函數(shù)極限與連續(xù)“工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材清華大學(xué)本科優(yōu)秀教材建設(shè)項目資助微積分原理（上）第三章01函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念數(shù)列是定義在正整數(shù)集N上的整標函數(shù)，因此數(shù)列極限可看成特殊的函數(shù)極限，函數(shù)極限按照自變量的變化趨勢來區(qū)分，有以下6種類型:1.函數(shù)在一點的極限1.函數(shù)在一點的極限1.函數(shù)在一點的極限1.函數(shù)在一點的極限1.函數(shù)在一點的極限2.函數(shù)在無窮遠處的極限2.函數(shù)在無窮遠處的極限02函數(shù)極限的性質(zhì)及運算1.函數(shù)極限的性質(zhì)1.函數(shù)極限的性質(zhì)2.函數(shù)極限的四則運算2.函數(shù)極限的四則運算2.函數(shù)極限的四則運算2.函數(shù)極限的四則運算2.函數(shù)極限的四則運算注(1)四則運算法則的前提是每個函數(shù)的極限都存在;(2)四則運算法則只對有限個存在極限的函數(shù)成立.由局部保號性及四則運算法則，易得下面的局部保序性.3.復(fù)合函數(shù)的極限3.復(fù)合函數(shù)的極限03函數(shù)極限的存在條件1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系注該定理中(i)與(iii)的等價性稱為函數(shù)極限的西收原理;(ii)與(iii)的等價性是溝通函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁，稱為海涅歸結(jié)原則.由定理3.3.1，可立即得到下面的推論，在證明某些函數(shù)極限不存在時比較方便.1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系2.兩個重要極限作為雙側(cè)趨近定理的應(yīng)用，我們證明下面兩個重要極限，它們在第4章計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方面將起到重要的作用。2.兩個重要極限2.兩個重要極限3.無窮大量與無窮小量函數(shù)極限的無窮大量與無窮小量的定義和數(shù)列極限的無窮大量與無窮小量的定義相仿，但應(yīng)注意，函數(shù)極限按自變量的變化趨勢可分為六種類型，因此在表示函數(shù)為無窮小量或無窮大量時，必須同時指出自變量的變化趨勢。下面的定義以x→a為例.3.無窮大量與無窮小量3.無窮大量與無窮小量3.無窮大量與無窮小量4.等價無窮小量代換求極限4.等價無窮小量代換求極限4.等價無窮小量代換求極限4.等價無窮小量代換求極限04函數(shù)的連續(xù)1.函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)連續(xù)的概念2.間斷點及其分類根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義，若點a是函數(shù)f(x)定義域的聚點，則函數(shù)f(x)在點a處連續(xù)，必須滿足以下三個條件:3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)函數(shù)的連續(xù)是通過函數(shù)的極限定義的，因此函數(shù)極限所具有的性質(zhì)，如有界性、四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的極限等，都可推廣到函數(shù)連續(xù)的相應(yīng)性質(zhì).3.連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)05閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)在一點的連續(xù)性只反映函數(shù)在該點鄰域內(nèi)的局部性質(zhì)。我們看到，函數(shù)在一點連續(xù)的實質(zhì)是實數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的函數(shù)值連續(xù)不斷地充滿一個閉區(qū)間，因此閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有有界性、取最值性、介值性和一致連續(xù)性，它們都是實數(shù)連續(xù)性的反映，故這些性質(zhì)的證明需要借助實數(shù)連續(xù)性定理.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定理3.5.1告訴我們，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，因此其值域是一個非空的有界集合，由確界原理，其上、下確界一定存在，那么閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，其函數(shù)值是否能達到它的上、下確界?即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是否存在最值?下面的定理給出了肯定的回答.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)2.反函數(shù)的連續(xù)性3.一致