11.1平方根與立方根第11章數的開方

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件1.平方根學習目標1.理解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根.2.會求某些數的平方根、算術平方根.3.會用計算器求一個非負數的算術平方根.問題1：學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25cm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？導入新課觀察與思考正方形的面積19162536

邊長13456問題2：若正方形的面積如下，請填表：你能指出“面積→邊長”這些數據變化的共同點嗎？都是已知一個正數的平方，求這個正數.講授新課平方根一如果一個數的平方等于a，即x2=a，那么這個數叫做a

的平方根.5的平方等于25，所以5叫做25的平方根.25的平方根只有一個嗎？還有沒有別的數的平方也等于25？概念

因為3和-3的平方都等于9，我們就說3和-3是9的平方根.也可以說:9的平方根是3和-3.求法根據平方根的意義，可以利用平方運算來求一個數的平方根.1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-4有沒有平方根？為什么？0沒有，因為一個數的平方不可能是負數試一試通過這些題目的解答，你能發現什么?問題：（1）正數有幾個平方根？（2）0有幾個平方根？（3）負數呢？有沒有一個數的平方是負數？想一想因為任何實數的平方都為非負數，所以負數沒有平方根，也沒有算術平方根.平方根的性質：

1.正數有兩個平方根，兩個平方根互為相反數.

2.0的平方根還是0.

3.負數沒有平方根.要點歸納特殊：0的算術平方根是0.記作.

記法

a（a≥0）的算術平方根記為，讀作“根號a”，另一個平方根是它的相反數，即，因此正數a的平方根可以記作，其中a叫做被開方數.算術平方根二概念一般地，如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數x叫做a的算術平方根，也就是a的正的平方根.

根號被開方數（a是非負數，a0）≥+1-1+2-2+3-3149x

x2149+1-1+2-2+3-3這是什么運算？平方運算x2

x開平方運算三問題1：算一算，下面兩種運算有什么關系？

求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方有什么關系？平方與開平方互為逆運算思考：

解：（1）因為72=49，所以，因此49的平方根為±.例1將下列各數開平方：（1）49；（2）；（3）0.01.

（3）因為0.12=0.01，所以，因此0.01的平方根為±.

（2）因為=，所以，因此的平方根為±.典例精析問題2：將2016開平方運算的結果是多少？如何計算呢？計算器計算算術平方根的方法：在計算器上依次鍵入：.對于較大的數，或無法直接找到平方等于某個數時，可以借助計算器來求一個數的算術平方根（有時會是近似值）.被開方數=例2

用計算器求下列各數的算術平方根：

（1）529；（2）44.81（精確到0.01）．說明：用計算器求一個正數的算術平方根，只需直接按書寫順序按鍵即可.

解：(1）在計算器上依次鍵入：，顯示結果為23,所以529的算術平方根為：529=44.81=（2）在計算器上依次鍵入：顯示結果為6.6940271884718，要求精確到0.01，可得

6.69

用計算器求算術平方根四1.填一填（1）9的算術平方根是;（2）的算術平方根是;（3）0.01的算術平方根是;（4）10-6的算術平方根是;（5）(-4)2的算術平方根是;（6）10的算術平方根是.30.110-34當堂練習2.判斷（1）5是25的算術平方根；（2）-6是36的算術平方根；（3）0的算術平方根是0；（4）0.01是0.1的算術平方根；（5）-5是-25的算術平方根.3.你知道下列各式中字母x的取值范圍嗎？（1）正數的算術平方根是____數，0的算術平方根是____，算術平方根等于它本身的數是_____;0，10

正（2）

的算術平方根是_____.

43.填空平方根平方根的概念和性質用計算器求一個數的算術平方根算術平方根的概念和性質課堂小結見《學練優》本課時練習課后作業11.1平方根與立方根第11章數的開方

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件2.立方根學習目標1.了解立方根和開立方的概念.2.會用根號表示一個數的立方根，掌握開立方運算.3.會用計算器求一個數的立方根.導入新課觀察與思考要做一個體積為216cm3的正方體模型（如圖），它的棱長要取多少？你是怎么知道的？解析：設正方體的棱長為x㎝,則這就是要求一個數,使它的立方等于216.因為63=216

所以x=6.

正方體的棱長為6㎝.思考：如果問題中正方體的體積為5cm3，正方體的邊長又該是多少？1.如何表示一個數的立方根?一個數a的立方根可以表示為:a3根指數被開方數其中a是被開方數，3是根指數，3不能省略.讀作:三次根號a，講授新課認識立方根一

如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．記作

.

定義：３如果正方體的體積為5cm3，正方體的邊長又該是多少？解：設正方體的邊長為x,則

所以正方體的邊長是㎝.想一想求一個數的立方根的運算,叫做開立方.立方開立方互逆到現在我們學了幾種運算?+，-，×，÷，乘方，開方（開平方，開立方）根據立方根的意義填空.因為23=8，所以8的立方根是(

)因為()3=0.125,所以0.125的立方是(

)因為()3＝－8，所以－8的立方根是()因為()3

＝，所以的立方()

2-2因為()3

＝0，所以0的立方根是(

)00-2通過這些題目的解答，你能看出正數、0、負數的立方根各有什么特點?請你自己也編三道求立方根的題目，并給出答案.想一想立方根的性質二正數有立方根嗎？如果有，有幾個?負數呢？零呢？一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零.立方根的特征歸納總結被開方數平方根立方根有兩個互為相反數有一個,是正數無平方根零有一個,是負數零正數負數零討論:你能歸納出平方根和立方根的異同點嗎?立方根是它本身的數有那些?有1,-1,0平方根是它本身的數呢?只有0想一想引伸探究因為

=

,=所以因為=,=所以猜一猜:你能從上述問題中總結出互為相反數的兩個數a與-a的立方根的關系嗎？=-2-2=-3-3互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數規律：對于任何數a都有2-2-340例1

計算：典例精析規律：對于任何數a都有8-827-270說明：用計算器求一個有理數的立方根，只需直接按書寫順序按鍵即可.例2

用計算器求下列各數的立方根：

（1）1331；（2）9.263（精確到0.01）．探究用計算器求立方根

解：(1）在計算器上依次鍵入：，顯示結果為11,所以1331SHIFT=（2）在計算器上依次鍵入：顯示結果為2.1001511606987，要求精確到0.01，可得

9.263=SHIFT1.判斷下列說法是否正確，并說明理由.×（2）25的平方根是5×（3）-64沒有立方根×（4）-4的平方根是±2×（5）0的平方根和立方根都是0√（1）的立方根是當堂練習2.求下列各式的值:（1）;;.（2）（3）解:（1）=4;（2）==-5;（3）==.34-歸納:求一個負數的立方根,可以先求出這個負數絕對值的立方根,然后再取它的相反數.立方根立方根的概念、表示及性質用計算器求一個數的立方根課堂小結見《學練優》本課時練習課后作業11.2實數第11章數的開方

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件學習目標1.了解實數的意義，能對實數按要求分類．（重點）2.了解實數范圍內相關概念的意義．（重點）3.了解實數與數軸上點的一一對應關系.能用數軸上的點表示無理數.（難點）

導入新課觀察與思考（1）用計算器求;（2）利用平方運算驗算（1）中所得的結果.=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745用計算機計算，你可能會大吃一驚：那么，是怎樣的數呢？我們知道，有理數包括整數和分數，而任何一個分數寫成小數的形式，必定是有限小數或者無限循環小數，例如：請你隨意寫出三個分數，將它化成小數，驗證這個結論.

在數學上已經證明，沒有一個有理數的平方等于2，也就是說，不是一個有理數.不是一個有理數，實際上，它是一個無限不循環小數.類似地，、圓周率等也都不是有理數，它們都是無限不循環小數.

定義：無限不循環的小數叫做無理數.講授新課無理數的概念一例1

判斷下列數哪些是有理數？哪些是無理數？,

,

,

,有理數是：無理數是：典例精析

解：１．圓周率及一些含有的數２．開方開不盡的數，如：３．有一定的規律，但不循環的無限小數，如：無理數的特征:注意:帶根號的數不一定是無理數判定一個數是不是無理數:

(1)是看它是不是無限小數；(2)看它是不是不循環小數；(3)所有的有理數都能寫成分數形式，但無理數則不能.

具體從以下幾方面來判斷:(1)開方開不盡的數是無理數；(2)是無理數；(3)無理數與有理數的和、差一定是無理數；(4)無理數與有理數（不為0）的積、商一定是無理數.歸納總結實數的概念及分類二有理數和無理數統稱為實數.無理數：無限不循環小數有理數：有限小數或無限循環小數實數分數整數開方開不盡的數有規律但不循環的數按概念分類：負實數正實數數實正有理數負有理數按正負性分類：

0正無理數負無理數0正實數負實數在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣．有理數的運算法則及運算律對實數仍然適用.例如：與互為相反數與互為倒數=？探究：11將兩個邊長為1的正方形剪拼成一個大正方形.你能在數軸上找到表示的點嗎？實數與數軸上點的關系三01-1在數軸上找表示的點數軸上的任一點必定表示一個實數；反過來，每一個實數（有理數或無理數）也都可以用數軸上的一個點來表示.即：實數與數軸上的點一一對應.歸納總結

例2把下列實數表示在數軸上，并比較它們的大小.（用“＜”號連接）

在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總比左邊的數大.＜＜＜＜

解：例3

試比較與π的大小關系.分析：用計算器求得而這樣，容易判斷實數的大小比較和運算，通常可取它們的近似值來進行.例4

計算:.(結果精確到0.01)解:用計算器求得于是所以一、判斷1.實數不是有理數就是無理數.（）2.無理數都是無限不循環小數.（）3.無理數都是無限小數.（）4.帶根號的數都是無理數.（）5.無理數一定都帶根號.（）6.兩個無理數之積不一定是無理數.（）7.兩個無理數之和一定是無理數.（）8.數軸上的任何一點都可以表示實數.（）×××當堂練習２.的相反數是

，絕對值是

.

３.絕對值等于的數是，的平方是.二、填空與選擇

４.比較大小：－７

１.正實數的絕對值是

，０的絕對值是

，

負實數的絕對值是

.它本身0它的相反數

5.一個數的絕對值是

，則這個數是

.<6.（金華·中考）在-3，－，－1，0這四個實數中，最大的是（）A.-3B.－C.－1D.0【解析】因為-3，－，－1為負數，都小于0，所以0最大.答案：DD7.如圖，在數軸上點A和點B之間的整數是

．【解析】1＜＜2，2＜＜3，在與之間的整數是2.答案：2實數有理數和無理數統稱實數課堂小結在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣.實數與數軸上點的一一對應見《學練優》本課時練習課后作業12.1冪的運算第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件1.同底數冪的乘法學習目標1.理解并掌握同底數冪的乘法法則.（重點）2.能夠運用同底數冪的乘法法則進行相關計算.（難點）導入新課問題引入一種電子計算機每秒可進行1千萬億（1015）次運算，它工作103s可進行多少次運算？（1）怎樣列式？1015×103（2）觀察這個算式，兩個因式有何特點？

我們觀察可以發現，1015

和103這兩個因數底數相同，是同底的冪的形式.

所以我們把1015×103這種運算叫做同底數冪的乘法.同底數冪的乘法（1）上題中的10，3，103分別叫什么？103表示的意義是什么？=10×10×103個10相乘103底數冪指數(2)10×10×10×10×10可以寫成什么形式?10×10×10×10×10=105憶一憶講授新課1015×103=？=(10×10×10××10)（15個10）×(10×10×10)(3個10)=10×10×…×10(18個10)=1018=1015+3(乘方的意義)(乘法的結合律)(乘方的意義)議一議…（1）23×24=2（）根據乘方的意義填空，觀察計算結果，你能發現什么規律？試一試=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=27（2）53·54=5（）=(5×5×5)×(5×5×5×5)=5×5×5×5×5×5=5777（3）a3×a4=a（）=(a·a·

a)

·(a·a·a·a)=a

·

a·

a·a·a·a·a=a77注意觀察：計算前后，底數和指數有何變化?猜一猜am·an

=a（？）=a(

)

證一證=(aaa)·

(

個a)(aaa)(

個a)=(aaa)(

個a)(乘方的意義)(乘法的結合律)(乘方的意義)mn

m+nm+n

·

·

…

·

·

…

·

·

…am·an

=am+n

(當m，n都是正整數).同底數冪相乘,底數，指數.不變相加同底數冪的乘法法則：說一說結果：①底數不變②指數相加注意條件：①乘法②底數相同典例精析(1)x2·x5=__________________;(2)(3)(4)例

計算下列各式x2+5=x7a1+6=a7xm+3m+1a=a1=x4m+1a7·a3=a10a·a6·a3=__________________.xm·x3m+1=__________________;a·a6=__________________;a·a6·a3類比同底數冪的乘法公式am

·an=am+n(當m，n都是正整數)am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整數)想一想：當三個或三個以上同底數冪相乘時，是否也具有這一性質呢？用字母表示等于什么呢？am·an·ap比一比=a7·a3=a10當堂練習

1.下面的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正.(1)b3·b3=2b3(2)b3+b3=b6(3)a·a5·a3=a8(4)(-x)4·(-x)4=(-x)16××××b62b3=x8a9(-x)8(1)x·x2·x()=x7(2)xm·（）=x3m(3)8×4=2x，則x=()23×22=2545x2m2.填空：A組（1）（-9）2×93（2）（a-b)2·（a-b)3（3）-a4·（-a)2

3.計算下列各題：注意符號喲

B組(1)xn+1·x2n(2)(3)a·a2+a3公式中的底數和指數可以是一個數、字母或一個式子.注意=95=（a-b)5=-a6=x3n+1=2a3（1）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值;（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.公式逆用：am+n=am·an公式運用：am·an=am+n

解：n-3+2n+1=10,n=4;解：xa+b=xa·xb

=2×3=6.4.創新應用課堂小結同底數冪的乘法法則am·an=am+n

(m,n都是正整數）注意同底數冪相乘，底數不變，指數相加am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整數）直接應用法則常見變形：(-a)2=a2,(-a)3=-a3底數相同時底數不相同時先變成同底數，再應用法則見《學練優》本課時練習課后作業12.1冪的運算第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件2.冪的乘方學習目標1.理解并掌握冪的乘方法則.（重點）2.會運用冪的乘方法則進行冪的乘方的運算.（難點）導入新課問題引入10＝（邊長）2S正＝10×10＝邊長×邊長S正103S正＝102＝103×103S正S正＝（103）2（103）2（10的3次冪的2次方）＝103×103＝103+3＝106（103）2講授新課冪的乘方（1）（a3）2=a3·a3（4）請同學們猜想并通過以上方法驗證：am·am·amamn個am

…

··…=am+m++m

n個m=am·am

（2）（am）2=amn（am）n==a3+3=a6=am+m=a2m(m是正整數)（3）請你觀察上述結果的底數與指數有何變化？自主探究冪的乘方法則符號語言：(am)n=amn

(m，n都是正整數）文字語言：冪的乘方，底數＿＿，指數＿＿.不變相乘歸納總結例

計算：（1）（103）5

；

解:(1)(103)5=103×5

=1015；(2)(a2)4

=a2×4=a8；(3)(am)2

=am·2=a2m.（3）（am）2；（2）（a2）4；典例精析解：－(x4)3

=﹣x4×3

=﹣x12;解：[(﹣x)4]3

=(﹣x)4×3

=(﹣x)12=x12;(5)[(﹣x)4]3；（6）﹣

(x4)3；相反數(4)[(x+y)2]3；解：[(x+y)2]3

=(x+y)2×3

=(x+y)6;(7)a2·a4+(a3)2.解:原式=a2+4+a3×2=a6+a6=2a6.解本小題要注意什么？里面涉及到哪些運算?想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？冪的乘方的乘方[（am）n]p=amnp

[

]4=？（a2）3[

]4（a2）3＝(a6)4=a24當堂練習1.判斷下面計算是否正確？正確的說出理由，不正確的請改正.（1）(x3)3=x6原式=x3×3=x9×（2）x3.x3=x9×原式=x3+3=x6（3）x3+x3=x9×原式=2x32.請小組合作自編一道有關“冪的乘方”的計算題.=(am)n=(an)mx12＝（x

4

）（3）＝（x

3

）（4）＝（x

2）（6）＝（x

6）（2）…3.請你把x12

寫成“冪的乘方”的形式.amn(m，n都是正整數）4.已知am=2，an=3,

求：（1）a2m

，a3n的值；解:(1)

a2m=(am)2=22=4，a3n=(an)3=33=27；(3)a2m+3n=a2m.a3n=(am)2.(an)3=4×27=108.（3）a2m+3n

的值.（2）am+n

的值.

(2)am+n=am.an=2×3=6；amn=(am)n=(an)mam+n=am.an5.已知44×83=2x，求x的值.解：∵44×83=(22)4×(23)3=28×29=217,∴x=17.課堂小結冪的乘方法則（am）n=amn(m,n都是正整數）注意冪的乘方，底數不變，指數相乘冪的乘方與同底數冪的乘法的區別：(am)n=amn;am﹒an=am+n冪的乘方法則的逆用：amn=(am)n=(an)m見《學練優》本課時練習課后作業12.1冪的運算第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件3.積的乘方學習目標1.理解并掌握積的乘方法則及其應用.（重點）2.會運用積的乘方的運算法則進行計算.（難點）導入新課問題引入

1.計算:（1）

10×102×103=______

；（2）

(x5)2=_________.x101062.（1）同底數冪的乘法：am·an=

(m，n都是正整數).am+n（2）冪的乘方：(am)n=

(m,n都是正整數）.amn底數不變指數相乘指數相加同底數冪的乘法冪的乘方其中m,n都是正整數（am）n=amnam·an=am+n想一想：同底數冪的乘法法則與冪的乘方法則有什么相同點和不同點？講授新課積的乘方運算一思考下面兩道題:(1)(2)我們可以根據乘方的意義及乘法交換律、結合律進行運算.這兩道題有什么特點？底數為兩個因式相乘，積的形式.這種形式為積的乘方我們學過的冪的乘方的運算性質適用嗎？自主探究同理：（乘方的意義）（乘法交換律、結合律）（同底數冪相乘的法則）(ab)

n=(ab)·(ab)·····(ab)n個ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n個a

n個b=anbn.證明：思考問題：積的乘方(ab)n=?猜想結論：

因此可得：(ab)n=anbn

(n為正整數).

(ab)n=anbn

(n為正整數)推理驗證

積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(ab)n=anbn

（n為正整數）

想一想：三個或三個以上的積的乘方等于什么？

(abc)n

=anbncn

（n為正整數）知識要點積的乘方法則例1

計算:(1)(2a)3

；(2)(-5b)3

；

(3)(xy2)2

；(4)(-2x3)4.

解：(1)原式=

(2)原式=(3)原式=

(4)原式==8a3；=-125b3；

=x2y4；=16x12.23a3(-5)3b3x2(y2)2(-2)4(x3)4典例精析解：原式逆用冪的乘方的運算性質冪的乘方的運算性質逆用同底數冪的乘法運算性質逆用積的乘方的運算性質例2

計算:an·bn=(ab)n

am+n=am·anamn=(am)n作用：使運算更加簡便快捷！積的乘方法則的逆用二(1)（ab2)3=ab6()×××(2)(3xy)3=9x3y3()×(3)(-2a2)2=-4a4()(4)-(-ab2)2=a2b4()1.判斷:

2.下列運算正確的是（）

A.x.x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C當堂練習(1)(ab)8;(2)(2m)3

;(3)(-xy)5;

(4)(5ab2)3;

(5)(2×102)2

;(6)(-3×103)3.3.計算:

解：(1)原式=a8·b8;(2)原式=23·m3=8m3;(3)原式=(-x)5·y5=-x5y5;(4)原式=53·a3·(b2)3=125a3

b6;(5)原式=22×(102)2=4×104;(6)原式=(-3)3×(103)3=-27×109=-2.7×1010.（1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;

（2）(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy);

（3）(-2x3)3·(x2)2.解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7

=2x9-27x9+25x9

=0;解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4;解：原式=-8x9·x4=-8x13.

注意：運算順序是先乘方，再乘除，最后算加減.4.計算:5.如果（an?bm?b)3=a9b15,求m,n的值.

（an）3?（bm）3?b3=a9b15,

a

3n?b3m?b3=a9b15,

a

3n?b

3m+3=a9b15,

3n=9

,3m+3=15.

n=3,m=4.解：∵（an?bm?b)3=a9b15,課堂小結冪的運算性質性質

am·an=am+n

(am)n=amn

(ab)n=anbn(m，n都是正整數)反向運用am·an=am+n、(am)n=amnan·bn=

(ab)n可使某些計算簡捷注意運用積的乘方法則時要注意：公式中的a，b代表任何代數式；每一個因式都要“乘方”；注意結果的符號、冪指數及其逆向運用（混合運算要注意運算順序）見《學練優》本課時練習課后作業12.1冪的運算第12章整式的乘除

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件

導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件4.同底數冪的除法學習目標1.理解同底數冪的除法法則.（重點）2.能運用同底數冪的除法法則進行運算.（難點）導入新課情境引入問題

木星的質量約是1.9×1024噸，地球的質量約是5.98×1021噸，你知道木星的質量約為地球質量的多少倍嗎?木星的質量約為地球質量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：你還有哪些計算方法?地球木星講授新課同底數冪的除法探究發現1.計算：（1）25×23=？（2）x6·x4=?（3）2m×2n=？28x102m+n2.填空：（1）（）（）×23=28

（2）x6·（）（）=x10（3）（）（）×2n=2m+n25x42m本題直接利用同底數冪的乘法法則計算本題逆向利用同底數冪的乘法法則計算相當于求28÷23=？相當于求x10÷x6=？相當于求2m+n÷2n=？4.試猜想：am÷an=?(m,n都是正整數，且m>n)3.觀察下面的等式，你能發現什么規律？（1）28÷23=25（2）x10÷x6=x4（3）2m+n÷2n=2m同底數冪相除，底數不變，指數相減am÷an=am-n

=28-3=x10--6=2(m+n)-n驗證一：因為am-n·an=am-n+n=am,所以am÷an=am-n.驗證二：一般地，我們有

am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數，且m>n)即同底數冪相除，底數不變，指數相減.知識要點同底數冪的除法試一試用同底數冪法則計算：例

計算：以后，如果沒有特別說明，我們總假設所給出的式子是有意義的.本例中我們約定典例精析解：

1.計算：解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=方法歸納：

底數只是符號不同時，應先化成底數相同的形式，再運用同底數冪的除法法則進行計算.當堂練習2.你會計算下式嗎？本題中底數相同，我們可以把a+b當作一個整體來對待.解：3.計算：(2a-b)7÷(b-2a)4.解：方法1：(2a-b)7÷(b-2a)4=-(b-2a)7÷(b-2a)4

=-(b-2a)3；方法2：(2a-b)7÷(b-2a)4=(2a-b)7÷(2a-b)4=(2a-b)3.4.已知，你能算出的值嗎？解：5.已知飛船的飛行速度約為104米/秒，地球的周長約為4×107米，求飛船繞地球一周大約需要多少秒？解：（4×107）÷104=4×（107÷104）=4×103（秒）.答：飛船繞地球一周大約需要4×103秒.課堂小結同底數冪的除法法則am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數，且m>n）同底數冪相除，底數不變，指數相減同底數冪相除法則的逆用：am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整數，且m>n）見《學練優》本課時練習課后作業12.2整式的乘法第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件1.單項式與單項式相乘學習目標1.理解并掌握單項式與單項式相乘的運算法則.（重點）2.能熟練運用法則進行運算及解決有關化簡求值問題.（難點）導入新課復習引入1.冪的運算性質有哪幾條？

同底數冪的乘法法則：am·an=am+n

(m，n都是正整數).冪的乘方法則：(am)n=amn(m，n都是正整數).積的乘方法則：(ab)n=anbn(m，n都是正整數).同底數冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數，且m>n)2.計算：（1）x2·x3·x4=

;(2)(x3)6=

;(3)(-2a4b2)3=

;(4)(a2)3·a4=

；（5）

.x9x18-8a12b6a101講授新課單項式與單項式相乘問題1

光的速度約為3×105km/s，太陽光照射到地球上需要的時間大約是5×102s，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎?地球與太陽的距離約是(3×105)×(5×102)km想一想：（1）怎樣計算（3×105）×（5×102）？計算過程中用到了哪些運算律及運算性質？（2）如果將上式中的數字改為字母，比如ac5·bc2,怎樣計算這個式子？（2）

ac5·bc2=（a·b)·(c5·c2)(乘法交換律、結合律）=abc5+2(同底數冪的乘法）=abc7.（1）利用乘法交換律和結合律有：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107.這種書寫規范嗎？不規范，應為1.5×108.單項式與單項式相乘，只要將它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母，連同它的指數一起作為積的一個因式.知識要點單項式與單項式的乘法法則

（1）系數相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.注意例

計算：（1）3x2y·（-2xy3）;（2）（-5a2b3）·

（-4b2c）；

解：（1）3x2y·(-2xy3)

=[3·(-2)]·(x2·x)·(y·y3)

=-6x3y4；（2）(-5a2b3)·(-4b2c)=[(-5)·(-4)]·

a2·(b3·

b2)·

c

=20a2b5c

；

典例精析(3)(-5a2b)(-3a)；

(4)

(2x)3(-5xy3).解:

(3)(-5a2b)(-3a)=[(-5)×(-3)](a2?a)b=15a3b；(4)(2x)3(-5xy2)=8x3(-5xy2)=[8×(-5)](x3?x)y2=-40x4y2.單項式與單項式相乘有理數的乘法與同底數冪的乘法乘法交換律和結合律轉化單項式相乘的結果仍是單項式問題2小明的步長為a厘米，他量得一間房子長15步，寬14步，這間屋子占地面積有多少平方厘米？14a15a長是15a，寬為14a的長方形的面積是15a·14a反過來說：15a·14a表示什么？a1.a·a表示什么幾何意義？2.你能說出3a·2ab的幾何意義嗎？

2ab3a2a3ab討論大課堂a當堂練習1.辨析題：下面計算的對不對？如果不對，應當怎樣改正？（1）3a3·2a2=6a6()改正：

.(2)2x2·3x2=6x4()改正：

.(3)3x2·4x2=12x2()改正：

.

(4)5y3·3y5=15y15()改正：

.3a3·2a2=6a5

3x2·4x2=12x45y3·3y5=15y8

×××2.計算：（1）3x2·5x3

；(2)4y·(-2xy2)；（3）(-3x)2·4x2

；

(4)(-2a)3(-3a)2.解：原式=（3×5）（x2·x3)=15x5；解：原式=[4×(-2)]（y·y2)·x=-8xy3；解：原式=9x2·4x2=(9×4)(x2·x2)=36x4；解：原式=-8a3·9a2=[(-8)×9](a3·a2)=-72a5.單獨因式x別漏乘漏寫有積的乘方怎么辦？運算時應先算什么？有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘.注意3.若長方形的寬是a2，長是寬的2倍，則長方形的面積為_____.【解析】由題意可知長方形的長是2a2，所以長方形的面積為a2·2a2=2a4.答案：2a44.一個三角形的一邊長為a，這條邊上的高的長度是它的那么這個三角形的面積是_____.【解析】因為三角形的高為

所以這個三角形的面積是答案：課堂小結單項式與單項式相乘單項式×單項式實質上是轉化為同底數冪的運算注意（1）不要出現漏乘現象

（2）有乘方運算，先算乘方，再算單項式相乘.見《學練優》本課時練習課后作業12.2整式的乘法

第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件2.單項式與多項式相乘學習目標1.理解并掌握單項式與多項式的乘法法則，并能熟練運用法則進行運算及解決有關化簡求值問題.（重點）2.結合幾何圖形的面積計算，幫助理解整式乘法的意義.（難點）如圖，試求出三塊草坪的的總面積是多少？

如果把它看成三個小長方形，那么它們的面積可分別表示為_____、_____、_____.

ppabpcpapcpb導入新課ppabpccbappa+pb+pcp(a+b+c)p(a+b+c)pb+pcpa+根據乘法的分配律試一試：計算：2a2·(3a2－5b).解：原式=２a2·3a2

+2a2·(－5b)

=6a4－10a2b.根據乘法分配律,乘以它的每一項．單項式與多項式相乘講授新課知識要點單項式乘以多項式的法則單項式與多項式相乘，將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加.

（1）依據是乘法分配律；（2）積的項數與多項式的項數相同.注意mbpapc例

計算：(-4x)·(2x2+3x-1).

解：(-4x)·(2x2+3x-1)＝＝-8x3-12x2+4x.典例精析(-4x)·(2x2)+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)當堂練習1.單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的________,再把所得的積________.2.4（a-b+1)=________________.每一項相加4a-4b+43.3x（2x-y2)=_________________.6x2-3xy24.（2x-5y+6z)(-3x)=________________.-6x2+15xy-18xz5.(-2a2)2（-a-2b+c)=_________________.-4a5-8a4b+4a4c6.計算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).

（1）將2x2與5x前面的“-”看成性質符號；（2）單項式與多項式相乘的結果中，應將同類項合并.

注意解：原式=(-2x2)·xy+(-2x2)·y2+(-5x)·x2y+(-5x)·(-xy2)=-2x3

y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2.7.先化簡，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2.解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.當a=-2時，原式=-20×（-2）2+9×（-2）=-98.住宅用地人民廣場商業用地3a3a+2b2a-b4a8.如圖，一塊長方形地用來建造住宅、廣場、商廈，求這塊地的面積.解：4a[(3a+2b)+(2a-b)]＝4a(5a+b)＝4a·5a+4a·b=20a2+4ab.答：這塊地的面積為20a2+4ab.課堂小結整式乘法單項式×多項式實質上是轉化為同底數冪的運算實質上是轉化為單項式×單項式四點注意（1）計算時,要注意符號問題,多項式中每一項都包括它前面的符號,單項式分別與多項式的每一項相乘時，同號相乘得正，異號相乘得負（2）不要出現漏乘現象

（3）運算要有順序：先乘方，再乘除，最后加減（4）對于混合運算，注意最后應合并同類項見《學練優》本課時練習課后作業12.2整式的乘法第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件3.多項式與多項式相乘學習目標1.理解并掌握多項式與多項式的乘法運算法則.（重點）2.能夠用多項式與多項式的乘法運算法則進行計算.（難點）導入新課復習引入1.如何進行單項式與多項式乘法的運算？②

再把所得的積相加.①將單項式分別乘以多項式的各項；2.進行單項式與多項式乘法運算時，要注意什么?①不能漏乘:即單項式要乘遍多項式的每一項；②去括號時注意符號的確定.多項式乘多項式問題1

(a+b)X=?(a+b)X=aX+bX(a+b)X=(a+b)(m+n)當X=m+n時,(a+b)X=?提出問題講授新課問題2

某地區在退耕還林期間，有一塊原長m米，寬為a米的長方形林區增長了n米，加寬了b米，請你表示這塊林區現在的面積.ambnmanambnbambn你能用不同的形式表示所拼圖的面積嗎？這塊林區現在長為（m+n）米，寬為（a+b）米.由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一塊地的面積，故有：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.如何進行多項式與多項式相乘的運算？實際上，把(m+n)看成一個整體，有：=ma+mb+na+nb.(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。知識要點多項式乘以多項式1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn多乘多順口溜：多乘多，來計算，多項式各項都見面，乘后結果要相加，化簡、排列才算完.典例精析例

計算:（1）（3x+1)(x+2)；(2)(x-8)(x-y)；(3)(x+y)(x2-xy+y2).解：(1)原式=3x·x+2×3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2；(2)原式=x·x-xy-8x+8y=x2-xy-8x+8y；

(3)原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.注意需要注意的幾個問題:(1)漏乘;(2)符號問題;(3)最后結果應化成最簡形式.當堂練習1.判別下列解法是否正確，若錯請說出理由.解：原式解：原式

2.計算：(1)(x?3y)(x+7y)；(2)(2x

+5y)(3x?2y).解:

(1)(x?3y)(x+7y)+7xy?3yx=x2+4xy21y2；

21y2（2）(2x

+5

y)(3x?2y)==x22x?3x?2x?2y+5

y?3x?5y?2y=6x2?4xy+

15xy?10y2=6x2+11xy?10y2.??3.計算求值：（4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2.解:原式=當x=1,y=-2時，原式=22×12-7×1×（-2）-14×(-2)2=22+14-56=-20.觀察上面四個等式，你能發現什么規律？并應用這個規律解決下面的問題.56(-3)(-4)2(-8)(-5)6口答：4.計算：5.小東找來一張掛歷畫包數學課本．已知課本長a厘米，寬b厘米，厚c厘米，小東想將課本封面與封底的每一邊都包進去m厘米，問小東應在掛歷畫上裁下一塊多大面積的長方形？八年級(上)姓名：____________數學cbaabcmbm面積：(2m+2b+c)(2m+a)解：(2m+2b+c)(2m+a)=4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.答：小東應在掛歷畫上裁下一塊（4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca）平方厘米的長方形.課堂小結多項式×多項式運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn注意不要漏乘；正確確定各項符號；結果要最簡實質上是轉化為單項式×多項式的運算(x-1)2在一般情況下不等于x2-12.見《學練優》本課時練習課后作業12.3乘法公式第12章整式的乘除

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導入新課講授新課當堂練習課堂小結學練優八年級數學上（HS）教學課件1.兩數和乘以這兩數的差學習目標1.理解兩數和乘以這兩數差的幾何意義.（重點）2.理解并掌握兩數和乘以這兩數差的公式結構，并能正確運算.（難點）導入新課情境引入

王劍同學去商店買了單價是9.8元／千克的糖塊10.2千克，售貨員剛拿起計算器，王劍就說出應付99.96元，結果與售貨員計算出的結果相吻合.售貨員驚訝地問：“這位同學，你怎么算得這么快?”王劍同學說：“我利用了在數學上剛學過的一個公式.”你知道王劍同學用的是一個什么樣的公式嗎?你現在能算出來嗎?學了本節之后，你就能解決這個問題了.講授新課平方差公式探究發現5米5米a米(a-5)(a+5)米相等嗎？原來現在a2(a+5)(a-5)面積變了嗎？①(x

＋1)(x－1)；②(m

＋2)(m－2)；③(2m＋1)(2m－1)；④(5y

＋z)(5y－z).計算下列多項式的積，你能發現什么規律？算一算：看誰算得又快又準.②（m＋2)(m－2）=m2－22③（2x＋1)(2x－1)=4m2－12④（5y

＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1，想一想：這些計算結果有什么特點？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2(a+b)(a?b)=a2?b2兩數和與這兩數差的積,等于這兩數的平方差.這個公式叫做兩數和與這兩數差的乘法公式.有時也簡稱為平方差公式.公式變形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2知識要點平方差公式=－(a+b)(a－b)a2b2幾何解釋b2aabb(a-b)(a+b)a2觀察圖形，再用等式表示圖中圖形面積的運算：平方差公式注：這里的兩數可以是兩個單項式,也可以是兩個多項式等,．(a+b)(a-b)=a2-b2

相同為a

相反為b適當交換合理加括號練一練：口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b)=

_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)例1填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)典例精析例2

計算1998×2002.19982002=（2000-2）（2000+2）=