第21講定值問題的核心思路所謂定值問題，是指雖然圓錐曲線中的某些量在變化，但在變化過程中，某個量的值保持不變，即為定值．定值問題的解題目的：消掉所有參數，得到某個量為一個無參的數值，即為定值，可以是面積、線段長度、向量積和斜率為定值．常用消參方法：（1）等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．（2）分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．（3）因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．（4）參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．面積定值所謂面積定值問題，就是證明一個圖形的面積為定值，我們需要把所有參數消掉，這里消參的方式主要會用到兩種：分式相除消參和等式帶用消參，這兩種方法也往往是結合起來的，請慢慢體會．方法一：分式相除消參【例1】如下圖所示，已知雙曲線，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，為坐標原點．求證：面積為定值，并求出該定值．【解析】證明由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），則直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立，消整理得，．設與軸交于一點，則，，雙曲線兩條漸近線方程為：，聯立得．聯立得．則（定值）．【例2】如下圖所示，點為橢圓：上位于第一象限內一動點，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：四邊形的面積為定值．【解析】證明∵橢圓的方程為：，∴，．設，則1，即．則直線的方程為：，令，得．同理，直線的方程為：，令，得．∴．即四邊形的面積為定值2．等式帶入消參【例1】如下圖所示，若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于．試探求的面積是否為定值，并說明理由．【解析】證明由直線與橢圓交于兩點，聯立方程，整理得．設，，則，，．∵，∴．∴．原點到的距離，∴．【例2】直線與橢圓交于兩點，在橢圓上且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．【解析】證明設，，，聯立，消去并整理得，則，，．∵四邊形為平行四邊形，∴，得點，將點坐標代入橢圓方程得．點到直線的距離為，，∴平行四邊形的面積為，故四邊形的面積為，為定值．【例3】點在橢圓上，點是橢圓上與點不重合的任意兩點，若的重心是坐標原點，試證明：的面積為定值，并求出該定值．【解析】證明最多只有條邊所在直線與軸垂直，不妨設所在直線與軸不垂直，其方程為．∵的重心是，∴不在直線上，．聯立，消去整理得．設，，則，且，．從而．設點．∵的重心是坐標原點，∴．∴，．∵點在粗圓上，∴，即，且符合．點到直線的距離為，的面積，∵即，∴，為常數．向量積定值【例1】如下圖所示，過點的動直線交橢圓于另一點，設，過橢圓中心作直線的垂線交于點，求證：為定值．【解析】證明設直線的方程為（一定存在，且）．聯立，消去并整理得．【解析】得，于是．易知點，∴的斜率為．∵，∴直線的方程為．聯立，【解析】得．故，為定值．【例2】設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，問：是否為定值？若是，求出此定值．存不是，說明理由．【解析】證明（1）當切線的斜率不存在時，其方程為．將代入得．不妨設，，又由于點，∴．同理，當時，也有．（2）當切線的斜率存在時，設方程為，點，點．∵直線與苦相切，∴，即．將代入得，∴，．又．又．將代入上式得．綜上，，為定值．斜率定值所謂斜率定值是關于兩直線斜率的和、積或者商為定值的問題，其【解析】題思路依然是想辦法消參．題型一：斜率的和為定值【例1】過點的直線與橢圓：相交于兩點，設點，直線的斜率分別為，是否為定值？并證明你的結論．【解析】（1）當直線的斜率不存在時，由，解得．設，，，為定值．（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，將代入，整理化簡得．依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設，，則，，又，，∴．綜上得為定值2．【例2】已知點，，過點的直線交橢圓于兩點，直線的斜率分別為．求證：為定值．【解析】證明∵過點的直線與橢圓交于兩點，∴直線的斜率一定存在，設斜率為，則直線的方程為：．設，．聯設，消得，∴．∵，∴．∴．綜上，為定值2．斜率的積為定值【例1】如下圖所示，為坐標原點，橢圓的右頂點和上頂點分別為，，的面積為1．（1）求橢圓的方程．（2）若點，點是橢圓上的兩點，且，記直線的斜率分別為．證明：為定值．【解析】（1）由題意知，由于，解得，故的方程為．（2）由（1）題得，，直線的斜率為．∵，故可設的方程為．設點，點，聯立，消去得，∴，從而．直線的斜率，直線的斜率．∴．故為定值．【例2】已知橢圓的方程為，若直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與圓交于兩點，直線的斜率分別記為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值．否則，請說明理由．【解析】為定值．理由如下：（1）當過點的直線斜率不存在時，直線的方程為．①當時，，，則．②當時，，，則．（2）當過的直線斜率存在時，設其方程為，，．聯立，消去整理得．由題意知得．聯立，消去整理得．則，．∴．綜上，為定值．斜率的商為定值【例1】如下圖所示，點為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于兩點，設直線的斜率分別為，求證：為定值．【解析】證明法一：設直線為，代入橢圓方程消去可得．∴，．則，即，∴，即為定值．法二：設直線為，代入橢圓方程消去得，則，．∴∵，，代入得．即為定值．【例2】過點斜率為的直線交拋物線于兩點，點，延長分別與拋物線交于兩點，設的斜率為．證明：為定值．【解析】設點，點，點，點，由題意可知直線的方程為，代入拋物線中，消去得，則，．由直線過點，可得，∴，．于是，即，故為定值，命題得證．線段定值【例1】設橢圓的左、右頂點分別為點，左焦點為點，過點的直線與橢圓交于兩點（點和點均不在坐標軸上），直線分別與軸交于點，直線分別與軸交于點．求證：為定值，并求出該定值．【解析】證明由題意知，，，．∵直線不與軸垂直，且不過橢圓的上、下頂點，∴可設直線的方程為．設，．聯立，消去整理得．．由韋達定理得，．直線的方程為，∴點．同理，．∴．直線的方程為，點．同理，點．∴．由題意，，故．【例2】過點作直線交橢圓于另外一點，交軸于點，為橢圓上一點，且．求證：為定值．【解析】證明設直線方程：，，聯立得．由韋達定理得，，，則，，．設直線方程為且令，聯立，得，由韋達定理得，，∴，，∴定值為．【例3】過橢圓的右焦點的直線（的斜率存在）交橢圓于兩點，弦的垂直平分線交軸于點．問：是否是定值？若是，求出定值：老不是，說明理由．【解析】分以下兩種情況討論．（1）當直線斜率不為時，設其方程為，且，，聯立，消去得，則，且，∴弦的中點的坐標為，則弦的垂直平分線方程為，令，得，∴，又，∴．（2）當直線斜率為時，則，，則．綜合（1）式，（2）式得是定值，且為．【例4】如下圖所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線的準線方程為，過點作拋物線的切線，切點為（異于點），直線過點與拋物線交于兩點，與直線交于點