§2雙曲線2.1雙曲線及其標準方程課標要求1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程.2.理解雙曲線標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題.素養要求通過推導雙曲線方程的過程，提升邏輯推理素養；通過求解雙曲線的方程，提升數學運算素養.一、雙曲線的定義1.思考橢圓是如何定義的？橢圓的標準方程是什么？提示平面內到兩個定點的距離之和等于常數的點的集合，且該常數大于兩定點之間的距離.根據焦點位置的不同，其標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).2.思考把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差的絕對值”，那么點的軌跡是什么圖形？提示點的軌跡是雙曲線，其中“距離的差”應小于兩定點之間的距離.3.思考在上述過程中，如果“距離的差”等于兩定點之間的距離，其軌跡還是上述圖形嗎？提示不是，其圖形是以兩定點為端點的兩條射線.4.填空平面內到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線.這兩個定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距.溫馨提醒在雙曲線的定義中(1)常數要小于兩個定點的距離.(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支.(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在.(5)當2a＝0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.5.做一做(1)判斷正誤①平面內到兩定點的距離的差等于常數(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(×)提示必須是距離的差的絕對值才表示雙曲線.②平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.(×)提示平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡為雙曲線的一支.③平面內到點F1(0，4)，F2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(×)提示因為||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故對應的軌跡為兩條射線.(2)已知定點F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面內滿足下列條件的動點P的軌跡中為雙曲線的是()A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4答案A解析當|PF1|－|PF2|＝±3時，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，滿足雙曲線的定義，所以P點的軌跡是雙曲線.二、雙曲線的標準方程1.思考類比求橢圓標準方程的過程，如何建立適當的直角坐標系，求出雙曲線的標準方程呢？提示以兩定點F1，F2所在的直線和線段F1F2的垂直平分線分別為坐標軸建立平面直角坐標系，然后利用定義，求出標準方程.2.思考在雙曲線的標準方程中，是否還滿足a>b>0呢？a，b，c之間的關系如何？提示不要求a>b>0，只需滿足a>0，b>0；a，b，c之間的關系為a2＋b2＝c2.

3.填空焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的關系c2＝a2＋b2溫馨提醒(1)若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上.(2)a與b沒有大小關系.(3)a，b，c的關系滿足c2＝a2＋b2.4.做一做(1)若k>1，則關于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是()A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在y軸上的橢圓C.焦點在y軸上的雙曲線 D.焦點在x軸上的雙曲線答案C解析將已知方程化為標準方程，根據項的系數符號進行判斷.原方程可化為eq\f(y2,k2－1)－eq\f(x2,1＋k)＝1.∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0，∴已知方程表示的曲線為焦點在y軸上的雙曲線.(2)已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一個焦點是(0，2)，則實數m的值是()A.1 B.－1C.－eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(10),5)答案B解析由焦點坐標，知焦點在y軸上，∴m<0，∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.

題型一雙曲線的定義例1已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，當a＝3或5時，P點的軌跡為()A.雙曲線或一條直線 B.雙曲線或兩條直線C.雙曲線一支或一條直線 D.雙曲線一支或一條射線答案D解析當a＝3時，2a＝6，此時|AB|＝10，∴點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B).當a＝5時，2a＝10，此時|AB|＝10，∴點P的軌跡為射線，且是以B為端點的一條射線.思維升華判斷點的軌跡是否為雙曲線時，要根據雙曲線的定義成立的充要條件.訓練1(1)在平面直角坐標系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若點P的軌跡為雙曲線，則a的取值范圍是()A.(0，4) B.(0，4]C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞)答案A解析由題意知||PF1|－|PF2||＝a，又點P的軌跡為雙曲線，則根據雙曲線的定義，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0<a<4.(2)已知動點P(x，y)滿足eq\r(（x＋2）2＋y2)－eq\r(（x－2）2＋y2)＝2，則動點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.雙曲線的左支 D.雙曲線的右支答案D解析eq\r(（x＋2）2＋y2)－eq\r(（x－2）2＋y2)＝2表示動點P(x，y)到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之差等于2，而|F1F2|＝4>2，由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線的右支，故選D.題型二求雙曲線的標準方程例2求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在y軸上，經過點(3，－4eq\r(2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1共焦點，且過點(3eq\r(2)，2).解(1)由已知可設所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))所以雙曲線的標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)法一設雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由題意易求得c＝2eq\r(5).又雙曲線過點(3eq\r(2)，2)，所以eq\f(（3\r(2)）2,a2)－eq\f(4,b2)＝1.又因為a2＋b2＝(2eq\r(5))2，所以a2＝12，b2＝8.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二設所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)，因為雙曲線過點(3eq\r(2)，2)，所以eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1?λ＝4或λ＝－14(舍去).所以所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.遷移若本例(1)中，去掉“焦點在y軸上”這一條件，如何求解？解設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因為(3，－4eq\r(2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5))在雙曲線上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋32n＝1，,\f(81,16)m＋25n＝1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,9)，,n＝\f(1,16)，))所以雙曲線的標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.思維升華求雙曲線標準方程的注意點(1)一般用待定系數法，按“先定型，再定量”的原則求解.(2)若焦點所在坐標軸不能確定，可分類討論求解.(3)與eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,b2＋λ)＝1(－b2<λ<a2).訓練2分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(－5，0)，(5，0)，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8；(2)焦點在x軸上，經過點P(4，－2)和點Q(2eq\r(6)，2eq\r(2)).解(1)由雙曲線的定義知，2a＝8，所以a＝4，又知焦點在x軸上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以雙曲線的標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)因為焦點在x軸上，故可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，將點(4，－2)和(2eq\r(6)，2eq\r(2))代入方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，))解得a2＝8，b2＝4，所以雙曲線的標準方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.題型三雙曲線的實際應用例3如圖，某野生動物保護區監測中心設置在點O處，正西、正東、正北處有三個監測點A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生動物觀察員在保護區遇險，發出求救信號，三個監測點均收到求救信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早eq\f(40,V0)秒(注：信號每秒傳播V0千米).(1)以O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系(如題圖)，根據題設條件求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程；(2)若C點監測點信號失靈，現立即以監測點C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少公里？解(1)設觀察員可能出現的位置的所在點為P(x，y)，因為A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早eq\f(40,V0)秒，故|PB|－|PA|＝eq\f(40,V0)×V0＝40<|AB|＝60，故點P的坐標滿足雙曲線的定義，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x<0)，由題可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，故點P的軌跡方程為eq\f(x2,400)－eq\f(y2,500)＝1(x<0).(2)設軌跡上一點為P(x，y)，則|PC|＝eq\r(x2＋（y－30）2)＝eq\r(x2＋y2－60y＋900)，又因為eq\f(x2,400)－eq\f(y2,500)＝1，可得x2＝eq\f(4,5)y2＋400，代入可得：|PC|＝eq\r(\f(9,5)y2－60y＋1300)＝eq\r(\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(50,3)))\s\up12(2)＋800)≥eq\r(800)＝20eq\r(2)，當且僅當y＝eq\f(50,3)時，取得最小值20eq\r(2).故掃描半徑r至少是20eq\r(2)km.思維升華利用雙曲線解決實際問題的基本步驟(1)建立適當的坐標系.(2)求出雙曲線的標準方程.(3)根據雙曲線的方程及定義解釋實際問題(注意實際意義).訓練3某地發生地震，為了救援災民，救援隊在如圖所示的P處收到了一批救災藥品，現要把這批藥品沿道路PA，PB運送到矩形災民區ABCD中去.已知|PA|＝100km，|PB|＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，試在災民區中確定一條界線，使位于界線一側的地方沿道路PA送藥較近，而另一側的地方沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線，并求出其方程.解災民區ABCD中的點可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA和PB送藥一樣近.依題意，知界線是第三類點的軌跡.設M為界線上任意一點，則|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).因為|AB|＝eq\r(1002＋1502－2×100×150×cos60°)＝50eq\r(7)>50，所以界線是以A，B為焦點的雙曲線右支的部分圖象.如圖所示，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.設所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2