湖南省岳陽市平江縣第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，其中奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先一一列舉所有的基本事件，再找到滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，共有10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，故25中等可能事件，其中奇數(shù)有13，15，21，23，25，31，35，41，43，45，51，53，共12個(gè)，故從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，其中奇數(shù)的概率為P=，故選：B【點(diǎn)評(píng)】數(shù)字問題是概率中經(jīng)常出現(xiàn)的題目，一般可以列舉出要求的事件，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的可以借助于排列數(shù)和組合數(shù)來表示2.一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)倒放的圓錐，由正視圖和側(cè)視圖都是邊長為?的正三角形可知此圓錐的半徑與圓錐的高，故解三角形求出其高即可求得幾何體的表面積．【解答】解：此幾何體是一個(gè)圓錐，由正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，其底面半徑為，且其高為正三角形的高由于此三角形的高為，故圓錐的高為此全面積為=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是圓錐的體積．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視長對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等”．3.x（2﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（） A．﹣64 B． ﹣32 C． 32 D． 64參考答案：B略4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且其漸近線的方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略5.已知，則（

）A.－45 B.120 C.－120 D.45參考答案：B【分析】由，結(jié)合的展開式的通項(xiàng)，即可得出.【詳解】，為的系數(shù)的展開式的通項(xiàng)為由得則故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.6.若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.－2 B.1 C.2 D.4參考答案：D【分析】已知x，y滿足約束條件，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進(jìn)行求解；【詳解】∵x，y滿足約束條件，畫出可行域，如圖：由目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知，z在點(diǎn)A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故選：D．【點(diǎn)睛】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用步驟為：①由約束條件畫出可行域?②理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值；也可將可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證，求出最值．7.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.如圖，四邊形ABCD為距形，AB=，BC=1，以A為圓心，AD為半徑畫圓，交線段AB于E，在圓弧DE上任取一點(diǎn)P，則直線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由題意知本題是幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是∠BAD，滿足條件的事件是直線AP在∠CAB內(nèi)時(shí)AP與BC相交，即直線AP與線段BC有公共點(diǎn)，根據(jù)幾何概型公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是∠BAD，如圖，連接AC交弧DE于P，則tan∠CAB==，∴∠CAB=30°，滿足條件的事件是直線AP在∠CAB內(nèi)時(shí)AP與BC相交時(shí)，即直線AP與線段BC有公共點(diǎn)∴概率P===．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何摡型的概率計(jì)算問題，幾何概型的概率值是通過長度、面積、和體積的比值得到的．9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為,P為拋物線上一點(diǎn),，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么

（

）

A.

B.

8

C.

D.

16參考答案：B10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為（

）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A（1，1，﹣2），點(diǎn)B（1，1，1），則線段AB的長度是

．參考答案：3【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】直接運(yùn)用距離公式，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，|AB|=1+2=3．故答案為3．12.設(shè)銳角的面積為2，邊的中點(diǎn)分別為，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________．參考答案：13.若﹣9，a1，a2，﹣1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得a2﹣a1和b2的值，易得答案．【解答】解：∵﹣9，a1，a2，﹣1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，∴a2﹣a1=（﹣1+9）=，∵，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，∴b22=﹣9×（﹣1），解得b2=±3，由b12=﹣9b2可得b2＜0，故b2=﹣3，∴=﹣故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意b2的取舍是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為

．參考答案：15.拋物線（）上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，則a=________.參考答案：16【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，列出方程，即可求解．【詳解】由拋物線，可得其準(zhǔn)線方程為，又由拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為到拋物線的準(zhǔn)線的距離，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.同時(shí)擲四枚均勻的硬幣，有三枚“正面向上”的概率是____________.參考答案：17.若是純虛數(shù)，則的值為

．參考答案：

.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）若，且，求證：參考答案：要證，只需證即，因，只需證即，

………………6分因?yàn)?，則

………………10分因?yàn)?，所以，從而所以?/p>

………………13分19.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，，且滿足，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：（1）；（2）．（1），，即，即，當(dāng)時(shí)，，，以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴．（2），記，

①

②由①②得，，∴，．20.已知函數(shù)．（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅲ）求證：（n∈N*）．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)學(xué)歸納法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題： 計(jì)算題；證明題．分析： （I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，?，再構(gòu)造函數(shù)，令，有，從而，問題可解決；（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，，再去證明n=k+1時(shí)，即可（需用好歸納假設(shè)）．解答： 解：（I），定義域?yàn)椋?，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴f′（x）＜0有正數(shù)解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立．②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a為開口向下的拋物線，ax2+2（a﹣1）x+a＜0總有x＞0的解；③當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax2+2（a﹣1）x+a開口向上的拋物線，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因?yàn)閤1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有兩正根．，解得．綜合①②③知：．

（9分）（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即．令，則有，∴．∵，∴．

（12分）（法二）當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1時(shí)命題成立．設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即．∴n=k+1時(shí)，．根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即．令，則有，則有，即n=k+1時(shí)命題也成立．因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．

（12分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法，難點(diǎn)之一在于（Ⅱ）中通過求h′（x）后，轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的問題，再用分類討論思想來解決；難點(diǎn)之二在于（Ⅲ）中法一通過構(gòu)造函數(shù)，用放縮法證得結(jié)論，法二通過數(shù)學(xué)歸納法，其中也有構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于難題．21.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（）海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/每小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10海里/每小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向能最快追上走私船？參考答案：【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用；正弦定理；余弦定理．【分析】設(shè)緝私船追上走私船需t小時(shí)，進(jìn)而可表示出CD和BD，進(jìn)而在△ABC中利用余弦定理求得BC，進(jìn)而在△BCD中，根據(jù)正弦定理可求得sin∠BCD的值，即可得到緝私船沿什么方向能最快追上走私船．【解答】解：如圖所示，設(shè)緝私船追上走私船需t小時(shí)，則有CD=t，BD=10t．在△ABC中，∵AB=，AC=2，∠BAC=45°+75°=120°．根據(jù)余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC==6可求得BC=．=，∴∠ABC=45°，∴BC與正北方向垂直，∵∠CBD=90°+30°=120°．在△BCD中，根據(jù)正弦定理可得sin∠BCD===，∴∠BCD=30°所以緝私船沿東偏北30°方向能最快追上走私船．22.（13分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為，①從袋中隨機(jī)取出兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于的概率；②先從袋中隨機(jī)取