不存在最大值；當時，令，得出，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，解得：.故選：B.例18．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上存在最小值，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，根據在區間上存在最小值，得到且，，設，根據且，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數，可得，且在區間上存在最小值，即在區間上存在，使得且，，設，即滿足，且，可得，解得，即實數的取值范圍是.故選：D.例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數只有一個零點B．函數只有極大值而無極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若當時，，則t的最大值為2【答案】CD【分析】解方程判斷A；利用導數探討的極值判斷B；分析函數的性質，借助圖象判斷C；由結合取最大值的x值區間判斷D作答.【詳解】對于A，由得：，解得，A不正確；對于B，對求導得：，當或時，，當時，，即函數在，上單調遞減，在上單調遞增，因此，函數在處取得極小值，在處取得極大值，B不正確；對于C，由選項B知，作出曲線及直線，如圖，觀察圖象得當時，直線與曲線有2個交點，所以當時，方程有且只有兩個實根，C正確；對于D，因，而函數在上單調遞減，因此當時，，當且僅當，即，所以t的最大值為2，D正確.故選：CD【點睛】方法點睛：函數零點個數判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數或者將函數變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.【題型】七、參變分離法解決導數問題例20．（2023·江蘇·蘇州中學高三階段練習）若關于x的不等式對于任意恒成立，則整數k的最大值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】參變分離將恒成立問題轉化為求函數最值問題，然后利用導數求最值可得.【詳解】對于任意恒成立等價于對于任意恒成立令，則令，則所以在上單調遞增，又所以在有且僅有一個根，滿足，即當時，，即，函數單調遞減，時，，即，函數單調遞增，所以由對勾函數可知，即因為，即，，所以.故選：C例21．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，均為的解，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A選項：根據“三個等價”，將方程根的問題轉化成構造出的函數零點的問題，利用零點存在性定理確定出的取值情況；B，C，D選項：對方程變形，參變分離構造函數，從函數的角度以及利用極值點偏移可以得出相應結論，詳細過程見解析.【詳解】對于A，令，因為，所以在上單調遞增，與x軸有唯一交點，由零點存在性定理，得，，則，故A錯誤.對于B，C，D，當時，兩邊同時取對數，并分離參數得到，令，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；如圖所示，當時，與的圖象有兩個交點，，解得，故B正確；，由A選項知，，故C錯誤；由極值點偏移知識，此時函數的極值點左移，則有，故D錯誤.故選：B.例22．（2023·上海·高三專題練習）在空間直角坐標系中，三元二次方程所對應的曲面統稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲面在工業、農業、建筑等眾多領域應用廣泛．已知點是二次曲面上的任意一點，且，，，則當取得最小值時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是________．【答案】【分析】先通過取得最小值這個條件找出當的關系，帶入后一個不等式，利用對數恒等式變型，此后分離參數求最值即可.【詳解】根據題意，帶入可得：，而，，利用基本不等式，當，即取得等號，此時，即，綜上可知，當取得最小值時，，帶入第二個式子可得，，即，于是，設，，故當時，遞增，時，遞減，；于是原不等式轉化為時，恒成立，即在時恒成立，設，于是，故在時單調遞增，，故，即可.故答案為：【點睛】本題恒成立的處理用到了對數恒等式，若直接分離參數求最值，會造成很大的計算量.【題型】八、構造函數并利用函數的單調性判定函數值大小例23．（2023·全國·高三專題練習）設函數是奇函數（x∈R）的導函數，f（﹣1）＝0，當x＞0時，，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【分析】構造函數，求導結合題意可得的單調性與奇偶性，結合求解即可【詳解】由題意設，則∵當x＞0時，有，∴當x＞0時，，∴函數在（0，+∞）上為增函數，∵函數f（x）是奇函數，∴g（﹣x）＝g（x），∴函數g（x）為定義域上的偶函數，g（x）在（﹣∞，0）上遞減，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，∴或，即有x＞1或﹣1＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故選：D．例24．（2023·全國·模擬預測）以下數量關系比較的命題中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】令，利用導數研究函數的單調性，進而可判斷A；根據指數函數與對數函數的單調性可判斷B；令，利用導數研究函數的單調性，進而可判斷CD；【詳解】對于A：設，則，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；所以，所以，即，所以，故A正確；對于B：因為，所以，所以，即，故B正確；對于CD：設，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；所以，即，故C正確；又，所以，故D錯誤；故選：ABC【題型】九、構造函數法解決導數問題例25．（2023·全國·高三專題練習）定義在上的函數滿足，則不等式的解集