第15講參數方程解決最值和范圍問題參數方程的核心在于引入參數作為中間變量來統一坐標,把雙元問題轉化為單元問題,結合三角函數來求解距離最值問題和范圍問題.解題時需要設出曲線上的點,的參數坐標,再代人距離公式計算即可.坐標最值【例1】已知圓的極坐標方程為。.(1)將極坐標方程化為直角坐標方程.(2)若點在該圓上,求1的最大值和最小值.【解析】(1)已知圓的極坐標方程為,整理得,即,圓的直角坐標方程為.(2)由(1)題知,圓的直角坐標方程為,圓的參數方程為（其中為參數,),點的坐標為在該圓上,的坐標為,【例2】在平面直角坐標系中,直線的參數方程是(其中為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸,且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線和曲線的直角坐標方程.(2)設為曲線上的任意一點,求的取值范圍.【解析】(1)已知直線的參數方程是(其中為參數),消去參數可得直線的直角坐標方程:.由得,整理得,故由線的直角坐標方程為.(2)根據(1)題得曲線的直角坐標方程:.令,則,.的取值范圍是.點到點的距離【例1】在直角坐標系中,曲線的直角坐標方程為,在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程.(2)點為曲線上一動點,點為曲線上一動點,試求的最小值.【解析】(1)將代入曲線的極坐標方程,整理得曲線的直角坐標方程為.(2)根據已知,設點坐標為,,曲線是一個圓,其圓心為,.【例2】在極坐標系中,點的坐標為的坐標為,曲線的極坐標方程:.以極點為坐標原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系.(1)在直角坐標系中,求點的直角坐標及曲線的參數方程.(2)設點為曲線上的動點,求的取值范圍.【解析】(1)已知,【解析】得.,,即.曲線的參數方程為(其中為參數).(2)不妨設點的坐標為,,點線距離問題【例1】在平面直角坐標系中,直線的參數數方程為(其中為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標方程.(2)設點為曲線上的動點,求點到直線的距離的最小值.【解析】(1)曲線的直角坐標方程為,將代入直線的極坐標方程,得的直角坐標方程為.(2)設點,的坐標為,則點.到直線的距離,當時,距離最小,最小值.【例2】在極坐標系中,直線4,圓.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.(1)求直線的直角坐標方程和圓的參數方程.(2)已知點在圓上,點到和軸的距離分別為,求的最大值.【解析】(1)的極坐標方程為4,整理得.直線的直角坐標方程為.圓的極坐標方程為,整理得,圓的直角坐標方程為.由得圓的參數方程為（其中為參數,且.(2)設點的坐標為,則.當時,取得最大值7.【例3】已知曲線,直線:(其中為參數).(1)寫出曲線的參數方程和直線的直角坐標方程.(2)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,求的最大值與最小值.【解析】(1)曲線的參數方程為 直線的直角坐標方程為.(2)曲線上任意一點到的距離,則.其中為銳角,且.當時,取到最大值，最大值為.當時,取到最小值,最小值為.【例4】在平面直角坐標系中,橢圓的參數方程為(其中為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(1)求經過橢圓右焦點且與直線垂直的直線的極坐標方程.(2)若點為橢圓上任意一點,當點到直線的距離最小時,求點的直角坐標.【解析】(1)已知橢圓的參數方程為（其中為參數）,消去參數,整理得,橢圓的標準方程為.橢圓的右焦點為