第八講：導數的概念及運算【考點梳理】1．導數的概念函數在處的瞬時變化率，我們稱它為函數在處的導數，記作或，即．2．導數的幾何意義函數在處的導數的幾何意義是曲線在點處的切線斜率，即，相應地切線方程．3．基本初等函數的導數公式原函數導函數（為常數）（）（）（）（）（）4．導數的運算法則若函數，均可導，則：（1）；（2）；（3）．5、切線問題（1）已知函數，在點的切線方程；①②（2）已知函數，過點的切線方程①設切點②求斜率③利用兩點求斜率④利用求出切點，再回帶求出斜率，進而利用點斜式求切線。【典型題型講解】考點一：導數的幾何意義---已知切點求切線方程【典例例題】例1．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數，該函數在處的切線方程為__________.【答案】【詳解】對函數求導可得，把代入可得，則切線方程的斜率.又因為，所以切點為，從而可得切線方程為.故答案為：.【方法技巧與總結】求導，求斜率，用點斜式寫切線方程【變式訓練】1．（2022·廣東廣州·一模）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵∴，所以，又當時，，所以在點處的切線方程為：，即.故選：A.2．（2022·廣東廣東·一模）已知，則曲線在處的切線方程是______．【答案】【詳解】，，，所以曲線在處的切線方程式，得.故答案為：3.已知，則曲線在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對，求導可得，，得到，所以，，所以，，故選D4．已知函數是定義在R上的奇函數，且，則函數的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】是奇函數，恒成立，所以，，，所以，，即，．故選：A．【典型題型講解】考點二：已經切線斜率求切點問題【典例例題】例1．（2022·廣東潮州·高三期末）曲線與直線相切，則______．【答案】1【詳解】由題意，函數，可得，設切點為，則，因為曲線與直線相切，可得，即，①又由，即切點為，可得，②聯立①②，可得．故答案為：1例2．（2022·廣東珠海·高三期末）若函數在處的切線與直線垂直，則______．【答案】-1【詳解】，，由．故答案為：．【方法技巧與總結】設切點坐標，求導，建立有關斜率和切點有關方程或方程組進行運算.【變式訓練】1．（2022·廣東清遠·高三期末）已知曲線在點處的切線方程為，則_________．【答案】-5【詳解】解：因為，所以，所以所以，所以．故答案為：2.已知曲線在點處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解：，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．【典型題型講解】考點三：過一點求函數的切線方程【典例例題】例1.函數過點的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】由題設，若切點為，則，所以切線方程為，又切線過，則，可得或，當時，切線為；當時，切線為，整理得.故選：C【方法技巧與總結】設切點坐標，求導，求斜率，寫切線方程，帶已經點到到切線方程【變式訓練】1.若過點的直線與函數的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為函數，所以，設切點為，則切線方程為：，將點代入得，即，解得或，所以切點橫坐標之和為故選：D.2.曲線過點的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得點不在曲線上，設切點為，因為，所以所求切線的斜率，所以.因為點是切點，所以，所以，即.設，明顯在上單調遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為.故選：B.【典型題型講解】考點四：公切線問題【典例例題】例1．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數，過點可作兩條直線與函數相切，則下列結論正確的是（

）A． B．C．的最大值為2 D．【答案】B【詳解】設切點為，又，則切線的斜率又，即有，整理得，由于過點可作兩條直線與函數相切所以關于的方程有兩個不同的正根，設為，則，得，，故B正確，A錯誤，對于C，取，則，所以的最大值不可能為2，故C錯誤，對于D，取，則，故D錯誤.故選：B.【方法技巧與總結】分別求出導數，設出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程【變式訓練】1.若函數與函數有公切線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設公切線與函數切于點，，切線的斜率為，則切線方程為，即設公切線與函數切于點，，切線的斜率為，則切線方程為，即所以有因為，所以，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設，則，所以在上為減函數，則，所以，所以實數的取值范圍是，故選：B．2.已知函數，，若直線與函數，的圖象都相切，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】設直線與函數，的圖象相切的切點分別為，.由，有，解得，.又由，有，解得，，可得，當且僅當，時取“=”.故選：B3.若兩曲線與存在公切線，則正實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設公切線與曲線和的交點分別為，，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，故，即.故選：B.【鞏固練習】一、單選題1．若曲線在點（1，f（1））處的切線方程為，則a＝（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】A【詳解】解：因為曲線，所以，又因為曲線在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，故選：A2．設是函數的導函數，是函數的導函數，若對任意恒成立，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因為對任意，，恒成立，所以在上單調遞增，且在上單調遞減，即的圖象增長得越來越慢，從圖象上來看函數是上凸遞增的，所以，又，表示點與點的連線的斜率，由圖可知即，故選：A3．設為可導函數，且，則曲線在點處的切線斜率為（

）A．2 B．-1 C．1 D．【答案】D【詳解】由導數的幾何意義，點處的切線斜率為，因為時，，所以，所以在點處的切線斜率為，故選：D.4．已知，則曲線在點處的切線方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴，，∴，∴y=f(x)在處的切線方程為：，即．故選：A．5．已知函數，，若經過點存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（

）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【詳解】因為，所以，則，所以所以函數在處的切線方程為，由得，由，解得或，故選：D6．若不等式對任意，恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則T的幾何意義是直線上的點與曲線上的點的距離，將直線平移到與面線相切時，切點Q到直線的距離最小．而，令，則，可得，此時，Q到直線的距離，故，所以．故選：B【點睛】關鍵點點睛：將題設不等式關系轉化為求直線與曲線上點的最小距離且，結合導數的幾何意義、點線距離公式求m的范圍.7．若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】C【詳解】由和互為反函數可知，兩條公切線和也互為反函數，即滿足，，即，，設直線與和分別切于點和，可得切線方程為和，整理得：和，則，，由，得，且，則，所以，所以,故選：C二、多選題8．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是1B．曲線的切線斜率可以是C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】AC【詳解】因為函數，所以A.令，得，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；B.令無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯誤；C.因為在曲線上，所以點是切點，則，所以切線方程為，即，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；D.設切點，則切線方程為，因為點在切線上，所以，解得，所以過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯誤；故選：AC三、填空題9．已知函數則曲線在點處的切線方程為_______.【答案】【詳解】解：因為，又，切線方程為：，即；故答案為：.10．若直線與曲線和都相切，則的斜率為______．【答案】【詳解】設的切點為，，故，則切線方程為：，即圓心到