1.3基本計數原理的簡單應用課標要求1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.2.會正確應用這兩個計數原理計數.素養要求通過進一步應用兩個計數原理，提升數學抽象及數學運算素養.1.思考分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區別是什么？提示分類加法計數原理是分類，每一類均能完成這件事情；分步乘法計數原理是分步，每一步均不能完成這件事情.2.填空分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整溫馨提醒在分類時，首先選取分類的依據，應做到不重不漏.3.做一做(1)判斷正誤①分類計數是指將完成這件事的所有方法進行分類，每一類都能獨立完成該事件.(√)②分步計數是指將完成這件事分解成若干步驟，當完成所有的步驟時，這個事件才算完成.(√)③當一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分.(×)提示當一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標準和分步的順序問題.(2)某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學生的參賽的不同方法有()A.24種 B.48種C.64種 D.81種答案A解析由于每班每項限報1人，故當前面的學生選了某項之后，后面的學生不能再報，由分步乘法計數原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法.題型一組數問題例1用0，1，2，3，4五個數字，(1)可以組成多少個三位數字的電話號碼？(2)可以組成多少個三位數？(3)可以組成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？解(1)三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝125(種)，即可以排成125個三位數字的電話號碼.(2)三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數.(3)被2整除的數即偶數，末位數字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.遷移(變設問)由本例中的五個數字可組成多少個無重復數字的四位奇數？解完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計數原理知共有2×3×3×2＝36(個).思維升華常用的解題原則：首先明確題目條件對數字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數；其次注意特殊數字對各數位上數字的要求，如偶數的個位數字為偶數，兩位及其以上的數首位數字不能是0，被3整除的數各位數上的數字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數字或特殊位置進行組數.訓練1(1)從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()A.24 B.18C.12 D.6答案B解析由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況：可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共3×2×2＝12種；如果是第二種偶奇奇情況：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共3×2×1＝6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況.故選B.(2)用0，1，…，9十個數字，可以組成無重復數字的三位數的個數為______，有重復數字的三位數的個數為________.答案648252解析用0，1，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8＝648(個)，所以有重復數字的三位數有900－648＝252(個).題型二分配問題例2(1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A.360種 B.420種C.369種 D.396種答案C解析法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.(2)若甲、乙、丙三名學生計劃利用寒假從麗江、大理、西雙版納、騰沖中任選一處景點旅游，每人彼此獨立地選景點游玩，且麗江必須有人去，則不同的選擇方法有()A.16種 B.18種C.37種 D.40種答案C解析法一滿足題意的不同的選擇方法有以下三類：三個人中只有一個人去麗江，有3×32＝27(種)選擇方法；三個人中有兩個人去麗江，有3×3＝9(種)選擇方法；三個人都去麗江，有1種選擇方法；綜上，共有27＋9＋1＝37(種)不同的選擇方法.法二三名學生自由選擇所去景點有4×4×4＝64種方法，設無人去麗江有3×3×3＝27(種)方法，故必須有人去麗江有64－27＝37(種)方法.思維升華求解選(抽)取與分配問題一般有兩種方法：(1)直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.(2)間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可.訓練2(1)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A.208種 B.240種C.180種 D.96種答案B解析由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.(2)某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人分別參加相應語種的活動，則不同的選法種數為________.答案20解析由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人，只會英語的有6人，只會日語的有2人.則可分三類：第一類：“多面手”去參加英語活動時，選出只會日語的1人即可，有2種選法.第二類：“多面手”去參加日語活動時，選出只會英語的1人即可，有6種選法.第三類：“多面手”既不參加英語活動又不參加日語活動，則需從只會日語和只會英語的人中各選1人參加活動，有2×6＝12(種)選法.故共有2＋6＋12＝20(種)不同的選法.題型三涂色與種植問題例3如圖所示，要給“創”、“新”、“設”、“計”四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創、新、設、計四個區域依次涂色，分四步.第1步，涂“創”區域，有3種選擇.第2步，涂“新”區域，有2種選擇.第3步，涂“設”區域，由于它與“創”、“新”區域顏色不同，有1種選擇.第4步，涂“計”區域，由于它與“創”“設”區域顏色不同而可與“新”區域顏色相同，有1種選擇.所以根據分步乘法計數原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種).思維升華求解涂色(種植)問題的常用方法有：(1)按區域的不同分步進行，用分步乘法計數原理計數；(2)以顏色(種植作物)為主分類進行，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理計數；(3)對立方體涂色問題可將空間問題平面化，轉化為平面區域涂色問題.訓練3(1)如圖所示，一圓形花壇分成A，B，C，D四塊，現有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數為()A.96 B.84C.60 D.48答案B解析依次種A，B，C，D4塊，當C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48(種)種法.由分類加法計數原理知，不同的種法種數為36＋48＝84.(2)如圖，現要用四種不同的顏色，對四邊形中的四個區域進行著色，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數為()A.48 B.36