§2排列問題2.1排列與排列數2.2排列數公式第一課時排列、排列數與排列數公式課標要求1.通過實例理解排列的概念，掌握排列數公式及推導方法.2.能應用排列知識解決簡單的實際問題.素養要求通過學習排列的概念，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養.一、排列與排列數1.思考從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？提示2.填空排列及排列問題(1)排列：一般地，從n個不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數：我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的所有不同排列的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作Aeq\o\al(m,n).(3)排列問題：把有關求排列的個數的問題叫作排列問題.溫馨提醒(1)要求m≤n.(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.(3)m＝n時叫全排列.3.做一做(1)判斷正誤①在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發生變化.(×)提示在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列與原來的排列不同.②在一個排列中，同一個元素不能重復出現.(√)③從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列.(×)提示從1，2，3，4中任選兩個元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個排列.④從5個同學中任選2個同學分別參加數學和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題.(√)(2)從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙答案C解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮.二、排列數公式1.思考北京、廣州、南京、武漢4個城市相互通航，請用列舉法和排列數分別寫出所有機票的種數？你能得到什么結論？提示列舉法共4×3＝12種，排列數為Aeq\o\al(2,4)；結論Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.2.思考類比上述計算方法，如何計算Aeq\o\al(2,n)呢？提示Aeq\o\al(2,n)是指從n個不同元素中取出2個元素的排列數，相當于從n個不同元素中取出2個元素放入eq\x(1)eq\x(2)方格中，第1個方格中有從n個不同元素中任選1個，有n種方法；第2個方格中從余下的n－1個不同元素中任選1個，有n－1種方法，所以Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1).3.思考類比上述方法怎樣推導從n個不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)個元素的排列數Aeq\o\al(m,n)？提示我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的排列，看成從n個不同的球中取出m個球，放入排好的m個盒子中，每個盒子里放一個球，我們根據分步乘法計數原理排列這些球：第1步，從全體n個球中任選一個放入第1個盒子，有n種方法；第2步，從剩下的(n－1)個球中任選一個放入第2個盒子，有(n－1)種方法；第3步，從剩下的(n－2)個球中任選一個放入第3個盒子，有(n－2)種方法；……第m步，從剩下的[n－(m－1)]個球中任選一個放入第m個盒子，有[n－(m－1)]種方法，如表所示.盒子123…m方法數nn－1n－2…n－(m－1)因此，根據分步乘法計數原理，從n個不同的球中取出m個球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]種方法.4.填空排列數公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]；(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)；(3)Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫作n的階乘)；Aeq\o\al(0,n)＝1；0！＝1.溫馨提醒(1)乘積是m個連續正整數的乘積；(2)第一個數最大，是A的下標n；(3)第m個數最小，是n－m＋1.5.做一做(1)Aeq\o\al(3,9)等于()A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3答案C解析根據排列數公式可知Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7，故選C.(2)某高三畢業班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了__________條畢業留言(用數字作答).答案1560解析根據題意，得Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業留言.題型一排列的概念例1判斷下列問題是否為排列問題.(1)北京南站、上海虹橋站、天津南站三個高鐵站之間的的高鐵票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互打電話.解(1)中票價只有三種，雖然高鐵票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長與當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.所以(2)，(5)，(6)屬于排列問題.思維升華判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮(1)“取”指檢驗取出的m個元素是否重復；(2)“排”指檢驗取出的m個元素是否有順序，其判斷標準是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.訓練1下列問題是排列問題嗎？(1)從1，2，3，4四個數字中，任選兩個做加法，其結果有多少種不同的可能？(2)從1，2，3，5四個數字中，任選兩個做除法，其結果有多少種不同的可能？(3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3位客人入座，又有多少種方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是.理由：由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法求結果時，與兩個元素的位置無關，但列除法算式時，兩個元素誰作除數，誰作被除數不一樣，此時與位置有關.選出3個座位與順序無關，“入座”問題同“排隊”，與順序有關，故選3個座位安排3位客人入座是排列問題.題型二樹狀圖法寫排列例2四個人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？將它們一一列出來.解先安排A有4種坐法，安排B有3種坐法，安排C有2種坐法，安排D有1種坐法，由分步乘法計數原理得，有4×3×2×1＝24(種).畫出樹狀圖.由“樹狀圖”可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.遷移對本例，若加上限制條件：D不能在“排頭”(即每個排列的最左端不是D)，這樣的排列有幾個？解由例2的樹狀圖可知這樣的排列共有24－6＝18(個).思維升華利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比較有效直觀的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出所有排列.訓練2(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成無重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列.解(1)由題意作“樹狀圖”，如下.故組成的所有兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個.(2)由題意作“樹狀圖”，如下.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.題型三排列數公式例3(1)用排列數表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且，n<55)；(2)計算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)證明：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明因為Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).思維升華排列數公式的形式及選用依據排列數公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數字的排列數的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證時，一般用階乘式.訓練3不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A.[2，8] B.[2，6]C.(7，12) D.{8}答案D解析由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N＋，得x＝8.題型四排列數公式的簡單應用例4若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”.現從2，3，4，5，6，9這六個數字中任取3個數，組成無重復數字的三位數，其中“傘數”有()A.120個 B.80個C.40個 D.20個答案C解析由題意知可按十位數字的取值進行分類：第一類，十位數字取9，有Aeq\o\al(2,5)個；第二類，十位數字取6，有Aeq\o\al(2,4)個；第三類，十位數字取5，有Aeq\o\al(2,3)個；第四類，十位數字取4，有Aeq\o\al(2,2)個.故“傘數”的個數為Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝40.思維升華對于簡單的排列問題可直接代入排列數公式，也可以用樹形圖法.情況較多的情形，可以分類后進行.訓練4(1)要從a，b，c，d，e5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數是()A.20 B.16C.10 D.6答案B解析不考慮限制條件有Aeq\o\al(2,5)種選法，若a當副組長，有Aeq\o\al(1,4)種選法，故a不當副組長，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16(種)選法.(2)北京大興國際機場是一座跨地域、超大型的國際航空綜合交通樞紐，目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道，如圖.若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上不同的兩條跑道同時起飛，有________種不同的安排方法.答案12解析若有2架飛往不同目的地的飛機要從西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道中的兩條跑道同時起飛，則有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)不同的安排方法.[課堂小結]1.牢記兩個知識點：(1)排列與排列數；(2)排列數公式及其應用.2.掌握兩種方法：樹狀圖列舉法，間接法.3.辨清兩個易錯點：(1)忽視排列與順序有關；(2)忽視Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N＋且m≤n這個條件.一、基礎達標1.(多選)從1，5，7，9四個數字中，任選兩個數做以下數學運算，并分別計算它們的結果.在這些問題中，相應運算可以看作排列問題的有()A.加法 B.減法C.乘法 D.除法答案BD解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法和乘法時，結果與兩數字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數字的位置有關，故是排列問題，故選BD.2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數為()A.6 B.4C.8 D.10答案B解析列樹狀圖如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法.3.有5名同學被安排在周一至周五值日，每天安排一名同學，已知同學甲只能在周一值日，那么5名同學值日順序的編排方案共有()A.12種 B.24種C.48種 D.120種答案B解析因為同學甲只能在周一值日，所以除同學甲外的4名同學將在周二至周五值日，所以5名同學值日順序的編排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種).故選B.4.(多選)下列各式中，等于n！的是()A.Aeq\o\al(n－1,n) B.Aeq\o\al(n,n＋1)C.nAeq\o\al(n－1,n－1) D.nAeq\o\al(n－1,n)答案AC解析Aeq\o\al(n－1,n)＝eq\f(n！,（n－n＋1）！)＝＝n！，A正確；Aeq\o\al(n,n＋1)＝(n＋1)！，B錯誤；nAeq\o\al(n－1,n－1)＝n·(n－1)！＝n！，C正確；nAeq\o\al(n－1,n)＝n·n·(n－1)…2≠n！，D錯誤；故選AC.5.六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A.192種 B.216種C.240種 D.288種答案B解析根據甲、乙的位置要求分為兩類，第一類：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)方法；第二類：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)方法.所以共有120＋96＝216(種)方法.6.滿足不等式eq\f(Aeq\o\al(7,n),Aeq\o\al(5,n))>12的n的最小值為________.答案10解析由排列數公式得eq\f(n！（n－5）！,（n－7）！n！)>12.即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，且n∈N＋，所以nmin＝10.7.現從8名學生干部中選出3名同學分別參加全校“資源”“生態”和“環保”三個夏令營活動，則不同的選派方案的種數是 ________.答案336解析從8名學生干部中選出3名同學排列的種數為Aeq\o\al(3,8)＝8×7×6＝336，故共有336種不同的選派方案.8.某中學高二年級共16個班級，教室均分在1號樓的一至四層，學生自管會現將來自不同樓層的4個學生分配到各樓層執行管理工作，要求每個學生均不管理自己班級所在的樓層，則共有________種不同的安排方法.答案9解析由題意，第一層的同學不能管理第一層，有3種安排方法，假設第一層的同學管理第二層，則第二層的同學此時有3種安排方法，剩下的兩名同學只有1種安排方法，所以每個學生均不管理自己班級所在樓層的安排方法有3×3×1＝9種.9.京滬高速鐵路由北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1318公里，途經北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的火車票？解對于兩個火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站，因此，結果應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列的個數為Aeq\o\al(2,21)＝21×20＝420.所以一共需要為這21個車站準備420種不同的火車票.10.從0，1，2，3這四個數字中，每次取出三個不同的數字排成一個三位數.(1)能組成多少個不同的三位數，并寫出這些三位數.(2)若組成的這些三位數中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數共有多少個，并寫出這些三位數.解(1)組成三位數分三個步驟：第一步：選百位上的數字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數字，有3種不同的排法；第三步：選個位上的數字，有2種不同的排法.由分步乘法計數原理得共有3×3×2＝18(個)不同的三位數.畫出樹形圖：由樹形圖知，所有的三位數為：102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.(2)直接畫出樹形圖：由樹形圖知，符合條件的三位數有8個：201，210，230，231，301，302，310，312.二、能力提升11.(多選)下列問題中是排列問題的是()A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動C.從a，b，c，d中選出3個字母D.從1，2，3，4，5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數答案AD解析由排列的定義知AD是排列問題.12.一條鐵路有n個車站，為適應客運需要，新增了m個車站，且知m＞1，客運車票增加了62種，則m＝________，n＝________.答案215解析由題意可知，原有車票的種數是Aeq\o\al(