-.z.第1講與有理數有關的概念經典·考題·賞析【例1】寫出下列各語句的實際意義⑴向前－7米⑵收人－50元⑶體重增加－3千克【解法指導】用正、負數表示實際問題中具有相反意義的量．而相反意義的量包合兩個要素：一是它們的意義相反．二是它們具有數量．而且必須是同類兩，如“向前與自后、收入與支出、增加與減少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶體重增加－3千克表示體重減小3千克.【變式題組】01．如果＋10%表示增加10%，則減少8%可以記作（）A．－18%B．－8%C．＋2%D．＋8%02．（）如果＋3噸表示運入倉庫的大米噸數，則運出5噸大米表示為()A．－5噸B．＋5噸C．－3噸D．＋3噸03．（）與紐約的時差－13（負號表示同一時刻紐約時間比晚）.如現在是時間l5：00，紐約時問是____【例２】在－eq\f(22,7)，π，這四個數中有理數的個數（)A．1個B．2個C．3個D．4個【解法指導】有理數的分類：⑴按正負性分類，有理數；按整數、分數分類，有理數；其中分數包括有限小數和無限循環小數，因為π＝3.1415926…是無限不循環小數，它不能寫成分數的形式，所以π不是有理數，－eq\f(22,7)是分數是無限循環小數可以化成分數形式，0是整數，所以都是有理數，故選C．【變式題組】01．在7，0．15，－eq\f(1,2)，－301.31.25，－eq\f(1,8)，100.l，－3001中，負分數為，整數為，正整數.02．（）請把下列各數填入圖中適當位置15，－eq\f(1,9)，eq\f(2,15)，－eq\f(13,8)，0.1．－5.32，123,2.333【例３】（）有一列數為－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)．－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)，…，找規律到第2007個數是.【解法指導】從一系列的數中發現規律，首先找出不變量和變量，再依變量去發現規律．擊歸納去猜想，然后進行驗證.解本題會有這樣的規律：⑴各數的分子部是1；⑵各數的分母依次為1，2，3，4，5，6，…⑶處于奇數位置的數是負數，處于偶數位置的數是正數，所以第2007個數的分子也是1．分母是2007，并且是一個負數，故答案為－eq\f(1,2007).【變式題組】01．（）數學解密：第一個數是3＝2＋1，第二個數是5＝3＋2，第三個數是9＝5＋4，第四十數是17＝9＋8…觀察并精想第六個數是.02．（）畢選哥拉斯學派發明了一種“馨折形”填數法，如圖則？填____.03．（）有一組數l，2，5，10，17，26…請觀察規律，則第8個數為____.【例４】（2008年）若l＋eq\f(m,2)eq\f(,)的相反數是－3，則m的相反數是____.【解法指導】理解相反數的代數意義和幾何意義，代數意義只有符號不同的兩個數叫互為相反數.幾何意義：在數軸上原點的兩旁且離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫互為相反數，本題eq\f(m,2)＝－4,m＝－8【變式題組】01．（）－5的相反數是()A．5B．eq\f(1,5)C．－5D．－eq\f(1,5)02．已知a與b互為相反數，c與d互為倒數，則a＋b＋cd＝______03．如圖為一個正方體紙盒的展開圖，若在其中的三個正方形A、B、C分別填人適當的數，使得它們折成正方體.若相對的面上的兩個數互為相反數，則填人正方形A、B、C的三個數依次為()A．－1,2，0B．0，－2，1C．－2，0，1D．2，1，0【例５】（）a、b為有理數，且a＞0，b＜0，|b|＞a，則a,b、－a,－b的大小順序是()A．b＜－a＜a＜－bB．–a＜b＜a＜－bC．–b＜a＜－a＜bD．–a＜a＜－b＜b【解法指導】理解絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是數軸上表示a的點到原點的距離,即|a|,用式子表示為|a|＝.本題注意數形結合思想，畫一條數軸標出a、b,依相反數的意義標出－b,－a,故選A．【變式題組】01．推理①若a＝b，則|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若a≠b，則|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，則a≠b，其中正確的個數為（）A．4個B．3個C．2個D．1個02．a、b、c三個數在數軸上的位置如圖，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝.03．a、b、c為不等于O的有理散，則eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)的值可能是____.【例６】（課改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，則eq\f(a+b,ab)的值.【解法指導】本題主要考查絕對值概念的運用，因為任何有理數a的絕對值都是非負數，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而兩個非負數之和為0，則兩數均為0.解：因為|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故eq\f(a+b,ab)＝eq\f(12,32)＝eq\f(3,8)【變式題組】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．02．（）若|m－3|＋|n＋2|＝0，則m＋2n的值為()A．－4B．－1C．0D．403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值【例７】（第l8屆迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．【解法指導】本例關鍵是通過分析(m＋n)2＋|m|的符號，挖掘出m的符號特征,從而把問題轉化為(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解題途徑.解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥O∴(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m∴m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0∴m＋n＝O①又∵|2m－n－2|＝0∴2m－n－2＝0②由①②得m＝eq\f(2,3)，n＝－eq\f(2,3)，∴mn＝－eq\f(4,9)【變式題組】01．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－B．02．（第16屆迎春杯）已知y＝|*－a|＋|*＋19|＋|*－a－96|，如果19＜a＜96．a≤*≤96,求y的最大值.演練鞏固·反饋提高01．觀察下列有規律的數eq\f(1,2),eq\f(1,6),eq\f(1,12),eq\f(1,20),eq\f(1,30),eq\f(1,42)…根據其規律可知第9個數是()A．eq\f(1,56)B．eq\f(1,72)C．eq\f(1,90)D．eq\f(1,110)02．（）－6的絕對值是()A．6B．－6C．eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)03．在－eq\f(22,7),π,8.四個數中，有理數的個數為()A．1個B．2個C．3個D．4個04．若一個數的相反數為a＋b，則這個數是()A．a－bB．b－aC．–a＋bD．–a－b05．數軸上表示互為相反數的兩點之間距離是6，這兩個數是()A．0和6B．0和－6C．3和－3D．0和306．若－a不是負數，則a()A．是正數B．不是負數C．是負數D．不是正數07．下列結論中，正確的是()①若a＝b,則|a|＝|b|②若a＝－b,則|a|＝|b|③若|a|＝|b|，則a＝－b④若|a|＝|b|,則a＝bA．①②B．③④C．①④D．②③08．有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示,則a、b，－a，|b|的大小關系正確的是()A．|b|＞a＞－a＞bB．|b|＞b＞a＞－aC．a＞|b|＞b＞－aD．a＞|b|＞－a＞b09．一個數在數軸上所對應的點向右移動5個單位后，得到它的相反數的對應點，則這個數是____.10．已知|*＋2|＋|y＋2|＝0，則*y＝____.11．a、b、c三個數在數軸上的位置如圖，求eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|abc|,abc)＋eq\f(|c|,c)12．若三個不相等的有理數可以表示為1、a、a＋b也可以表示成0、b、eq\f(b,a)的形式，試求a、b的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．14．|a|具有非負性，也有最小值為0，試討論：當*為有理數時，|*－l|＋|*－3|有沒有最小值，如果有，求出最小值；如果沒有，說明理由.15．點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|．當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|

當A、B兩點都不在原點時有以下三種情況:

①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a－b|．回答下列問題:⑴數軸上表示2和5的兩點之間的距離是,數軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是,，數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是；⑵數軸上表示*和－1的兩點分別是點A和B，則A、B之間的距離是，如果|AB|＝2，則*＝；⑶當代數式|*＋1|＋|*－2|取最小值時，相應的*的取值圍是．培優升級·奧賽檢測01．（市競賽題）在數軸上任取一條長度為1999eq\f(1,9)的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數是()A．1998B．1999C．2000D．200102．（第l8屆希望杯邀請賽試題）在數軸上和有理數a、b、c對應的點的位置如圖所示，有下列四個結論：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正確的結論有()A．4個B．3個C．2個D．1個03．如果a、b、c是非零有理數，且a＋b＋c＝0．則eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)＋eq\f(abc,|abc|)的所有可能的值為（）A．－1B．1或－1C．2或－2D．0或－204．已知|m|＝－m，化簡|m－l|－|m－2|所得結果()A．－1B．1C．2m－3D．3－2m05．如果0＜p＜15，則代數式|*－p|＋|*－15|＋|*－p－15|在p≤*≤15的最小值()A．30B．0C．15D．一個與p有關的代數式06．|*＋1|＋|*－2|＋|*－3|的最小值為.07．若a＞0，b＜0，使|*－a|＋|*－b|＝a－b成立的*取值圍.08．（市選拔賽試題）非零整數m、n滿足|m|＋|n|－5＝0所有這樣的整數組(m，n)共有組09．若非零有理數m、n、p滿足eq\f(|m|,m)＋eq\f(|n|,n)＋eq\f(|p|,p)＝1．則eq\f(2mnp,|3mnp|)＝.10．（19屆希望杯試題）試求|*－1|＋|*－2|＋|*－3|＋…＋|*－1997|的最小值.11．已知(|*＋l|＋|*－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求*＋2y＋3的最大值和最小值.12．電子跳蚤落在數軸上的*點k0，第一步從k0向左跳1個單位得k1，第二步由k1向右跳2個單位到k2，第三步由k2向左跳3個單位到k3，第四步由k3向右跳4個單位到k4…按以上規律跳100步時，電子跳蚤落在數軸上的點k100新表示的數恰好19.94，試求k0所表示的數.13．*城鎮，沿環形路上依次排列有五所小學，它們順扶有電腦15臺、7臺、1l臺、3臺，14臺，為使各學校里電腦數相同，允許一些小學向相鄰小學調出電腦，問怎樣調配才能使調出的電腦總臺數最小？并求出調出電腦的最少總臺數.第02講有理數的加減法經典·考題·賞析【例１】（）*天股票A開盤價18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盤時又漲了0.3元，則股票A這天的收盤價為（）A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元【解法指導】將實際問題轉化為有理數的加法運算時，首先將具有相反意義的量確定一個為正，另一個為負，其次在計算時正確選擇加法法則，是同號相加，取相同符號并用絕對值相加，是異號相加，取絕對值較大符號，并用較大絕對值減去較小絕對值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故選C．【變式題組】01．今年省元月份*一天的天氣預報中，市最低氣溫為－6℃，市最低氣溫2℃，這一天市的最低氣溫比低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（）飛機的高度為2400米，上升250米，又下降了327米，這是飛機的高度為__________03．（）珠穆朗瑪峰海拔8848m，吐魯番海拔高度為－155m，則它們的平均海拔高度為__________【例２】計算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指導】應用加法運算簡化運算，－83與－17相加可得整百的數，＋26與－26互為相反數，相加為0，有理數加法常見技巧有：⑴互為相反數結合一起；⑵相加得整數結合一起；⑶同分母的分數或容易通分的分數結合一起；⑷相同符號的數結合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【變式題組】01．（－2.5）＋（－3）＋（－1）＋（－1）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋3＋（－3）＋11＋（－0.25）【例３】計算【解法指導】依進行裂項，然后鄰項相消進行化簡求和.解：原式＝＝＝＝【變式題組】01．計算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形等分成兩個面積為的正方形，再把面積為的正方形等分成兩個面積為的長方形，如此進行下去，試利用圖形揭示的規律計算＝__________.【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，則下列關系中正確的是（）A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－a＞b＞－bC．b＞a＞－b＞－aD．－a＞b＞－b＞a【解法指導】緊扣有理數加法法則，由兩加數及其和的符號，確定兩加數的絕對值的大小，然后根據相反數的關系將它們在同一數軸上表示出來，即可得出結論.解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是異號兩數之和又a＋b＜0，∴a、b中負數的絕對值較大，∴|a|＞|b|將a、b、－a、－b表示在同一數軸上，如圖，則它們的大小關系是－a＞b＞－b＞a【變式題組】01．若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，則m＋n________0.（填＞、＜號）02．若m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，則m＋n________0.（填＞、＜號）03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且|c|＞|b|＞|a|，試比較a、b、c、a＋b、a＋c的大小【例５】4－（－33）－（－1.6）－（－21）【解法指導】有理數減法的運算步驟：⑴依有理數的減法法則，把減號變為加號，并把減數變為它的相反數；⑵利用有理數的加法法則進行運算.解：4－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61【變式題組】01．02．4－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43）＋153－12.79【例６】試看下面一列數：25、23、21、19…⑴觀察這列數，猜想第10個數是多少？第n個數是多少？⑵這列數中有多少個數是正數？從第幾個數開始是負數？⑶求這列數中所有正數的和.【解法指導】尋找一系列數的規律，應該從特殊到一般，找到前面幾個數的規律，通過觀察推理、猜想出第n個數的規律，再用其它的數來驗證.解：⑴第10個數為7，第n個數為25－2(n－1)⑵∵n＝13時，25－2(13－1)＝1，n＝14時，25－2(14－1)＝－1故這列數有13個數為正數，從第14個數開始就是負數.⑶這列數中的正數為25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【變式題組】01．()觀察下列等式1－＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你發現的規律，解答下列問題.⑴寫出第5個等式；⑵第10個等式右邊的分數的分子與分母的和是多少？02．觀察下列等式的規律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用關于n（n≥1的自然數）的等式表示這個規律；⑵當這個等式的右邊等于2008時求n.【例７】（第十屆希望杯競賽試題）求＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋…＋（＋＋…＋＋）【解法指導】觀察式中數的特點發現：若括號在加上相同的數均可合并成1，由此我們采取將原式倒序后與原式相加，這樣極大簡化計算了.解：設S＝＋（＋）＋（＋＋）＋…＋（＋＋…＋＋）則有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋…＋（＋＋…＋＋）將原式和倒序再相加得2S＝＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋…＋（＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225∴S＝【變式題組】01．計算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8屆希望杯試題）計算（1－－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋）演練鞏固·反饋提高01．m是有理數，則m＋|m|（）A．可能是負數 B．不可能是負數 C．比是正數 D．可能是正數，也可能是負數02．如果|a|＝3，|b|＝2，則|a＋b|為（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2這三個數中，任意兩數之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．兩個有理數的和是正數，下面說法中正確的是（）A．兩數一定都是正數 B．兩數都不為0 C．至少有一個為負數 D．至少有一個為正數05．下列等式一定成立的是（）A．|*|－*＝0 B．－*－*＝0 C．|*|＋|－*|＝0 D．|*|－|*|＝006．一天早晨的氣溫是－6℃，中午又上升了10℃，午間又下降了8℃，則午夜氣溫是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，則|a－(－a)|等于（）A．－aB．0 C．2aD．－2a08．設*是不等于0的有理數，則值為（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－209．（）2＋(－2)的值為__________10．用含絕對值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,則b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，則|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，則a－b＝__________11．計算下列各題：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－3＋2.75－7⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－|12．計算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．*檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，規定前進為正，后退為負，*天從A地出發到收工時所走的路線（單位：千米）為：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴問收工時距離A地多遠？⑵若每千米耗油0.2千克，問從A地出發到收工時共耗油多少千克？14．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的……以此類推，直到最后減去余下的，最后的得數是多少？15．獨特的埃及分數：埃及同中國一樣，也是世界著名的文明古國，古代埃及人處理分數與眾不同，他們一般只使用分子為1的分數，例如＋來表示，用＋＋表示等等.現有90個埃及分數：，，，，…，，你能從中挑出10個，加上正、負號，使它們的和等于－1嗎？培優升級·奧賽檢測01．（第16屆希望杯邀請賽試題）等于（）A．B．C．D．02．自然數a、b、c、d滿足＋＋＋＝1，則＋＋＋等于（）A．B．C．D．03．（第17屆希望杯邀請賽試題）a、b、c、d是互不相等的正整數，且abcd＝441，則a＋b＋c＋d值是（）A．30 B．32 C．34 D．3604．（第7屆希望杯試題）若a＝，b＝，c＝，則a、b、c大小關系是（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．a＜c＜b05．的值得整數部分為（）A．1 B．2 C．3 D．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值為（）A．－22003B．22003C．－22004D．2200407．（希望杯邀請賽試題）若|m|＝m＋1，則(4m＋1)2004＝__________08．＋（＋）＋（＋＋）＋…＋（＋＋…＋）＝__________09．＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得數的末位數字為__________12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．13．計算(－1)(－1)(－1)…(－1)(－1)14．請你從下表歸納出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并計算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03講有理數的乘除、乘方經典·考題·賞析【例１】計算⑴⑵⑶⑷⑸【解法指導】掌握有理數乘法法則，正確運用法則，一是要體會并掌握乘法的符號規律，二是細心、穩妥、層次清楚，即先確定積的符號，后計算絕對值的積.解：⑴⑵⑶⑷⑸【變式題組】01．⑴⑵⑶⑷⑸02．3．04．【例２】已知兩個有理數a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，則（）A．a＞0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a、b異號D．a、b異號且負數的絕對值較大【解法指導】依有理數乘法法則，異號為負，故a、b異號，又依加法法則，異號相加取絕對值較大數的符號，可得出判斷.解：由ab＜0知a、b異號，又由a＋b＜0，可知異號兩數之和為負，依加法法則得負數的絕對值較大，選D．【變式題組】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，則下列各式中，錯誤的是（）A．a＋b＞0B．b＋c＜0C．ab＋ac＞0D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，則a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．()如果a＋b＜0，，則下列結論成立的是（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞004．()下列命題正確的是（）A．若ab＞0，則a＞0，b＞0B．若ab＜0，則a＜0，b＜0C．若ab＝0，則a＝0或b＝0D．若ab＝0，則a＝0且b＝0【例３】計算⑴⑵⑶⑷【解法指導】進行有理數除法運算時，若不能整除，應用法則1，先把除法轉化成乘法，再確定符號，然后把絕對值相乘，要注意除法與乘法互為逆運算.若能整除，應用法則2，可直接確定符號，再把絕對值相除.解：⑴⑵⑶⑷【變式題組】01．⑴⑵⑶⑷02．⑴⑵⑶03．【例４】（）若實數a、b滿足，則＝___________.【解法指導】依絕對值意義進行分類討論，得出a、b的取值圍，進一步代入結論得出結果.解：當ab＞0，；當ab＜0，，∴ab＜0，從而＝－1.【變式題組】01．若k是有理數，則(|k|＋k)÷k的結果是（）A．正數B．0C．負數D．非負數02．若A．b都是非零有理數，則的值是多少？03．如果，試比較與的大小.【例５】已知⑴求的值；⑵求的值.【解法指導】表示n個a相乘，根據乘方的符號法則，如果a為正數，正數的任何次冪都是正數，如果a是負數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數.解：∵⑴當時，當時，⑵當時，當時，【變式題組】01．（）若，則的值是___________.02．已知*、y互為倒數，且絕對值相等，求的值，這里n是正整數.【例６】（）2007年我省為135萬名農村中小學生免費提供教科書，減輕了農民的負擔，135萬用科學記數法表示為（）A．0.135×106B．1.35×106C．0.135×107D．1.35×107【解法指導】將一個數表示為科學記數法的a×10n的形式，其中a的整數位數是1位.故答案選B．【變式題組】01．（）市今年約有103000名學生參加中考，103000用科學記數法表示為（）A．1.03×105B．0.103×105C．10.3×104D．103×10302．（）市計劃從2008年到2012年新增林地面積253萬畝，253萬畝用科學記數法表示正確的是（）A．25.3×105畝B．2.53×106畝C．253×104畝D．2.53×107畝【例７】（競賽）【解法指導】找出的通項公式＝原式＝＝＝＝99【變式題組】A．B．C．D．02．（第10屆希望杯試題）已知求的值.演練鞏固·反饋提高01．三個有理數相乘，積為負數，則負因數的個數為（）A．1個B．2個C．3個D．1個或3個02．兩個有理數的和是負數，積也是負數，則這兩個數（）A．互為相反數B．其中絕對值大的數是正數，另一個是負數C．都是負數D．其中絕對值大的數是負數，另一個是正數03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，則下列結論正確的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＞0，c＞004．若|ab|＝ab，則（）A．ab＞0B．ab≥0C．a＜0，b＜0D．ab＜005．若a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2，則代數式的值為（）A．－3B．1C．±3D．－3或106．若a＞，則a的取值圍（）A．a＞1B．0＜a＜1C．a＞－1D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b為有理數，給出下列條件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④，其中能判斷a、b互為相反數的個數是（）A．1個B．2個C．3個D．4個08．若ab≠0，則的取值不可能為（）A．0B．1C．2D．－209．的值為（）A．－2B．(－2)21C．0D．－21010．()2010年一季度，全國城鎮新增就業人數289萬人，用科學記數法表示289萬正確的是（）A．2.89×107B．2.89×106C．2.89×105D．2.89×10411．已知4個不相等的整數a、b、c、d，它們的積abcd＝9，則a＋b＋c＋d＝___________.12．（n為自然數）＝___________.13．如果，試比較與*y的大小.14．若a、b、c為有理數且，求的值.15．若a、b、c均為整數，且.求的值.培優升級·奧賽檢測01．已知有理數*、y、z兩兩不相等，則中負數的個數是（）A．1個B．2個C．3個D．0個或2個02．計算歸納各計算結果中的個位數字規律，猜測的個位數字是（）A．1B．3C．7D．503．已知，下列判斷正確的是（）A．abcde＜0B．ab2cd4e＜0C．ab2cde＜0D．abcd4e＜004．若有理數*、y使得這四個數中的三個數相等，則|y|－|*|的值是（）A．B．0C．D．05．若A＝，則A－1996的末位數字是（）A．0B．1C．7D．906．如果，則的值是（）A．2B．1C．0D．－107．已知，則a、b、c、d大小關系是（）A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且的最大值為m，最小值為n，則＝___________.09．（第13屆“華杯賽”試題）從下面每組數中各取一個數將它們相乘，則所有這樣的乘積的總和是___________.第一組：第二組：第三組：10．一本書的頁碼從1記到n，把所有這些頁碼加起來，其中有一頁碼被錯加了兩次，結果得出了不正確的和2002，這個被加錯了兩次的頁碼是多少？11．（省競賽試題）觀察按下列規律排成一列數：，，，，，，，，，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m個數記為F(m)，當F(m)＝時，求m的值和這m個數的積.12．圖中顯示的填數“魔方”只填了一部分，將下列9個數：填入方格中，使得所有行列及對角線上各數相乘的積相等，求*的值.32*6413．(第12屆“華杯賽”試題)已知m、n都是正整數，并且證明：⑴⑵，求m、n的值.第04講整式考點·方法·破譯1．掌握單項式及單項式的系數、次數的概念.2．掌握多項式及多項式的項、常數項及次數等概念.3．掌握整式的概念，會判斷一個代數式是否為整式.4．了解整式讀、寫的約定俗成的一般方法，會根據給出的字母的值求多項式的值.經典·考題·賞析【例1】判斷下列各代數式是否是單項式，如果不是請簡要說明理由，如果是請指出它的系數與次數.【解法指導】理解單項式的概念:由數與字母的積組成的代數式，單獨一個數或一個字母也是單項式，數字的次數為0，是常數，單項式中所有字母指數和叫單項式次數.解：⑴不是，因為代數式中出現了加法運算；⑵不是，因為代數式是與*的商；⑶是，它的系數為π，次數為2；⑷是，它的系數為QUOTE，次數為3.【變式題組】01．判斷下列代數式是否是單項式02．說出下列單項式的系數與次數【例２】如果與都是關于*、y的六次單項式，且系數相等，求m、n的值.【解法指導】單項式的次數要弄清針對什么字母而言，是針對*或y或*、y等是有區別的，該題是針對*與y而言的，因此單項式的次數指*、y的指數之和，與字母m無關，此時將m看成一個要求的已知數.解：由題意得【變式題組】01．一個含有*、y的五次單項式，*的指數為3.且當*＝2,y＝－1時，這個單項式的值為32，求這個單項式.02．（）寫出含有字母*、y的五次單項式______________________.【例３】已知多項式⑴這個多項式是幾次幾項式？⑵這個多項式最高次項是多少？二次項系數是什么？常數項是什么？【解法指導】n個單項式的和叫多項式，每個單項式叫多項式的項，多項式里次數最高項的次數叫多項式的次數.解：⑴這個多項式是七次四項式；(2)最高次項是,二次項系數為－1，常數項是1.【變式題組】01．指出下列多項式的項和次數⑴(2)02．指出下列多項式的二次項、二次項系數和常數項⑴(2)【例４】多項式是關于*的三次三項式，并且一次項系數為－7.求m+n－k的值【解法指導】多項式的次數是單項式中次數最高的次數，單項式的系數是數字與字母乘積中的數字因數.解：因為是關于*的三次三項式，依三次知m＝3，而一次項系數為－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次項為,一次項為－7*，常數項為5，又原多項式為三次三項式，故二次項的系數k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【變式題組】01．多項式是四次三項式，則m的值為（）A．2B．－2C．±2D．±102．已知關于*、y的多項式不含二次項，求5a－8b的值.03．已知多項式是六次四項式，單項式的次數與這個多項式的次數相同，求n的值.【例５】已知代數式的值是8,求的值.【解法指導】由，現階段還不能求出*的具體值，所以聯想到整體代入法.解：由得由（3【變式題組】01．()如果代數式－2a+3b+8的值為18，則代數式9b－6a+2的值等于（）A．28B．－28C．32D．－3202．（同山）若,則的值為_______________.03．（濰坊）代數式的值為9,則的值為______________.【例６】證明代數式的值與m的取值無關.【解法指導】欲證代數式的值與m的取值無關，只需證明代數式的化簡結果不出現字母即可.證明：原式＝∴無論m的值為何，原式值都為4.∴原式的值與m的取值無關.【變式題組】01．已知,且的值與*無關，求a的值.02．若代數式的值與字母*的取值無關，求a、b的值.【例７】（市選拔賽）同時都含有a、b、c，且系數為1的七次單項式共有（）個A．4B．12C．15D．25【解法指導】首先寫出符合題意的單項式,*、y、z都是正整數，再依*+y+z＝7來確定*、y、z的值.解：為所求的單項式，則*、y、z都是正整數，且*+y+z＝7.當*＝1時，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.當*＝2時，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1.當*＝3時，y＝1,2,3,z＝3,2,1.當*＝4時，y＝1,2,z＝2,1.當*＝5時，y＝z＝1.所以所求的單項式的個數為5+4+3+2+1＝15，故選C．【變式題組】01．已知m、n是自然數，是八次三項式，求m、n值.02．整數n＝___________時，多項式是三次三項式.演練鞏固·反饋提高01．下列說確的是（）A．是單項式B．的次數為5C．單項式系數為0D．是四次二項式02．a表示一個兩位數，b表示一個一位數，如果把b放在a的右邊組成一個三位數.則這個三位數是（）A．100b+aB．10a+bC．a+bD．100a+b03．若多項式的值為1，則多項式的值是（）A．2B．17C．－7D．704．隨著計算機技術的迅猛發展，電腦價格不斷降低，*品牌電腦原售價為n元，降低m元后，又降低20%，則該電腦的現售價為（）A．B．C．D．05．若多項式是關于*的一次多項式，則k的值是（）A．0B．1C．0或1D．不能確定06．若是關于*、y的五次單項式，則它的系數是____________.07．電影院里第1排有a個座位，后面每排都比前排多3個座位，則第10排有_______個座位.08．若,則代數式*y+mn值為________.09．一項工作，甲單獨做需a天完成，乙單獨做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．()有一串單項式(1)請你寫出第100個單項式；⑵請你寫出第n個單項式.11．（）一個含有*、y的五次單項式，*的指數為3,且當*＝2，y＝－1時，這個單項式值為32，求這個單項式.12．（**）已知*＝3時多項式的值為－1，則當*＝－3時這個多項式的值為多少？13．若關于*、y的多項式與多項式的系數相同，并且最高次項的系數也相同，求a－b的值.14．*地撥號入網有兩種方式，用戶可任取其一.A：計時制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅電上網）.此外，每種上網方式都得加收通行費0.02元/分.⑴*用戶*月上網時間為*小時，請你寫出兩種收費方式下該用戶應該支付的費用；(2)若*用戶估計一個月上網時間為20小時，你認為采用哪種方式更合算.培優升級·奧賽檢測01．（）有一列數,從第二個數開始，每一個數都等于1與它前面那個數的倒數的差.若,則為（）A．2007B．2C．D．－102．（華師一附高招生）設記號*表示求a、b算術平均數的運算，即,則下列等式中對于任意實數a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知,則在代數式中，對任意的a、b，對應的代數式的值最大的是（）A．B．C．D．04．在一個地球儀的赤道上用鐵絲箍半徑增大1米，需增加m米長的鐵絲，假設地球的赤道上一個鐵絲箍，同樣半徑增大1米，需增加n米長的鐵絲，則m與n大小關系（）A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不能確定05．（）已知_____________.06．*書店出售圖書的同時，推出一項租書業務，每租看一本書，租期不超過3天，每天租金a元，租期超過3天，從第4天開始每天另加收b元，如果租看1本書7天歸還，則租金為____________元.07．已知＝_____________.08．有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡后的結果是______________.09．已知＝______________.10．（全國初中數學競賽）設a、b、c的平均數為M,a、b的平均數為N,又N、c的平均數為P，若a＞b＞c，則M與P大小關系______________.11．(資陽)如圖，對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規律繼續下去，可得到△A5B5C5，則其面積S5＝________________．12．（）探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每邊上的釘子數)，連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數：當n＝2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S＝2；當n＝3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，，2，，2五種，比n＝2時增加了3種，即S＝2+3＝5.觀察圖形，填寫下表：釘子數(n×n)S值2×223×32+34×42＋3＋()5×5()nn=2n=3n=4n=5寫出(n－1)×(n－1)和n×n的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數之間的關系；(用式子或語言表述均可)(3)對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式.13．（）提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：⑴當AP＝AD時（如圖②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四邊形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四邊形ABCD－S△ABD－S△CDA＝S四邊形ABCD－(S四邊形ABCD－S△DBC)－(S四邊形ABCD－S△ABC)＝S△DBC＋S△ABC．⑵當AP＝AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；⑶當AP＝AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________________；⑷一般地，當AP＝AD（n表示正整數）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；問題解決：當AP＝AD（0≤≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：___________．第05講整式的加減經典·考題·賞析【例１】（）如果和是同類項，則a、b的值分別是（）A．B．C．D．【解法指導】同類項與系數的大小無關，與字母的排列順序也無關，只與是否含相同字母，且相同字母的指數是否相同有關.解：由題意得，∴【變式題組】01.（**）已知a＝2,b＝3,則（）A．a*3y2與bm3n2是同類項B．3*ay3與b*3y3是同類項C．B*2a＋1y4與a*5yb＋1是同類項 D．5m2bn5a與6n2bm5a是同類項02．若單項式2*2ym與－*ny3是同類項，則m＝___________，n＝___________.03．指出下列哪些是同類項⑴a2b與－ab2⑵*y2與3y2*(3)m－n與5（n－m）⑷5ab與6a2b【例２】(）若多項式合并同類項后是三次二項式，則m應滿足的條件是___________.【解法指導】合并同類項時，把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.解：因為化簡后為三次二項式，而5*3＋3已經為三次二項式，故二次項系數為0，即－2m－2＝0,∴m＝－1【變式題組】01.計算：－（2*2－3*－1)－2(*2－3*＋5)＋(*2＋4*＋3)02．(）（2*－4y）＋2y03．（）m－n－(m＋n)【例３】（）求整式3*2－5*＋2與2*2＋*－3的差.【解法指導】在求兩個多項式的差時，應先將這兩個多項式分別用括號括起來，再去括號，而去括號可以用口訣：去括號，看符號，是“＋”號，不變號，是“－”號，全變號，去了括號后，有同類項再合并同類項．解：（3*2－5*＋2)－（2*2＋*－3)＝3*2－5*＋2－2*2－*＋3＝*2－6*＋5【變式題組】01．一個多項式加上－3*＋2*y得*2－3*y＋y2,則這個多項式是___________．02．減去2－3*等于6*2－3*－8的代數式是___________．【例４】當a＝，b＝時，求5（2a＋b)2－3(3a＋2b)2＋2(3a＋2b)的值.【解法指導】將（2a＋b)2，（3a＋2b)分別視為一個整體，因此可以先合并“同類項”再代入求值，對于多項式求值問題，通常先化簡再求值.解：5（2a＋b)2－3(3a＋2b)－3(2a＋b)2＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)2＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)2－(3a＋2b)∵a＝，b＝∴原式＝【變式題組】01．（）先化簡再求值：（2a＋1)2－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.02．已知a2＋bc＝14,b2－2bc＝－6,求3a2＋4b2－5bC．【例５】證明四位數的四個數字之和能被9整除，因此四位數也能被9整除.【解法指導】可用代數式表示四位數與其四個數之和的差，然后證這個差能被9整除.證明：設此四位數為1000a＋100b＋10c＋d,則1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)∵111a＋11b＋c為整數，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d)∵9(111a＋11b＋c)與（a＋b＋c＋d)均能被9整除∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除【變式題組】01．已知a＜b＜c,且*＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（）A．a*＋by＋czB．a*＋cy＋bzC．b*＋cy＋azD．b*＋ay＋cz02．任何三位數減去此三位數的三個數字之和必為9的倍數.【例６】將（*2－*＋1)6展開后得a12*12＋a11*11＋……＋a2*2＋a1*＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.【解法指導】要求系數之和，但原式展開含有*項，如何消去*項，可采用賦特殊值法.解：令*＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1令*＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729兩式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365【變式題組】01.已知（2*－1)5＝a5*5＋a4*4＋a3*3＋a2*2＋a1*＋a0(1)當*＝0時，有何結論;(2)當*＝1時，有何結論;(3)當*＝－1時，有何結論;(4)求a5＋a3＋a1的值.02.已知a*4＋b*3＋c*2＋d*＋e＝(*－2)4(1)求a＋b＋c＋d＋e.試求a＋c的值.【例７】(希望杯培訓題）已知關于*的二次多項式a(*3－*2＋3*)＋b(2*2＋*)＋*3－5,當*＝2時的值為－17.求當*＝－2時，該多項式的值.【解法指導】設法求出a、b的值，解題的突破口是根據多項式降冪排列，多項式的次數等概念，挖掘隱含a、b的等式.解：原式＝a*3－a*2＋3a*＋2b*2＋b*＋*3－5＝(a＋1)*3＋(2b－a)*2＋(3a＋b)*－5∵原式中的多項式是關于*的二次多項式∴∴a＝－1又當*＝2時，原式的值為－17.∴(2b＋1)22＋＝－17,∴b＝－1∴原式＝－*2－4*－5∴當*＝－2時，原式＝－（－2）2－4（－2）－5＝－1【變式題組】01．（迎春杯）當*＝－2時，代數式a*3－b*＋1＝－17.則*＝－1時，12a*－3b*3－5＝___________．02．(競賽題）已知y＝a*7＋b*5＋c*3＋d*＋e,其中a、b、c、d、e為常數，當*＝2,y＝23,*＝－2,y＝－35,則e為（）A．－6 B． 6 C．－12 D．12演練鞏固·反饋提高01．（荊州）若－3*2my3與2*4yn是同類項，則的值是（）A．0 B．1C．7 D．－102．一個單項式減去*2－y2等于*2＋y2,則這個單項式是（）A．2*2 B．2y2C．－2*2D．－2y203．若M和N都是關于*的二次三項式，則M＋N一定是（）A．二次三項式 B．一次多項式C．三項式 D．次數不高于2的整式04．當*＝3時，多項式a*5＋b*3＋c*－10的值為7.則當*＝－3時，這個多項式的值是（）A．－3 B．－27C．－7 D．705．已知多項式A＝*2＋2y2－z2,B＝－4*2＋3y2＋2z2,且A＋B＋C＝0,則多項式c為（）A．5*2－y2－z2B．3*2－y2－3z2C．3*2－5y2－z2D．3*2－5y2＋z206．已知，則等于（）A．B．1C．D．007．*人上山的速度為a千米/時，后又沿原路下山，下山速度為b千米/時，則這個人上山和下山的平均速度是（）A．千米/時B．千米/時C．千米/時D．千米/時08．使（a*2－2*y＋y2)－(－a*2＋b*y＋2y2)＝6*2－9*y＋cy2成立的a、b、c的值分別是（）A．３，７，１ B．－３，－７，－１C．３，－７，－１ D．－３，７，－１09．k＝___________時，多項式3*2－2k*y＋3y2＋－4中不含ｘy項．10．(宿遷）若2a－b＝2,則6＋8a－4b＝___________11．*項工程，甲獨做需m天完成，甲乙合作需n天完成，則乙獨做需要___________天完成．12．*2－*y＝－3,2*y－y2＝－8,則2*2－y2＝___________．13．設ａ表示一個兩位數，ｂ表示一個三位數，現在把ａ放ｂ的左邊組成一個五位數，設為ｘ，再把ｂ放a的左邊，也組成一個五位數，設為y,試問*－y能被9整除嗎？請說明理由.14．若代數式（*2＋a*－2y＋7)－(b*2－2*＋9y－1)的值與字母*的取值無關，求a、b的值.15．設A＝*2－2*y－y2,B＝－2*2＋*y－y2,B＝－2*2＋*y－y2,當*＜y＜0時，比較A與B的值的大小.培優升級·奧賽檢測01．A是一個三位數，b是一位數，如果把b置于a的右邊，則所得的四位數是（）A．abB．a＋bC．1000b＋aD．10a＋b02．一個兩位數的個位數字和十位數字交換位置后，所得的數比原來的數大9，這樣的兩位數中，質數有（）A．1個 B．3個C．5個 D．6個03．有三組數*1,*2,*3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它們的平均數分別是a、b、c，則*1＋y1－z1,*2＋y2－z2,*3＋y3－z3的平均數是（）A．B．C．A＋b－cD．3(a＋b－c)04．如果對于*一特定圍*的任何允許值P＝＋＋……＋＋的值恒為一常數，則此值為（）A．2 B．3C．4 D．505．（競賽）已知a＋b＝0,a≠0,則化簡得（）A．2aB．2bC．2 D．－206．如果a個同學在b小時共搬運c塊磚,則c個同學以同樣速度搬a塊磚，所需的小時數（）A．B．C．D．07．如果單項式3*a＋2yb－2與5*3ya＋2的和為8*3ya＋2,則＝_________．08．（第１６屆“希望杯”邀請賽試題）如果*2＋2*＝3則*4＋7*3＋8*2－13*＋15＝_________．09．將1,2,3……100這100個自然數，任意分為50組，每組兩個數，現將每組的兩個數中任一數值記作a,另一個記作b,代入代數式（）中進行計算，求出其結果，50組數代入后可求的50個值，則這50個值的和的最大值時_________．10．已知兩個多項式A和B，A＝n*n＋4＋*3－n－*3＋*－3,B＝3*n＋4－*4＋*3＋n*2－2*－1,試判斷是否存在整數n,使A－B為五次六項式．11．設*yz都是整數，且11整除7*＋2y－5z.求證：11整除3*－7y＋12z.12．(美國奧林匹克競賽題）在一次游戲中，魔術師請一個而你隨意想一個三位數(a、b、c依次是這個數的百位、十位、個位數字）并請這個人算出5個數，，，與的和N，把N告訴魔術師，于是魔術師就可以說出這個人所想的數，現在設N＝3194，請你當魔術師，求出來.13．(市競賽題）將一個三位數的中間數去掉，成為一個兩位數，且滿足＝9＋4（如155＝915＋45）.試求出所有這樣的三位數.第06講一元一次方程概念和等式性質考點·方法·破譯1．了解一元一次方程、等式的概念，能準確進行辨析．2．掌握一元一次方程的解、等式的性質并會運用．經典·考題·賞析【例１】下面式子是方程的是()A．*＋3B．*＋y＜3C．2*2＋3＝0D．3＋4＝2＋5【解法指導】判斷式子是方程，首先要含有等號，然后看它是否含有未知數，只有同時具有這兩個條件的就是方程．2*2＋3＝0是一個無解的方程，但它是方程，故選擇C．【變式題組】01．在①2*＋3y－1．②2＋5＝15－8，③1－*＝*＋l，④2*＋y＝3中方程的個數是()A．1個B．2個C．3個D．4個02．（舍肥）在甲處工作的有272人，在乙處工作的有196人，如果要使乙處工作的人數是甲處工作人數的，應從乙處調多少人到甲處？若設應從乙處調多少人到甲處，則下列方程正確的是()A．272＋*＝(196－*)B．(272－*)＝196–*C．×272＋*＝196－*D．(272＋*)＝196－*03．根據下列條件列出方程：⑴3與*的和的2倍是14⑵*的2倍與3的差是5⑶*的與13的差的2倍等于1【例２】下列方程是一元一次方程的是()A．*2－2*－3＝0B．2*－3y＝4C．＝3D．*＝0【解法指導】判斷一個方程是一元一次方程，要滿足兩個條件：①只含有一個未知數；②未知數的次數都是1，只有這樣的方程才是一元一次方程．故選擇D．【變式題組】01．以下式子：①－2＋10＝8；②5*＋3＝17；③*y；④*＝2；⑤3*＝1；⑥＝4*；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧a*＋b其中等式有___________個；一元一次方程有___________個．02．（江油課改實驗區）若（m－2）＝5是一元一次方程，則m的值為()A．±2B．－2C．2D．403．（**）下列式子是方程的是()A．3×6＝18B．3*－8c．5y＋6D．y÷【例3】若*＝3是方程－k*＋*＋5＝0的解，則k的值是()A．8B．3C．D．【解法指導】方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，所以－3k＋3＋5＝0，k＝故選擇D．【變式題組】01．（）*＝2是下列哪個方程的解()A．3*＝2*－1B．3*－2*＋2＝0C．3*－1＝2*＋1D．3*＝2*－202．（）方程3*＋6＝0的解的相反數是()A．2B．－2C．3D03．（）如果*＝2是方程的根，則a的值是()A．0B．2C．－2D04．（）根據下列問題，設未知數并列出方程，然后估算方程的解：(1)*數的3倍比這個數大4；(2)小明年齡的3倍比他的爸爸的年齡多2歲，小明爸爸40歲，問小明幾歲？(3)一個商店今年8月份出售A型電機300臺，比去年同期增加50%，問去年8月份出售A型電機多少臺？【例4】（）c為任意有理數，對于等式a＝2×0.25a進入下面的變形，其結果仍然是等式的是()A．兩邊都減去－3cB．兩邊都乘以C．兩邊都除以2cD．左邊乘以2右邊加上【解法指導】等式的性質有兩條：①等式兩邊都加（或減）同一個數（或式子）結果仍相等；②等式兩邊都乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等，故選擇A．【變式題組】01．（）如果ma＝mb，則下列等式不一定成立的是()A．ma＋1＝mb＋1B．ma?3＝mb?3C．ma＝mbD．a＝b02．（）由等式3a?5＝2a＋b得到aA．等式兩邊都除以3B．等式兩邊都加上（2aC．等式兩邊都加上5D．等式兩邊都減去（2a03．（）下列變形符合等式性質的是()A．如果2*?3＝7，則2*＝7?*B．如果3*?2＝*＋l，則3*?*＝1?2C．如果－2*＝5，則*＝－5＋2D．如果－*＝1，則*＝－3【例5】利用等式的性質解下列方程：⑴*＋7＝19⑵－5*＝30⑶－*?5＝4⑴解：兩邊都減去7得*＋7?7＝19?7合并同類項得*＝12⑵解：兩邊都乘以得*＝－6⑶解：兩邊都加上5得－*?5＋5＝4＋5合并同類項得－*＝9兩邊都乘以－3得*＝－27【解法指導】要使方程*＋7＝19轉化為*＝a（常數）的形式，要去掉方程左邊的7，因此要減7，類似地考慮另兩個方程如何轉化為*＝a的形式．【變式題組】01．（黃岡）*人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是，回來的速度是，則他的平均速度為()A．B．C．D．02．（）已知是方程2*?ay＝3的一個解，則a的值是()A．1B．3C．－3D03．（）下列變形正確的是()A．由*＋3＝4得*＝7B．由a＋b＝0，得a＝bC．由5*＝4*－2得*＝2D．由＝0，得*＝004．（）解方程()A．同乘以B．同除以C．同乘以－D．同除以【例6】根據所給出的條件列出方程：小華在銀行存了一筆錢，月利率為2%，利息稅為20%，5個月后，他一共取出了本息1080元，問他存人的本金是多少元？（只列方程）【解法指導】生活中常碰見的儲蓄問題是中考中常見的一種題型，應正確理解利息稅的含義，清楚本息和：本金＋利息（除稅后）是解題的關鍵．題中的利息稅是把利息的20%扣除作為稅上交國家．解：設他存入的本金是*元，則5個月的利息是2%×5*＝0.1*元，需交利息稅0.l*×20%＝0.02*元，根據題意得：*＋0.l*?0.02*＝1080．【變式題組】01．（）商場在促銷活動中，將標價為200元的商品，在打八折的基礎上，再打八折銷售，則該商品現在售價是()A．160元B．128元C．120元D．8元02．（）根據下列條件，列出方程并解之：(1)*數的5倍減去4等于該數的6倍加上7，求*數；(2)長方形的周長是50厘米，長與寬之比為3∶2，求長方形面積，【例7】（“希望杯”邀請賽試題）已知p、q都是質數，并且以*為未知數的一元一次方程p*＋5q＝97的解是l．求代數式40p＋l0lq＋4的值．【解法指導】用代入法可得到p、q的關系式，再綜合運用整數知識：偶數＋奇數＝奇數、奇數＋奇數＝偶數、偶數＋偶數＝偶數．解：把*＝l代入方程p*＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p與5q中必有一個數是偶數：(1)若p＝2，則Sq＝95，q＝19，40p＋l01q＋4＝40×2＋101×19＋4＝2003；(2)若5q為偶數，則q＝2，p＝87，但87不是質數，與題設矛盾，舍去．∴40p＋l0lq＋4的值為2003.【變式題組】01．（省競賽題）已知＝3*＋1，則（64*2＋48*＋9）2009＝_______．02．（第18屆“希望杯”競賽題）對任意四個有理數a、b、c、d，定義新運算：＝ad?bc，已知＝18，則*＝()A．－1B．2C．3D演練鞏固反饋提高01．下面四個式子是方程的是()A．3＋2＝5B．*＝2C．2*?5D．a2＋2ab≠b02，下列方程是一元一次方程的是()A．*2?2*?3＝0B．2*?3y＝3C．*2?*?1＝*2＋1D．03．“*的一半比省的相反數大7”A．＝7?*B．＋7＝?*C．＋7＝*D．＝*＋704．（）把1200g洗衣粉分別裝入5個大小相同的瓶子中，除一瓶還差15g外，其余四瓶都裝滿了，問裝滿的每個瓶子中有洗衣粉多少克？若設裝滿的每個瓶子有A．5*＋15＝1200B．5*－15＝1200C．4*＋15＝1200D．4（*05．在方程①3*?4＝7；②＝3；③5*?2＝3；④3（*＋1）＝2（2*＋1）中解為*＝1的方程是()A．①②B．①③C．②④D．③④06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，則b的值是()A．3B．5C．－5D07．若“△”是新規定的*種運算符號，設a△b＝a2＋b則（－2）△*＝10中*為()A．－6B．6C．8D08．（）小剛每分鐘跑am，用6分鐘可以跑完3000m，如果每分鐘多跑l0m，則可以提前1分鐘跑完A．(a＋10)(b－1)＝abB．（a?10)(b＋l)＝3000C．＝a＋10D．＝b?109．已知關于*的方程(m＋2)*m＋4＝2m－1是一元一次方程，則*10．在數值2，－3，4，－5中，是方程4*?2＝10＋*的解是_______．11．（）已知?1＝，試用等式的性質比較m、n的大小．12.（）已知方程a?2*＝－4的解為*＝4，求式子a3?a2?a的值．13．三個連續自然數的和是33，求這三個數．14．*班有70人，其中會游泳的有52人，會滑冰的有33人，這兩項都不會的有6人，這兩項都會的有多少人？15．甲車隊有司機80人，乙車隊有50人，要使兩個車隊的司機人數一樣多，應該從甲車隊調多少個司機到乙車隊？培優升級奧賽檢測01．下列判斷中正確的是()A．方程2*－3＝1與方程*(2*－3)＝*同解，B．方程2*－3＝1與方程*(2*－3)＝*沒有相同的解．C．方程*(2*－3)＝*的解是方程2*－3＝1的解．D．方程2*?3＝1的解是方程*(2*－3)＝*的解．02．方程的解是()A．2008B．2009C．2010D．03．（省競賽題）已知a是任意有理數，在下面各題中(1)方程a*＝0的解是*＝l(2)方程a*＝a的解是*＝l(3)方程a*＝1的解是*＝(4)的解是*＝±1結論正確的的個數是()A．0B．1C．2D04．（“希望杯”邀請賽）已知關于*的一元一次方程(3a＋8b)*＋7＝0無解，則abA．正數B．非正數C．負數D．非負數05．（第十一屆“希望杯”邀請賽試題）已知a是不為0的整數，并且關于*的方程a*＝2a3?3a2?5aA．1個B．3個C．6個D．9個06．（“祖沖之杯”邀請賽）方程＋（*?5）＝0的解的個數為()A．不確定B．無數個C．2個D．3個07．若*＝9是方程的解，則a＝______；又若當a＝1時，則方程的解是______．08．方程的解是_____，方程的解是_____．09．（市“迎春杯”競賽試題）已知＝1995，則*＝____．10．（“希望杯”邀請賽試題）已知，則19*99＋3*＋27的值為____．11．（**競賽）解關于*的方程＝－3．12．a為何值，方程有無數個解．13．（“五羊杯”競賽題）若干本書分給小朋友，每人m本，則余14本；每人9本，則最后一人只得6本，問小朋友共幾人？有多少本書？14．（市競賽題）甲隊原有96人，現調出16人到乙隊，調出人數后，甲隊人數是乙隊人數的k（是不等于1的正整數）倍還多6人，問乙隊原有多少人？第07講一元一次方程解法考點·方法·破譯1．熟練掌握一元一次方程的解法步驟，并會靈活運用．2．會用一元一次方程解決實際問題經典·考題·賞析【例１】解方程：5*＋2＝7*－8【解法指導】當方程兩邊都含有未知數時，通常把含未知數項移到方程的左邊，已知數移到方程的右邊，注意移項要變號．解：移項，得5*－7*＝－8－2合并同類項，得－2*＝－10系數化為1，得*＝5【變式題組】01．()關于*的方程2(*－1)－a＝0的根是3，則a的值是（）A．4B．－4C．2D．－102．（）如果a、b是已知數，則－7*＋2a＝－5*＋2b的解是（）A．a－bB．－a－bC．b－aD．b＋a03．解下列方程：⑴2*＋3*＋4*＝18(2)3*＋5＝4*＋1【例２】解方程：11－2(*＋1)＝3*＋4(2*－3)【解法指導】此題中含有括號，應先按去括號法則去掉括號，去括號時，要注意符號，括號前是“＋”號不變號；括號前是“－”，各項均要變號，有數字因數使用乘法分配律時，不要漏乘括號里的項，再通過移項、合并系數化為1，從而求出方程的解．解：去括號，得11－2*－2＝3*＋8*－12移項，得－2*－3*