第04講素數、合數與分解素因數（6種題型）■F【知識梳理】一、素數與合數（1）素數：一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，則叫做素數，也叫做質數；（2）合數：一個正整數，如果除了工和它本身以外還有別的因數，則叫做合數；（3）1既不是素數，也不是合數；正整數可分為：1、素數和合數三類.二、分解素因數1、分解素因數每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式，其中每個素數都是這個合數的因數，叫做這個合數的素因數.把一個合數用素因數相乘的形式表示出來，叫做分解素因數.2、口算法分解素因數例如：72=8x9=2x2x2x3x3.3.用樹枝分解法分解素因數例如：728X92X4X3X3

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2X2X2X3X3常常適用于較小數目4、短除法分解素因數形如右圖，這種在左側寫除數，下方寫商的除法格式叫做''短除法〃.535用短除法分解素因數的步驟如下： 7（1）先用一個能整除這個合數的素數（通常從最小的開始）去除；（2）得出的商如果是合數，再按照上面的方法繼續除下去，直到得出的商是素數為止;（3）然后把各個除數和最后的商按從小到大的順序寫成連乘的形式.例如:【答案】7,8,9,10【分析】將5040分解質因數后，整理成4個連續整數的乘積，再按照從小到大排列，即可得到答案.【詳解】05040=2x2x2x2x3x3x5x7=7x8x9x10,故答案為：7,8,9,10.【點睛】本題主要考查了分解質因數（分解素因數），熟練掌握分解素因數的方法是解題的關鍵.【變式1】（2021?上海復旦五浦匯實驗學校期中）兩個素數的積是58,則這兩個素數的和是.【答案】31【分析】利用素數的定義，進而得出兩個素數的積是58時，求出這兩個數即可，進而分析得出兩位數一定是素數的條件.【詳解】解：V58分解素因數只能分到2和29,???2x29=58，2+29=31.故答案為：31【點睛】本題主要考查了素數的定義，熟練掌握僅有兩個正因數的正整數叫做素數是解題的關鍵.【變式2］（2020?上海市靜安區實驗中學課時練習）兩個素數的和是20,積是91,這兩個素數分別是和.【答案】13, 7【分析】利用短除法對91進行分解因數，可知91=7x13,而7和13的和是20,并且同時滿足均為素數的條件，由此得到結果.【詳解】解:利用短除法分解91可得到:91=7x13,因為7+13=20.故答案為：137.【點睛】考查整數的短除法分解為符合條件的數，學生既需要觀察條件認真審題，又要熟練掌握素數的定義與判斷，才能求解本題.【過關檢測】【過關檢測】一、單選題（2022秋?上海?六年級專題練習）在51=3x17中，3和17都是51的（A.素因數B.倍數A.素因數B.倍數C.素數D.質數【答案】A【分析】選項中的素因數一般指質因數，素數指質數，3和17都是質數，所以這兩個數是51的質因數，由此進行解答即可.【詳解】解：因為51=3x17,所以3和17都是51的因數，又3和17都是質數，所以3和17也是51的質因數即素因數.故選：A.【點睛】此題考查的是因數和質因數的意義，應根據其意義進行解答.（2022秋?上海靜安?六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）下面說法正確的是（）A.最小的素數是1；B.一個合數至少有3個因數；C.因為2.6?1.3=2,所以2.6能被L3整除;D.16的因數有2,4,8,16.【答案】B【分析】根據素數，合數，整除及因數的定義逐項判斷即可得解；【詳解】解：A.在大于零的自然數中，除了1和它本身外沒有別的因數的數叫素數，所以最小的素數為2,不是1,故選項錯誤；B.一個合數至少有3個因數，故本選項正確；C.整數、〃除以大于。的整數*—商為整數，且沒有余數.我們就說。能被b整除.根據整除的定義，除法算式的中被除數與除數必須為整數，算式2.6+1.3=2中被除數與除數為小數，所以不能說2.6能被L3整除，故選項錯誤；D.16的因數有1,2,4,8,16.本選項中少1,故選項錯誤.故選擇：B【點睛】考查了有理數的乘除法，完成此類題目要根據有關定義認真分析選項中的說法，從而得出正確選項..（2022秋?上海靜安?六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）兩個正奇數的和是（）A.奇數 B.素數 C.偶數 D.素因數【答案】C【分析】根據奇數的定義即可求解.【詳解】解：兩個正奇數的和是偶數,故選：c.【點睛】本題考查了奇數、素數、偶數的概念，掌握奇數、素數、偶數的概念是解題的關鍵..（2022秋?六年級校考單元測試）下列各組數中，不是互素的有（）A.13和15 B.27和28 C.1和20 D.21和49【答案】D【分析】根據互素的定義進行判斷即可.【詳解】解：A、13和15的公因數有：1,B、27和28的公因數有：1,C、1和20的公因數有：1,D、21和49的公因數有：1,7,根據互素的定義可知，只有21和49不是互素，故選：D.【點睛】本題考查了互素的定義，熟練掌握兩個數除了1以外沒有其他公約數的兩個數為互素是解答本題的關鍵..（2022秋?上海?六年級校考階段練習）下列各式中表示分解素因數的式子是（）A.2x3=6； B.28=2x2x7； C.12=4x3x1；D.30=5x6.【答案】B【分析】根據分解素因數的定義及計算方法逐項驗證即可得到答案.【詳解】解：A、2x3=6是乘法運算，不是分解素因數，不符合題意；B、根據分解素因數計算方法，28=2x2x7是分解素因數，符合題意；C、根據分解素因數定義及計算方法，12=3x2x2,故12=4x3x1不是分解素因數，不符合題意；D、根據分解素因數定義及計算方法，30=2x3x5而不是30=5*6,該項不符合題意；故選：B.【點睛】本題考查分解素因數的定義及計算方法，熟練掌握分解素因數定義及方法是解決問題的關鍵..（2022秋?上海?六年級專題練習）12的素因數是（）A.2,2,3 B.1,2,3 C.4,6,12 D,1,2,3,4【答案】A【分析】由素因數的含義可得：12=2x2x3,從而可得答案.【詳解】解：因為：12=2x2x3,所以：12的素因數為：2,2,3.故選A.【點睛】本題考查的是素因數的含義，以及分解素因數的方法，掌握以上知識是解題的關鍵..（2022秋?六年級校考單元測試）在正整數32,47,71,91,93中，素數的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】在自然數中，除了1和它本身外，沒有其他因數的數為素數.【詳解】解：根據素數的定義：47、71為素數，共2個，故選：B.【點睛】本題考查了素數的概念，熟記概念是解題關鍵.二、填空題.（2022秋?上海靜安?六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）將15寫成兩個素數相加的形式是【答案】15=2+13【分析】素數是只能被1或者自己整除的自然數，然后求解即可.【詳解】解：15=2+13,故答案為：15=2+13.【點睛】題目主要考查素數的定義及加法，理解素數的定義是解題關鍵..（2022秋?上海靜安,六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）分解素因數40=【答案】2x2x2x5【分析】將40分為幾個素數相乘即可.【詳解】解：40=2x2x2x5,故答案為：2x2x2x5.【點睛】本題主要考查了分解質因數的方法：把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式.10.（2023?上海?六年級假期作業）如果A是不超過2017的所有質數的乘積，那么A的末尾數字有連續 個0.【答案】1【分析】在不超過2017的所有質數中只有質數2和質數5相乘末尾為0,即：A的末尾數字只有一個0.【詳解】解：在不超過2017的所有質數中只有質數2和質數5相乘末尾為0,EA的末尾數字有連續1個0；故答案為：1.【點睛】本題考查質數.熟練掌握質數的定義，是解題的關鍵.1L（2023?上海?六年級假期作業）如果兩個自然數的和與差的積是23,那么這兩個自然數的和除以這兩個數的差的商是.【答案】23【分析】設這兩個自然數為小b,列式子如下：8）=23,然后根據分解質因數的方法求出a+b=23,a-b=\9即得答案.【詳解】根據題意：設這兩個自然數為小b,列式子如下：（。+3（。-3=23,因為23分解質因數是1與23,所以這兩個數的和是。+〃=23,這兩個數的差是人=1.由于a+Z?=23,a—b—\,那么這兩個自然數的和除以這兩個數的差的商是23+1=23.故答案為：23.【點睛】本題實質上考查的是分解質因數，也可以按照和差問題求出這兩個數的結果，再計算這兩個自然數的和除以這兩個數的差的商.（2023?上海,六年級假期作業）在20以內的合數中，是3的倍數的數是（）,并用括號中的數組成比例，這個比例是（）.【答案】 6、9、12、15、18 609=12018【分析】找出20以內的合數，在其中再找出3的倍數，組成比例即可.【詳解】解：20以內的合數有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、203的倍數有：6、9、12、15、18這個比例是609=12018,故答案為：6、9、12、15、18；609=12018.【點睛】本題考查3的倍數的特征，以及比例的意義，理解倍數和合數是解題的關鍵.（2023?上海?六年級假期作業）用。?9這10個數字組成若干個合數，每個數字都恰好用一次，那么這些合數之和的最小值是.【答案】99【分析】根據合數的概念解答即可.【詳解】根據題意，這些合數之和要盡量的小，首先要選擇這些合數中是本身是合數的，有468、9,還剩下(M2367,這六個數字構成兩位數為合數，讓十位上的數盡量的小，4、6、8、9本身是合數；10、27、35均為合數，所以合數的最小值為：4+6+8+9+10+27+35=99,故答案為：99.【點睛】本題考查的是質數與合數，這里組成的合數并不確定，但最小的和是確定的.(2023?上海?六年級假期作業)甲、乙兩個三位數的乘積是一個五位數，這個五位數的后四位為1031,如果甲數的數字和為10,乙數的數字和為8,那么甲乙兩數之和是.【答案】360【分析】設這個五位數是〃1031,由于甲數的數字和為10,乙數的數字和為8,那么甲數除以9余數是1,乙數除以9余數是8,那么兩數的乘積除以9余數是8,所以41031除以9余數是8,再根據數字和判斷.【詳解】H031除以9余數是8；i+l+O+3+l只能等于8,此時。是3；31031=7x11x13x31,由于甲數的數字和為10,乙數的數字和為8,可以組合成217x143,217+143=360,故答案為:360.【點睛】本題用到了余數的性質，根據余數的可乘性，積的余數等于余數的積.(2022秋?上海黃浦?六年級統考期中)規定一種新的運算：對于一個合數n,(n)表示不是n的素因數的最小素數，如(4)=3,(12)=5.那么(60)+(84)的值是.【答案】12【詳解】試題分析：因為60=2x2x3x5,所以(60)=7,因為84=2x2x3x7,所以(84)=5,所以(60)+(84)=7+5=12.考點：分解因數.三、解答題(2023?上海?六年級假期作業)三個連續自然數的乘積是210,求這三個數.【答案】5、6和7【分析】將210因數分解，即可求解.【詳解】解:0210=2x3x5x7團這三個數是5、6和7.【點睛】本題考查了因數分解，將210因數分解是解題的關鍵.（2022秋?上海?六年級校考階段練習）分別把12、48分解素因數，并寫出它們有哪些相同的素因數.【答案】12=2x2x3,48=2x2x2x2x3,相同素因數有回2、3.【分析】分解素因數就是把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式，一般先從簡單的質數試著分解，然后寫出相同的素因數即可.【詳解】解回12=2x2x3,48=2x2x2x2x3團12、48的相同素因數有團2、3.【點睛】此題主要考查分解素因數的方法，能把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式是解題的關鍵.（2023?上海?六年級假期作業）兩個連續奇數的乘積是111555,這兩個奇數之和是多少？【答案】668【分析】先將1U555分解質因數，得至Ijlll555=3x3x5x37x67,由于是兩個相鄰的奇數相乘，可以讓67和5一組，37和兩個3一組.【詳解】解：111555=3x3x5x37x67=（3x3x37）x（5x67）=333x335；333+335=668,所以兩個奇數的和為668.【點睛】本題不僅要求學生熟練掌握分解質因數，而且要注意一些技巧，例如本題中的111=3x37.（2022秋?上海靜安,六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）將28和70分解素因數，并寫出它們公有的素因數.【答案】28=2x2x7,70=2x5x7；公有的素因數是2,7；【分析】將28和70寫成素因數的積，找出相同的因數即可得到答案；【詳解】解：28=2x2x7,70=2x5x7,所以它們公有的素因數是2,7；【點睛】本題考查素因數的概念：素因數也稱質因數，如果一個數的約數是素數則這個數叫做這個數的素因數.2|78313913用短除法分解素因數，初步階段同學們容易出現錯誤：第一左側邊選用的除數出現合數，如：60=4X3X54|603|155一定注意分解素因數的時候，每個因數都必須是素數。第二最后的商還是合數。如：5|45591一看91,常用的2,3,5都不行，于是短除停止了，其實91還是合數，要繼續除以7,商13,才停止短除。三、互素：指兩個整數只有公因數1.這兩個整數不一定是素數.二」【考點剖析】題型一：素數與合數例L（2022?上海市婁山中學九年級期中）在1至10,這10個正整數中，素數共有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】C【分析】由素數的定義可得出答案.【詳解】解：在1至10這10個正整數中，素數有2,3,5,7,共4個.故選：C.【點睛】本題考查素數的定義，素數又叫質數，是指在大于1的自然數中，除了1和它本身以外，不能被其他自然數整除的數.【變式】（2021?上海?青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素數是.【答案】2、3、29【分析】根據大于1的自然數中，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（素數）解答即可.【詳解】解：在1、2、3、6、8、29、33、45中，素數是：2,3,29,故答案為：2,3,29.【點睛】此題考查了素數，主要根據素數的意義解決問題.例2.判斷37,39,47和49是素數還是合數.【答案】37和47是素數，39和40是合數.【解析】因為37和47都只有1和它本身兩個因數，所以37和47是素數，39和40除了1和它本身之外，還有其它的因數，因此39和40是合數.【總結】本題主要考查素數和合數的概念.【變式】最小的素數是，最小的合數是—.【答案】2,4;【解析】解：最小的素數為2,最小的合數為4.例3.(2021?上海市傅雷中學期中)下列說法中，正確的是( )A.奇數都是素數 B.偶數都是合數C.合數不都是偶數 D.素數都是奇數【答案】c【分析】根據奇數，素數，偶數，合數的關系，逐項判定即可求解.【詳解】解：A、奇數不都是素數，例如9是合數，故原選項不符合題意；B、偶數都是合數，說法錯誤，2是偶數，但不是合數，故原選項不符合題意；C、合數不都是偶數，說法正確，故原選項符合題意；D、素數都是奇數，2是素數，但2是偶數，故原選項不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了奇數，素數，偶數，合數的關系，熟練掌握奇數，素數，偶數，合數的關系是解題的關鍵.【變式】根據要求填空：在1,2,9,21,43,51,59,64這八個數中：TOC\o"1-5"\h\z是奇數又是素數的數是( );是奇數不是素數的數是( )；是素數而不是奇數的數是( );是合數而不是偶數的數是( ).【答案】(1)43,59；(2)1,9,21,51；(3)2； (4)9,21,51.【總結】本題主要是對基本概念的考查.題型二：素數與合數的應用例4.(2021?上海黃浦?期中)有一個四位數，十位上的數字是最小的自然數，百位上的數字是最小的素數，千位上的數字是最小的合數，若這個四位數同時是2和3的倍數，則它個位上的數字是.【答案】6或0【分析】根據最小的素數是2,最小的合數是4,最小的自然數是0,可以確定這個四位數的千位、百位和個位上的數，然后根據它是偶數又是3的倍數即可解答.【詳解】解：回十位上的數字是最小的自然數，百位上的數字是最小的素數，千位上的數字是最小的合數，團這個四位數的十位數字為0,百位數字為2,千位數字為4,團這個四位數同時是2和3的倍數，團個位上的數為偶數，同時各位數字之和是3的倍數，團個位數字為：6或0.故答案是：6或0.【點睛】本題主要考查了素數與合數的意義、自然數與3的倍數的數字特征等知識點，掌握素數、合數以及3的倍數的數字特征是解答本題的關鍵.【變式1］（2021?上海復旦五浦匯實驗學校期中）已知一個六位數：月BCDE尸，其中八既不是素數，也不是合數；B是10以內最大的數；C是最小的素數；。是10以內最大的奇數；E的倒數等于它本身；F是最小的自然數；則這個六位數是.【答案】192910【分析】按照素數，合數和自然數等的相關知識，推理出各個數位上的數即可.【詳解】回正整數中，既不是素數，也不是合數的數是1,10以內最大的數是9,最小的素數是2,10以內最大的奇數是9,倒數等于它本身的數是1,最小的自然數是0,加是LB是9,C是2,。是9,E是1,F是0,團這個六位數是：192910,故答案為：192910.【點睛】本題考查了素數，合數和自然數等，掌握相關定義是解題的關鍵.【變式2］著名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數學皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數都是兩個素數之和，下列4個算式中，符合這個猜想的是（ ）4=1+3；13=2+11；16=7+9；32=13+19.4=1+3；13=2+11；16=7+9；32=13+19.【答案】D；【解析】解：A、1不是素數，故A錯誤；B、13不是偶數，故B錯誤；C、9不是素數，故C錯誤；D、32是偶數，13與19均是素數，符合題意，故D正確；因此答案選D.【變式3】閱讀理解：截尾素數73939133這個數具有相當迷人的性質，不只是因為它是素數，還因為把最末位數字依序“截尾”后,余下的數仍然是素數,如:73939133,7393913,739391,73939,7393,739,73,7.具有這樣性質的數叫“截尾素數”.巧的是，它也是具有這種性質的最大數，總共有8,3個數具有這樣的性質.在100以內的素數中，最大的截尾素數是.【答案】79；【解析】解：在100以內的素數中，較大的素數分別為97,89,83,79,73,71,67等等，其中是截尾素數的是79,73等等，故100以內的素數中最大的截尾素數是79.【變式4]如果m和n是兩個素數，滿足5m+7n=129,那么m+n的值是.【答案】19或25；【解析】解：如果m和n都是奇數，則5m+7n為偶數，因為129是奇數，所以m、n為一奇一偶.即川、n中必有一個等于2；當m二2時，得n=17,則m+n=19；當n=2時，m=23,則m+n=25；故m+n的值為19或25..【變式5】兩百年前，德國數學家哥德巴赫發現：任何一個不小于6的偶數都可以寫成兩個奇素數（既是奇數又是素數）之和，簡稱：〃1+1〃。如6=3+3,12=5+7等等。眾多數學家用很多偶數進行檢驗，都說明是正確的，但至今仍無法從理論上加以證明，也沒找到一個反例.這就是世界上著名的哥德巴赫猜想.你能檢驗一下這個偉大的猜想嗎？請把偶數42寫成兩個奇素數之和.42=+，或者42=+.你是否有更大的發現：把42寫成4個奇素數之和？（答案不唯一）【答案與解析】解：42=5_+37_，或者42=[+衛.42=}+}+?+電.（答案不唯一）題型三：素因數的含義例5.在等式4x6=〃=2x2x2x3中，4和6都是"的（ ）,2和3都是〃的（A.素因數 B.素數 C.因數 D.合數【答案】C、A【總結】本題主要考察素數和素因數的區別.【變式1］（2020?上海市靜安區實驗中學課時練習）若a=18,則a的素因數是,a的因數是 【答案】 2,3,3 1,18,2,9,3,6【分析】因為a=18,所以直接根據素因數及因數得概念可得答案.【詳解】根據〃素因數：每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式，其中每個素因數都是這個合數的素因數。因數：整數a能被整數b整除，b就叫做a的因數〃可知：18的素因數有：2,3,3;因數有：1,2,3,6,9,18.故答案為:素因數有：2,3,3；因數有：1,236918.【點睛】本題主要考查求一個數的素因數及因數，掌握相關概念是解題的關鍵.【變式2］（2020?上海市靜安區實驗中學課時練習）A=2x3><5,B=2x2x3x5.A與B公有的素因數是【答案】2,3,5【分析】公有的素因數：兩個正整數，都包含的素因數，據此解題.【詳解】因為A的素因數是2,3,5,B的素因數是2,3,5,所以A、B公有的素因數是2,3,5,故答案為：2,3,5.【點睛】本題考查素因數的概念，是基礎考點，難度容易，掌握相關知識是解題關鍵.題型四：分解素因數例6.把24分解素因數的正確算式是（ ）A.24=2x3x4 B.24=2x2x2x3C.24=1x2x2x2x3 D.24=2x2x6【答案】B【解析】A、D選項中有合數，C選項中有1,1既不是素數，也不是合數.【總結】每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式，叫做分解素因數.【變式1】把以下各數分解素因數：35,72,105,108,238.【答案】35=5x7； 72=2x2x2x3x3； 105=3x5x7； 108=2x2x3x3x3； 238=2x7x17.【總結】本題主要考查如何將一個合數分解素因數.【變式2】把18分解素因數，那么18=.【答案】2x3x3；【解析】解:把18分解素因數為18=2x3x3..【變式3】(2020?上海市靜安區實驗中學課時練習)下面各數分解素因數有沒有錯誤？如果有錯，請改正在橫線上.36=1x2x2x3x3；210=3x7x10 ；2x3x3x3x3=162.【答案】 錯，改為：36=2x2x3x3,錯，改為：210=2x3x5x7,錯，改為：162=2x3x3x3x3【分析】(1)將一個合數分解成幾個質數的乘積形式是分解素因數，據即此解題可；(2)將一個合數分解成幾個質數的乘積形式是分解素因數，據即此解題可；(3)將一個合數分解成幾個質數的乘積形式是分解素因數，據即此解題可.【詳解】(1)1不是質數,故(1)錯誤,改為：36=2x2x3x3；(2)10不是質數，故(2)錯誤，改為：210=2x3x5x7；(3)不是分解素因數格式，故(3)錯誤，改為：162=2x3x3x3x3.故答案為：(1)錯,改為：36=2x2x3x3；(2)錯,改為：210=2x3x5x7；(3)錯,改為：162=2x3x3x3x3.【點睛】本題考查分解素因數的方法，是重要考點，難度容易，掌握相關知識是解題關鍵.【變式4】(2021?上海?期中)規定一種新的運算：對于一個合數n,(n)表示不是n的素因數的最小素數，如(4)=3,(12)=5.那么(60)+(84)的值是.【答案】12試題分析：因為60=2x2x3x5,所以(60)=7,因為84=2x2x3x7,所以(84)=5,所以(60)+(84)=7+5=12.考點：分解因數.例7.(2020?上海市靜安區實驗中學課時練習)用短除法分解下面各數的素因數.⑴32 ⑵63 (3)85【答案】(1)32=2x2x2x2x2,(2)63=3x3x7,(3)85=5x17【分析】根據短除法分別對32,63,85進行分解，得到多個素因數相乘的形式，過程中要檢查得數是否為素數即可.【詳解】2[322[162[82[42所以32=2x2x2x2x2；3[633|217所以63=3x3x7；5185（3）」17所以85=5x17.【點睛】考查利用短除法分解素因數的方法，學生