第31頁（共58頁）2018年北京市中考數學試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）（2018?北京）下列幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．2．（2分）（2018?北京）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞03．（2分）（2018?北京）方程組的解為（）A． B． C． D．4．（2分）（2018?北京）被譽為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST的反射面總面積相當于35個標準足球場的總面積．已知每個標準足球場的面積為7140m2，則FAST的反射面總面積約為（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m25．（2分）（2018?北京）若正多邊形的一個外角是60°，則該正多邊形的內角和為（）A．360° B．540° C．720° D．900°6．（2分）（2018?北京）如果a﹣b=2，那么代數式（﹣b）?的值為（）A． B．2 C．3 D．47．（2分）（2018?北京）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）（2018?北京）如圖是老北京城一些地點的分布示意圖．在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，有如下四個結論：①當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣6，﹣3）時，表示左安門的點的坐標為（5，﹣6）；②當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣12，﹣6）時，表示左安門的點的坐標為（10，﹣12）；③當表示天安門的點的坐標為（1，1），表示廣安門的點的坐標為（﹣11，﹣5）時，表示左安門的點的坐標為（11，﹣11）；④當表示天安門的點的坐標為（1.5，1.5），表示廣安門的點的坐標為（﹣16.5，﹣7.5）時，表示左安門的點的坐標為（16.5，﹣16.5）．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）（2018?北京）如圖所示的網格是正方形網格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）（2018?北京）若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．11．（2分）（2018?北京）用一組a，b，c的值說明命題“若a＜b，則ac＜bc”是錯誤的，這組值可以是a=，b=，c=．12．（2分）（2018?北京）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=．13．（2分）（2018?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若AB=4，AD=3，則CF的長為．14．（2分）（2018?北京）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數據，統計如下：公交車用時公交車用時的頻數線路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合計A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期間，乘坐（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大．15．（2分）（2018?北京）某公園劃船項目收費標準如下：船型兩人船（限乘兩人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小時）90100130150某班18名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，則租船的總費用最低為元．16．（2分）（2018?北京）2017年，部分國家及經濟體在全球的創新綜合排名、創新產出排名和創新效率排名情況如圖所示，中國創新綜合排名全球第22，創新效率排名全球第．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）（2018?北京）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；②在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據小東設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依據）．18．（5分）（2018?北京）計算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5分）（2018?北京）解不等式組：20．（5分）（2018?北京）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．21．（5分）（2018?北京）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的長．22．（5分）（2018?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD．（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長．23．（6分）（2018?北京）在平面直角坐標系xOy中，函數y=（x＞0）的圖象G經過點A（4，1），直線l：y=+b與圖象G交于點B，與y軸交于點C．（1）求k的值；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區域（不含邊界）為w．①當b=﹣1時，直接寫出區域W內的整點個數；②若區域W內恰有4個整點，結合函數圖象，求b的取值范圍．24．（6分）（2018?北京）如圖，Q是與弦AB所圍成的圖形的內部的一定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交于點C，連接AC．已知AB=6cm，設A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm．小騰根據學習函數的經驗，分別對函數y1，y2隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．下面是小騰的探究過程，請補充完整：（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應值；x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1），（x，y2），并畫出函數y1，y2的圖象；（3）結合函數圖象，解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm．25．（6分）（2018?北京）某年級共有300名學生．為了解該年級學生A，B兩門課程的學習情況，從中隨機抽取60名學生進行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．A課程成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A課程成績在70≤x＜80這一組的是：707171717676777878.578.579797979.5c．A，B兩門課程成績的平均數、中位數、眾數如下：課程平均數中位數眾數A75.8m84.5B72.27083根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在此次測試中，某學生的A課程成績為76分，B課程成績為71分，這名學生成績排名更靠前的課程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假設該年級學生都參加此次測試，估計A課程成績跑過75.8分的人數．26．（6分）（2018?北京）在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx﹣3a經過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的對稱軸；（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍．27．（7分）（2018?北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．28．（7分）（2018?北京）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“閉距離“，記作d（M，N）．已知點A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（點O，△ABC）；（2）記函數y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的圖象為圖形G．若d（G，△ABC）=1，直接寫出k的取值范圍；（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接寫出t的取值范圍．

2018年北京市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）（2018?北京）下列幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．【考點】I1：認識立體圖形．【專題】1：常規題型；55：幾何圖形．【分析】根據立體圖形的定義及其命名規則逐一判斷即可．【解答】解：A、此幾何體是圓柱體；B、此幾何體是圓錐體；C、此幾何體是正方體；D、此幾何體是四棱錐；故選：A．【點評】本題主要考查立體圖形，解題的關鍵是認識常見的立體圖形，如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內．2．（2分）（2018?北京）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【考點】15：絕對值；29：實數與數軸．【專題】1：常規題型．【分析】本題由圖可知，a、b、c絕對值之間的大小關系，從而判斷四個選項的對錯．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正確；又∵a＜0c＞0∴ac＜0∴C不正確；又∵a＜﹣3c＜3∴a+c＜0∴D不正確；又∵c＞0b＜0∴c﹣b＞0∴B正確；故選：B．【點評】本題主要考查了實數的絕對值及加減計算之間的關系，關鍵是判斷正負．3．（2分）（2018?北京）方程組的解為（）A． B． C． D．【考點】98：解二元一次方程組．【專題】52：方程與不等式．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，將y=﹣1代入①得：x=2，則方程組的解為；故選：D．【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（2分）（2018?北京）被譽為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST的反射面總面積相當于35個標準足球場的總面積．已知每個標準足球場的面積為7140m2，則FAST的反射面總面積約為（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2【考點】1A：有理數的減法；1I：科學記數法—表示較大的數．【分析】先計算FAST的反射面總面積，再根據科學記數法表示出來，科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于249900≈250000有6位，所以可以確定n=6﹣1=5．【解答】解：根據題意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故選：C．【點評】此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵．5．（2分）（2018?北京）若正多邊形的一個外角是60°，則該正多邊形的內角和為（）A．360° B．540° C．720° D．900°【考點】L3：多邊形內角與外角．【專題】555：多邊形與平行四邊形．【分析】根據多邊形的邊數與多邊形的外角的個數相等，可求出該正多邊形的邊數，再由多邊形的內角和公式求出其內角和；根據一個外角得60°，可知對應內角為120°，很明顯內角和是外角和的2倍即720．【解答】解：該正多邊形的邊數為：360°÷60°=6，該正多邊形的內角和為：（6﹣2）×180°=720°．故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟練掌握多邊形的外角和與內角和公式是解答本題的關鍵．6．（2分）（2018?北京）如果a﹣b=2，那么代數式（﹣b）?的值為（）A． B．2 C．3 D．4【考點】6D：分式的化簡求值．【專題】11：計算題；513：分式．【分析】先將括號內通分，再計算括號內的減法、同時將分子因式分解，最后計算乘法，繼而代入計算可得．【解答】解：原式=（﹣）?=?=，當a﹣b=2時，原式==，故選：A．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．7．（2分）（2018?北京）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y=ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【考點】HE：二次函數的應用．【專題】33：函數思想．【分析】將點（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函數解析式，求得系數的值；然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案．【解答】解：根據題意知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），則解得，所以x=﹣==15（m）．故選：B．【點評】考查了二次函數的應用，此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法求得頂點式方程，然后直接得到拋物線頂點坐標，由頂點坐標推知該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離．8．（2分）（2018?北京）如圖是老北京城一些地點的分布示意圖．在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，有如下四個結論：①當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣6，﹣3）時，表示左安門的點的坐標為（5，﹣6）；②當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣12，﹣6）時，表示左安門的點的坐標為（10，﹣12）；③當表示天安門的點的坐標為（1，1），表示廣安門的點的坐標為（﹣11，﹣5）時，表示左安門的點的坐標為（11，﹣11）；④當表示天安門的點的坐標為（1.5，1.5），表示廣安門的點的坐標為（﹣16.5，﹣7.5）時，表示左安門的點的坐標為（16.5，﹣16.5）．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④【考點】D3：坐標確定位置．【專題】1：常規題型；531：平面直角坐標系．【分析】由天安門和廣安門的坐標確定出每格表示的長度，再進一步得出左安門的坐標即可判斷．【解答】解：①當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣6，﹣3）時，表示左安門的點的坐標為（5，﹣6），此結論正確；②當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣12，﹣6）時，表示左安門的點的坐標為（10，﹣12），此結論正確；③當表示天安門的點的坐標為（1，1），表示廣安門的點的坐標為（﹣5，﹣2）時，表示左安門的點的坐標為（11，﹣11），此結論正確；④當表示天安門的點的坐標為（1.5，1.5），表示廣安門的點的坐標為（﹣16.5，﹣7.5）時，表示左安門的點的坐標為（16.5，﹣16.5），此結論正確．故選：D．【點評】本題主要考查坐標確定位置，解題的關鍵是確定原點位置及各點的橫縱坐標．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）（2018?北京）如圖所示的網格是正方形網格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【考點】T2：銳角三角函數的增減性．【專題】55E：解直角三角形及其應用．【分析】作輔助線，構建三角形及高線NP，先利用面積法求高線PN=，再分別求∠BAC、∠DAE的正弦，根據正弦值隨著角度的增大而增大，作判斷．【解答】解：連接NH，BC，過N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH?NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值隨著角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案為：＞．【點評】本題考查了銳角三角函數的增減性，構建直角三角形求角的三角函數值進行判斷，熟練掌握銳角三角函數的增減性是關鍵．10．（2分）（2018?北京）若在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是x≥0．【考點】72：二次根式有意義的條件．【專題】514：二次根式．【分析】根據二次根式有意義的條件可求出x的取值范圍．【解答】解：由題意可知：x≥0．故答案為：x≥0．【點評】本題考查二次根式有意義，解題的關鍵正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎題型．11．（2分）（2018?北京）用一組a，b，c的值說明命題“若a＜b，則ac＜bc”是錯誤的，這組值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【考點】O1：命題與定理．【專題】17：推理填空題．【分析】根據題意選擇a、b、c的值即可．【解答】解：當a=1，b=2，c=﹣2時，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命題“若a＜b，則ac＜bc”是錯誤的，故答案為：1；2；﹣1．【點評】本題考查了命題與定理，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．12．（2分）（2018?北京）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=70°．【考點】M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理；M6：圓內接四邊形的性質．【專題】1：常規題型．【分析】直接利用圓周角定理以及結合三角形內角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，進而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案為：70°．【點評】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內角和定理，正確得出∠ABD度數是解題關鍵．13．（2分）（2018?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若AB=4，AD=3，則CF的長為．【考點】LB：矩形的性質；S9：相似三角形的判定與性質．【專題】556：矩形菱形正方形；55D：圖形的相似．【分析】根據矩形的性質可得出AB∥CD，進而可得出∠FAE=∠FCD，結合∠AFE=∠CFD（對頂角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性質可得出==2，利用勾股定理可求出AC的長度，再結合CF=?AC，即可求出CF的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=?AC=×5=．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理，利用相似三角形的性質找出CF=2AF是解題的關鍵．14．（2分）（2018?北京）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數據，統計如下：公交車用時公交車用時的頻數線路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合計A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期間，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大．【考點】V7：頻數（率）分布表；X2：可能性的大?。緦ｎ}】1：常規題型；543：概率及其應用．【分析】分別計算出用時不超過45分鐘的可能性大小即可得．【解答】解：∵A線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為=0.752，B線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為=0.444，C線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為=0.954，∴C線路上公交車用時不超過45分鐘的可能性最大，故答案為：C．【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握頻數估計概率思想的運用．15．（2分）（2018?北京）某公園劃船項目收費標準如下：船型兩人船（限乘兩人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小時）90100130150某班18名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，則租船的總費用最低為380元．【考點】1G：有理數的混合運算．【專題】32：分類討論．【分析】分四類情況，分別計算即可得出結論．【解答】解：∵共有18人，當租兩人船時，∴18÷2=9（艘），∵每小時90元，∴租船費用為90×9=810元，當租四人船時，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘兩人船，∵四人船每小時100元，∴租船費用為100×4+90=490元，當租六人船時，∵18÷6=3（艘），∵每小時130元，∴租船費用為130×3=390元，當租八人船時，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘兩人船，∵8人船每小時150元，當租1艘四人船，1艘6人船，1一艘8人船，100+130+150=380元∴租船費用為150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘兩人船費用最低是380元，故答案為：380．【點評】此題主要考查了有理數的運算，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．16．（2分）（2018?北京）2017年，部分國家及經濟體在全球的創新綜合排名、創新產出排名和創新效率排名情況如圖所示，中國創新綜合排名全球第22，創新效率排名全球第3．【考點】D1：點的坐標．【專題】531：平面直角坐標系．【分析】兩個排名表相互結合即可得到答案．【解答】解：根據中國創新綜合排名全球第22，在坐標系中找到對應的中國創新產出排名為第11，再根據中國創新產出排名為第11在另一排名中找到創新效率排名為第3故答案為：3【點評】本題考查平面直角坐標系中點的坐標確定問題，解答時注意根據具體題意確定點的位置和坐標．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）（2018?北京）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；②在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；③作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據小東設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位線定理）（填推理的依據）．【考點】JB：平行線的判定與性質；N3：作圖—復雜作圖．【專題】13：作圖題．【分析】（1）根據題目要求作出圖形即可；（2）利用三角形中位線定理證明即可；【解答】（1）解：直線PQ如圖所示；（2）證明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位線定理）．故答案為：AP，CQ，三角形中位線定理；【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（5分）（2018?北京）計算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；T5：特殊角的三角函數值．【專題】1：常規題型．【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及零指數冪的性質和二次根式的性質分別化簡得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．19．（5分）（2018?北京）解不等式組：【考點】CB：解一元一次不等式組．【專題】1：常規題型．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式組的解集為﹣2＜x＜3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據不等式的解集得出不等式組的解集是解此題的關鍵．20．（5分）（2018?北京）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．【考點】AA：根的判別式．【專題】11：計算題．【分析】（1）計算判別式的值得到△=a2+4，則可判斷△＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況；（2）利用方程有兩個相等的實數根得到△=b2﹣4a=0，設b=2，a=1，方程變形為x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有兩個不相等的實數根；（2）∵方程有兩個相等的實數根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，則方程變形為x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．21．（5分）（2018?北京）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的長．【考點】IJ：角平分線的定義；JA：平行線的性質；KQ：勾股定理；LA：菱形的判定與性質．【專題】11：計算題．【分析】（1）先判斷出∠OAB=∠DCA，進而判斷出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出結論；（2）先判斷出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出結論．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴?ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【點評】此題主要考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，角平分線的定義，勾股定理，判斷出CD=AD=AB是解本題的關鍵．22．（5分）（2018?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD．（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長．【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質．【專題】14：證明題．【分析】（1）先判斷出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出結論；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等邊三角形，最后用銳角三角函數即可得出結論．【解答】解：（1）連接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切線，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如圖，連接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等邊三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質，切線的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，正確作出輔助線是解本題的關鍵．23．（6分）（2018?北京）在平面直角坐標系xOy中，函數y=（x＞0）的圖象G經過點A（4，1），直線l：y=+b與圖象G交于點B，與y軸交于點C．（1）求k的值；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區域（不含邊界）為w．①當b=﹣1時，直接寫出區域W內的整點個數；②若區域W內恰有4個整點，結合函數圖象，求b的取值范圍．【考點】G8：反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】31：數形結合；32：分類討論．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直線OA的解析式為：y=x，可知直線l與OA平行，①將b=﹣1時代入可得：直線解析式為y=x﹣1，畫圖可得整點的個數；②分兩種情況：直線l在OA的下方和上方，畫圖計算邊界時點b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①當b=﹣1時，直線解析式為y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，則B（2+2，），而C（0，﹣1），如圖1所示，區域W內的整點有（1，0），（2，0），（3，0），有3個；②如圖2，直線l在OA的下方時，當直線l：y=+b過（1，﹣1）時，b=﹣，且經過（5，0），∴區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1．如圖3，直線l在OA的上方時，∵點（2，2）在函數y=（x＞0）的圖象G，當直線l：y=+b過（1，2）時，b=，當直線l：y=+b過（1，3）時，b=，∴區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是＜b≤．綜上所述，區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【點評】本題考查了新定義和反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，本題理解整點的定義是關鍵，并利用數形結合的思想．24．（6分）（2018?北京）如圖，Q是與弦AB所圍成的圖形的內部的一定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交于點C，連接AC．已知AB=6cm，設A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm．小騰根據學習函數的經驗，分別對函數y1，y2隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．下面是小騰的探究過程，請補充完整：（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應值；x/cm0123456y1/cm5.624.673.7632.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1），（x，y2），并畫出函數y1，y2的圖象；（3）結合函數圖象，解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為3或4.91或5.77cm．【考點】E7：動點問題的函數圖象．【專題】53：函數及其圖象．【分析】（1）利用圓的半徑相等即可解決問題；（2）利用描點法畫出圖象即可．（3）圖中尋找直線y=x與兩個函數的交點的橫坐標以及y1與y2的交點的橫坐標即可；【解答】解：（1）∵PA=6時，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB是直徑．當x=3時，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案為3．（2）函數圖象如圖所示：（3）觀察圖象可知：當x=y，即當PA=PC或PA=AC時，x=3或4.91，當y1=y2時，即PC=AC時，x=5.77，綜上所述，滿足條件的x的值為3或4.91或5.77．故答案為3或4.91或5.77．【點評】本題考查動點問題函數圖象、圓的有關知識，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（6分）（2018?北京）某年級共有300名學生．為了解該年級學生A，B兩門課程的學習情況，從中隨機抽取60名學生進行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．A課程成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A課程成績在70≤x＜80這一組的是：707171717676777878.578.579797979.5c．A，B兩門課程成績的平均數、中位數、眾數如下：課程平均數中位數眾數A75.8m84.5B72.27083根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在此次測試中，某學生的A課程成績為76分，B課程成績為71分，這名學生成績排名更靠前的課程是B（填“A“或“B“），理由是該學生的成績小于A課程的中位數，而大于B課程的中位數，（3）假設該年級學生都參加此次測試，估計A課程成績跑過75.8分的人數．【考點】V5：用樣本估計總體；V8：頻數（率）分布直方圖；W2：加權平均數；W4：中位數；W5：眾數．【專題】1：常規題型；542：統計的應用．【分析】（1）先確定A課程的中位數落在第4小組，再由此分組具體數據得出第30、31個數據的平均數即可；（2）根據兩個課程的中位數定義解答可得；（3）用總人數乘以樣本中超過75.8分的人數所占比例可得．【解答】解：（1）∵A課程總人數為2+6+12+14+18+8=60，∴中位數為第30、31個數據的平均數，而第30、31個數據均在70≤x＜80這一組，∴中位數在70≤x＜80這一組，∵70≤x＜80這一組的是：707171717676777878.578.579797979.5，∴A課程的中位數為=78.75，即m=78.75；（2）∵該學生的成績小于A課程的中位數，而大于B課程的中位數，∴這名學生成績排名更靠前的課程是B，故答案為：B、該學生的成績小于A課程的中位數，而大于B課程的中位數．（3）估計A課程成績跑過75.8分的人數為300×=180人．【點評】本題主要考查頻數分布直方圖、中位數及樣本估計總體，解題的關鍵是根據直方圖得出解題所需數據及中位數的定義和意義、樣本估計總體思想的運用．26．（6分）（2018?北京）在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx﹣3a經過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的對稱軸；（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍．【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征；H4：二次函數圖象與系數的關系；H5：二次函數圖象上點的坐標特征；HA：拋物線與x軸的交點；Q3：坐標與圖形變化﹣平移．【專題】535：二次函數圖象及其性質．【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據平移的性質可求點C的坐標；（2）根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；（3）結合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．【解答】解：（1）與y軸交點：令x=0代入直線y=4x+4得y=4，∴B（0，4），∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，∴C（5，4）；（2）與x軸交點：令y=0代入直線y=4x+4得x=﹣1，∴A（﹣1，0），∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，將點A（﹣1，0）代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中得0=a﹣b﹣3a，即b=﹣2a，∴拋物線的對稱軸x=﹣=﹣=1；（3）∵拋物線y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）且對稱軸x=1，由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（3，0），①a＞0時，如圖1，將x=0代入拋物線得y=﹣3a，∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，∴﹣3a＜4，a＞﹣，將x=5代入拋物線得y=12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0時，如圖2，將x=0代入拋物線得y=﹣3a，∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，4），如圖3，將點（1，4）代入拋物線得4=a﹣2a﹣3a，解得a=﹣1．綜上所述，a≥或a＜﹣或a=﹣1．【點評】本題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數的性質以及解一元一次不等式，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次方程，待定系數法求拋物線解析式．本題屬于中檔題，難度不大，但涉及知識點較多，需要對二次函數足夠了解才能快捷的解決問題．27．（7分）（2018?北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．【考點】KD：全等三角形的判定與性質；LE：正方形的性質；P2：軸對稱的性質．【專題】14：證明題．【分析】（1）如圖1，連接DF，根據對稱得：△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得結論；（2）證法一：如圖2，作輔助線，構建AM=AE，先證明∠EDG=45°，得DE=EH，證明△DME≌△EBH，則EM=BH，根據等腰直角△AEM得：EM=AE，得結論；證法二：如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再說明△BNH是等腰直角三角形，可得結論．【解答】證明：（1）如圖1，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵點A關于直線DE的對稱點為F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：證法一：如圖2，在線段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；證法二：如圖3，過點H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定定理和性質定理，對稱的性質，等腰直角三角形的性質等知識，解決本題的關鍵是利用正方形的性質得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關鍵．28．（7分）（2018?北京）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“閉距離“，記作d（M，N）．已知點A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（點O，△ABC）；（2）記函數y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的圖象為圖形G．若d（G，△ABC）=1，直接寫出k的取值范圍；（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接寫出t的取值范圍．【考點】MR：圓的綜合題．【專題】15：綜合題；55A：與圓有關的位置關系．【分析】（1）根據點A、B、C三點的坐標作出△ABC，利用“閉距離”的定義即可得；（2）由題意知y=kx在﹣1≤x≤1范圍內函數圖象為過原點的線段，再分別求得經過（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）時k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左側、內部和右側三種情況，利用“閉距離”的定義逐一判斷即可得．【解答】解：（1）如圖所示，點O到△ABC的距離的最小值為2，∴d（點O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）經過原點，在﹣1≤x≤1范圍內，函數圖象為線段，當y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）經過（1，﹣1）時，k=﹣1，此時d（G，△ABC）=1；當y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）經過（﹣1，﹣1）時，k=1，此時d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T與△ABC的位置關系分三種情況：①當⊙T在△ABC的左側時，由d（⊙T，△ABC）=1知此時t=﹣4；②當⊙T在△ABC內部時，當點T與原點重合時，d（⊙T，△ABC）=1，知此時t=0；當點T位于T3位置時，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2，∵AB=BC=8、∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°，則T3D===2，∴t=4﹣2，故此時0≤t≤4﹣2；③當⊙T在△ABC右邊時，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2，∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D===2，∴t=4+2；綜上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2或t=4+2．【點評】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是理解并掌握“閉距離”的定義與直線與圓的位置關系和分類討論思想的運用．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值．①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數．③有理數的絕對值都是非負數．（2）如果用字母a表示有理數，則數a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）2．有理數的減法（1）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數．即：a﹣b=a+（﹣b）（2）方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數的符號；②將有理數轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數的性質符號（減數變相反數）；【注意】：在有理數減法運算時，被減數與減數的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數都不變，0減任何數應依法則進行計算．3．有理數的混合運算（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．4．科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．5．實數與數軸（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。?．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．7．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．8．零指數冪零指數冪：a0=1（a≠0）由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．9．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數的取值范圍．二次根式中的被開方數是非負數．（3）二次根式具有非負性．a（a≥0）是一個非負數．學習要求：能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關問題．【規律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．10．解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來．②將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯立起來，就是方程組的解．（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相等或互為相反數．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數的值．④將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值．⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，就得到原方程組的解，用{x=ax=b的形式表示．11．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．12．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．解集的規律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．13．點的坐標（1）我們把有順序的兩個數a和b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）．（2）平面直角坐標系的相關概念①建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內畫；兩條有公共原點且垂直的數軸．②各部分名稱：水平數軸叫x軸（橫軸），豎直數軸叫y軸（縱軸），x軸一般取向右為正方向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點叫坐標系的原點．它既屬于x軸，又屬于y軸．（3）坐標平面的劃分建立了坐標系的平面叫做坐標平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐標軸上的點不屬于任何一個象限．（4）坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的關系．14．坐標確定位置平面內特殊位置的點的坐標特征（1）各象限內點P（a，b）的坐標特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標軸上點P（a，b）的坐標特征：①x軸上：a為任意實數，b=0；②y軸上：b為任意實數，a=0；③坐標原點：a=0，b=0．（3）兩坐標軸夾角平分線上點P（a，b）的坐標特征：①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=﹣b．15．動點問題的函數圖象函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．16．一次函數圖象上點的坐標特征一次函數y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（﹣，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）．直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y=kx+b．17．反比例函數與一次函數的交點問題反比例函數與一次函數的交點問題（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數y=k1x和反比例函數y=在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：①當k1與k2同號時，正比例函數y=k1x和反比例函數y=在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數y=k1x和反比例函數y=在同一直角坐標系中有0個交點．18．二次函數圖象與系數的關系二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③．常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．19．二次函數圖象上點的坐標特征二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x=﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=．20．拋物線與x軸的交點求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數的交點式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．21．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．22．認識立體圖形（1）幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形．（2）立體圖形：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一個平面內，這就是立體圖形．（3）重點和難點突破：結合實物，認識常見的立體圖形，如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各部分不都在同一平面內．23．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規作圖法等，要注意積累，多動手實踐．24．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補．．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．25．平行線的判定與性質（1）平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．（2）應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質的聯系與區別區別：性質由形到數，用于推導角的關系并計算；判定由數到形，用于判定兩直線平行．聯系：性質與判定的已知和結論正好相反，都是角的關系與平行線相關．（4）輔助線規律，經常作出兩平行線平行的直線或作出聯系兩直線的截線，構造出三類角．26．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．27．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的變形有：a=，b=及c=．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．28．多邊形內角與外角（1）多邊形內角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360度．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角和永遠為360°．②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和=180°n﹣（n﹣2）?180°=360°．29．菱形的判定與性質（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．30．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．31．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．32．圓心角、弧、弦的關系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，選擇其有關部分．33．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．34．圓內接四邊形的性質（1）圓內接四邊形的性質：①圓內接四邊形的對角互補．②圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）．（2）圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．35．切線的性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的性質可總結如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質的運用由定理可知，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．36．圓的綜合題圓的綜合題．37．作圖—復雜作圖復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．38．命題與定理1、判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．3、定理是真命題，但真命題不一定是定理．4、命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論．5、命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何