第21講定值問題的核心思路所謂定值問題，是指雖然圓錐曲線中的某些量在變化，但在變化過程中，某個(gè)量的值保持不變，即為定值．定值問題的解題目的：消掉所有參數(shù)，得到某個(gè)量為一個(gè)無(wú)參的數(shù)值，即為定值，可以是面積、線段長(zhǎng)度、向量積和斜率為定值．常用消參方法：（1）等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．（2）分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．（3）因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．（4）參數(shù)無(wú)關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．面積定值所謂面積定值問題，就是證明一個(gè)圖形的面積為定值，我們需要把所有參數(shù)消掉，這里消參的方式主要會(huì)用到兩種：分式相除消參和等式帶用消參，這兩種方法也往往是結(jié)合起來(lái)的，請(qǐng)慢慢體會(huì)．方法一：分式相除消參【例1】如下圖所示，已知雙曲線，直線與曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：面積為定值，并求出該定值．【解析】證明由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，．設(shè)與軸交于一點(diǎn)，則，，雙曲線兩條漸近線方程為：，聯(lián)立得．聯(lián)立得．則（定值）．【例2】如下圖所示，點(diǎn)為橢圓：上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：四邊形的面積為定值．【解析】證明∵橢圓的方程為：，∴，．設(shè)，則1，即．則直線的方程為：，令，得．同理，直線的方程為：，令，得．∴．即四邊形的面積為定值2．等式帶入消參【例1】如下圖所示，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于．試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．【解析】證明由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，整理得．設(shè)，，則，，．∵，∴．∴．原點(diǎn)到的距離，∴．【例2】直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在橢圓上且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．【解析】證明設(shè)，，，聯(lián)立，消去并整理得，則，，．∵四邊形為平行四邊形，∴，得點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得．點(diǎn)到直線的距離為，，∴平行四邊形的面積為，故四邊形的面積為，為定值．【例3】點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是橢圓上與點(diǎn)不重合的任意兩點(diǎn)，若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明：的面積為定值，并求出該定值．【解析】證明最多只有條邊所在直線與軸垂直，不妨設(shè)所在直線與軸不垂直，其方程為．∵的重心是，∴不在直線上，．聯(lián)立，消去整理得．設(shè)，，則，且，．從而．設(shè)點(diǎn)．∵的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，∴．∴，．∵點(diǎn)在粗圓上，∴，即，且符合．點(diǎn)到直線的距離為，的面積，∵即，∴，為常數(shù)．向量積定值【例1】如下圖所示，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)，過橢圓中心作直線的垂線交于點(diǎn)，求證：為定值．【解析】證明設(shè)直線的方程為（一定存在，且）．聯(lián)立，消去并整理得．【解析】得，于是．易知點(diǎn)，∴的斜率為．∵，∴直線的方程為．聯(lián)立，【解析】得．故，為定值．【例2】設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，問：是否為定值？若是，求出此定值．存不是，說(shuō)明理由．【解析】證明（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，其方程為．將代入得．不妨設(shè)，，又由于點(diǎn)，∴．同理，當(dāng)時(shí)，也有．（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，點(diǎn)，點(diǎn)．∵直線與苦相切，∴，即．將代入得，∴，．又．又．將代入上式得．綜上，，為定值．斜率定值所謂斜率定值是關(guān)于兩直線斜率的和、積或者商為定值的問題，其【解析】題思路依然是想辦法消參．題型一：斜率的和為定值【例1】過點(diǎn)的直線與橢圓：相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率分別為，是否為定值？并證明你的結(jié)論．【解析】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，解得．設(shè)，，，為定值．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入，整理化簡(jiǎn)得．依題意，直線與橢圓必相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，則，，又，，∴．綜上得為定值2．【例2】已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為．求證：為定值．【解析】證明∵過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，∴直線的斜率一定存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為：．設(shè)，．聯(lián)設(shè)，消得，∴．∵，∴．∴．綜上，為定值2．斜率的積為定值【例1】如下圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，的面積為1．（1）求橢圓的方程．（2）若點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)，且，記直線的斜率分別為．證明：為定值．【解析】（1）由題意知，由于，解得，故的方程為．（2）由（1）題得，，直線的斜率為．∵，故可設(shè)的方程為．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立，消去得，∴，從而．直線的斜率，直線的斜率．∴．故為定值．【例2】已知橢圓的方程為，若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別記為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值．否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】為定值．理由如下：（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為．①當(dāng)時(shí)，，，則．②當(dāng)時(shí)，，，則．（2）當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，．聯(lián)立，消去整理得．由題意知得．聯(lián)立，消去整理得．則，．∴．綜上，為定值．斜率的商為定值【例1】如下圖所示，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值．【解析】證明法一：設(shè)直線為，代入橢圓方程消去可得．∴，．則，即，∴，即為定值．法二：設(shè)直線為，代入橢圓方程消去得，則，．∴∵，，代入得．即為定值．【例2】過點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)分別與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為．證明：為定值．【解析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，由題意可知直線的方程為，代入拋物線中，消去得，則，．由直線過點(diǎn)，可得，∴，．于是，即，故為定值，命題得證．線段定值【例1】設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，左焦點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），直線分別與軸交于點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)．求證：為定值，并求出該定值．【解析】證明由題意知，，，．∵直線不與軸垂直，且不過橢圓的上、下頂點(diǎn)，∴可設(shè)直線的方程為．設(shè)，．聯(lián)立，消去整理得．．由韋達(dá)定理得，．直線的方程為，∴點(diǎn)．同理，．∴．直線的方程為，點(diǎn)．同理，點(diǎn)．∴．由題意，，故．【例2】過點(diǎn)作直線交橢圓于另外一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．求證：為定值．【解析】證明設(shè)直線方程：，，聯(lián)立得．由韋達(dá)定理得，，，則，，．設(shè)直線方程為且令，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理得，，∴，，∴定值為．【例3】過橢圓的右焦點(diǎn)的直線（的斜率存在）交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)．問：是否是定值？若是，求出定值：老不是，說(shuō)明理由．【解析】分以下兩種情況討論．（1）當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)其方程為，且，，聯(lián)立，消去得，則，且，∴弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則弦的垂直平分線方程為，令，得，∴，又，∴．（2）當(dāng)直線斜率為時(shí)，則，，則．綜合（1）式，（2）式得是定值，且為．【例4】如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)），直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)