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第21講定值問題的核心思路所謂定值問題,是指雖然圓錐曲線中的某些量在變化,但在變化過程中,某個量的值保持不變,即為定值.定值問題的解題目的:消掉所有參數,得到某個量為一個無參的數值,即為定值,可以是面積、線段長度、向量積和斜率為定值.常用消參方法:(1)等式帶用消參:找到兩個參數之間的等式關系,用一個參數表示另外一個參數,即可帶用其他式子,消去參數.(2)分式相除消參:兩個含參數的式子相除,消掉分子和分母所含參數,從而得到定值.(3)因式相減消參:兩個含參數的因式相減,把兩個因式所含參數消掉.(4)參數無關消參:當與參數相關的因式為時,此時與參數的取值沒什么關系,比如:,只要因式,就和參數沒什么關系了,或者說參數不起作用.面積定值所謂面積定值問題,就是證明一個圖形的面積為定值,我們需要把所有參數消掉,這里消參的方式主要會用到兩種:分式相除消參和等式帶用消參,這兩種方法也往往是結合起來的,請慢慢體會.方法一:分式相除消參【例1】如下圖所示,已知雙曲線,直線與曲線右支相切(切點不為右頂點),且分別交雙曲線的兩條漸近線于,兩點,為坐標原點.求證:面積為定值,并求出該定值.【解析】證明由于直線與雙曲線右支相切(切點不為右頂點),則直線的斜率存在,設直線的方程為,聯立,消整理得,.設與軸交于一點,則,,雙曲線兩條漸近線方程為:,聯立得.聯立得.則(定值).【例2】如下圖所示,點為橢圓:上位于第一象限內一動點,分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線與軸交于點,直線與軸交于點.求證:四邊形的面積為定值.【解析】證明∵橢圓的方程為:,∴,.設,則1,即.則直線的方程為:,令,得.同理,直線的方程為:,令,得.∴.即四邊形的面積為定值2.等式帶入消參【例1】如下圖所示,若直線與橢圓交于兩點,為坐標原點,直線的斜率之積等于.試探求的面積是否為定值,并說明理由.【解析】證明由直線與橢圓交于兩點,聯立方程,整理得.設,,則,,.∵,∴.∴.原點到的距離,∴.【例2】直線與橢圓交于兩點,在橢圓上且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.【解析】證明設,,,聯立,消去并整理得,則,,.∵四邊形為平行四邊形,∴,得點,將點坐標代入橢圓方程得.點到直線的距離為,,∴平行四邊形的面積為,故四邊形的面積為,為定值.【例3】點在橢圓上,點是橢圓上與點不重合的任意兩點,若的重心是坐標原點,試證明:的面積為定值,并求出該定值.【解析】證明最多只有條邊所在直線與軸垂直,不妨設所在直線與軸不垂直,其方程為.∵的重心是,∴不在直線上,.聯立,消去整理得.設,,則,且,.從而.設點.∵的重心是坐標原點,∴.∴,.∵點在粗圓上,∴,即,且符合.點到直線的距離為,的面積,∵即,∴,為常數.向量積定值【例1】如下圖所示,過點的動直線交橢圓于另一點,設,過橢圓中心作直線的垂線交于點,求證:為定值.【解析】證明設直線的方程為(一定存在,且).聯立,消去并整理得.【解析】得,于是.易知點,∴的斜率為.∵,∴直線的方程為.聯立,【解析】得.故,為定值.【例2】設圓上任意一點處的切線交橢圓于點,問:是否為定值?若是,求出此定值.存不是,說明理由.【解析】證明(1)當切線的斜率不存在時,其方程為.將代入得.不妨設,,又由于點,∴.同理,當時,也有.(2)當切線的斜率存在時,設方程為,點,點.∵直線與苦相切,∴,即.將代入得,∴,.又.又.將代入上式得.綜上,,為定值.斜率定值所謂斜率定值是關于兩直線斜率的和、積或者商為定值的問題,其【解析】題思路依然是想辦法消參.題型一:斜率的和為定值【例1】過點的直線與橢圓:相交于兩點,設點,直線的斜率分別為,是否為定值?并證明你的結論.【解析】(1)當直線的斜率不存在時,由,解得.設,,,為定值.(2)當直線的斜率存在時,設直線的方程為,將代入,整理化簡得.依題意,直線與橢圓必相交于兩點,設,,則,,又,,∴.綜上得為定值2.【例2】已知點,,過點的直線交橢圓于兩點,直線的斜率分別為.求證:為定值.【解析】證明∵過點的直線與橢圓交于兩點,∴直線的斜率一定存在,設斜率為,則直線的方程為:.設,.聯設,消得,∴.∵,∴.∴.綜上,為定值2.斜率的積為定值【例1】如下圖所示,為坐標原點,橢圓的右頂點和上頂點分別為,,的面積為1.(1)求橢圓的方程.(2)若點,點是橢圓上的兩點,且,記直線的斜率分別為.證明:為定值.【解析】(1)由題意知,由于,解得,故的方程為.(2)由(1)題得,,直線的斜率為.∵,故可設的方程為.設點,點,聯立,消去得,∴,從而.直線的斜率,直線的斜率.∴.故為定值.【例2】已知橢圓的方程為,若直線與橢圓有且只有一個公共點,直線與圓交于兩點,直線的斜率分別記為.試判斷是否為定值,若是,求出該定值.否則,請說明理由.【解析】為定值.理由如下:(1)當過點的直線斜率不存在時,直線的方程為.①當時,,,則.②當時,,,則.(2)當過的直線斜率存在時,設其方程為,,.聯立,消去整理得.由題意知得.聯立,消去整理得.則,.∴.綜上,為定值.斜率的商為定值【例1】如下圖所示,點為橢圓的右焦點,過點的直線與橢圓交于兩點,設直線的斜率分別為,求證:為定值.【解析】證明法一:設直線為,代入橢圓方程消去可得.∴,.則,即,∴,即為定值.法二:設直線為,代入橢圓方程消去得,則,.∴∵,,代入得.即為定值.【例2】過點斜率為的直線交拋物線于兩點,點,延長分別與拋物線交于兩點,設的斜率為.證明:為定值.【解析】設點,點,點,點,由題意可知直線的方程為,代入拋物線中,消去得,則,.由直線過點,可得,∴,.于是,即,故為定值,命題得證.線段定值【例1】設橢圓的左、右頂點分別為點,左焦點為點,過點的直線與橢圓交于兩點(點和點均不在坐標軸上),直線分別與軸交于點,直線分別與軸交于點.求證:為定值,并求出該定值.【解析】證明由題意知,,,.∵直線不與軸垂直,且不過橢圓的上、下頂點,∴可設直線的方程為.設,.聯立,消去整理得..由韋達定理得,.直線的方程為,∴點.同理,.∴.直線的方程為,點.同理,點.∴.由題意,,故.【例2】過點作直線交橢圓于另外一點,交軸于點,為橢圓上一點,且.求證:為定值.【解析】證明設直線方程:,,聯立得.由韋達定理得,,,則,,.設直線方程為且令,聯立,得,由韋達定理得,,∴,,∴定值為.【例3】過橢圓的右焦點的直線(的斜率存在)交橢圓于兩點,弦的垂直平分線交軸于點.問:是否是定值?若是,求出定值:老不是,說明理由.【解析】分以下兩種情況討論.(1)當直線斜率不為時,設其方程為,且,,聯立,消去得,則,且,∴弦的中點的坐標為,則弦的垂直平分線方程為,令,得,∴,又,∴.(2)當直線斜率為時,則,,則.綜合(1)式,(2)式得是定值,且為.【例4】如下圖所示,在平面直角坐標系中,已知拋物線的準線方程為,過點作拋物線的切線,切點為(異于點),直線過點與拋物線交于兩點,與直線交于點

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