物理系理論物理教研室第一章量子力學的實驗基礎溫度較高時，普朗克公式簡化為瑞利—金斯公式。1-2已知，試確定普朗克常數的數值和此金屬的脫出功。射后的波長。試用光量子假說推出其波長改變量與散射角的關系為4isin2其中m為電子質mc21-7根據相對論，能量守恒定律及動量守恒定律，討論光子與電子之間的碰撞：(1)證明處于靜止的自由電子是1-8能量為15ev的光子被氫原子中處于第一玻爾軌道的電子吸收而形成一光電子。問此光電子遠離質子時的速1-9兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果兩個光子的能量相等，問要實現這種轉化光子的波長最1-10試證明在橢圓軌道情況下，德布羅意波長在電子軌道上波長的數目等于整數。第二章波函數和薛定諤方程2-1設粒子的波函數為(x,y,z)，求在(x,xdx)范圍內發現粒子的幾率。(1)v(x,t)=u(x)eix-Et+v(x)eix-Et1xtuxeituxeitEE1232-6由下列定態波函數計算幾率流密度：(1)v=1eikr(2)v=1e-ikr從所得的結果說明v表示向外傳1r2r1播的球面波，v表示向內(向原點)傳播的球面波22-7如在勢能U(r)上加一常數，則其薛定諤方程的定態解將如何變化？試說明此變化后為何不能觀察到(選擇2?t2m122?t2m12第三章簡單體系定態薛定諤方程的解n幾率是多少？(2)n取何值在此處找到粒子的幾率最大？(3)當n)w時，這個幾率的極限是多少？這個結果說明了什么問題？全透射過勢壘。3-8對于諧振子的基態v(x)，計算粒子在經典振幅以外出現的幾率。03-9對于諧振子的第一激發態v(x)，(1)求振子出現幾率最大的位置；(2)求經典振幅A；(3)計算振子在經1現的幾率。3-11將一維諧振子置于額外的均勻力場中，勢能成為U(x)=1mO2x2+ax，求能級的變化。2(U(x共0)3-12粒子在勢能為U(x)10(2的勢場中運動(U1＜U2)，在U1，U2＞E下，求解粒子的能級和波函第四章態疊加原理及力學量的算符表示4-1下列算符哪些是線性的？為什么？(1)3x2d2(2)()2(3)jdx(4)xni=1 2dx0ddd2d24-4證明下列算符哪些是厄米算符：,i,4,idxdxdx2dx2x4-8對于一維運動，求+x的本征函數和本征值。進而求(+x)2的本征值。xxdx2d4-12試證明線性算符的有理函數也是線性算符。UCUU()+C時，粒子的波函數與時間無關的那部分改變否？能2(2)它的動量有沒有確定值？4-15在時間t=0時，一個線性諧振子處于用下列波函數所描寫的狀態：tt4-16證明下列對易關系：xxxyyyzzz4-17證明下列對易關系：xyxyyxzyzyzzyxzxzxxzyixyxyyxz[,]=-=iiyzyzzyx[,]=-=iizxzxxzy4-19參考矢量情況下的斯密特正交化步驟，試闡述由屬于同一本征值而并一定正交的本征函數構成正交函數的4-20有兩個歸一化的但不是正交的波函數0及0，j0*0dt=a(實數)，0<a<1，試將0及0進行疊加組121212成兩個正交歸一化的函數v及v。24-21證明一維諧振子不管處于哪一個定態，它的動量都沒有確定值。4-22電子在原子大小范圍(數量級為10-10m)內運動，試用測不準關系估計電子的最小能量。22xd入4-32證明下列幾個關于厄米算符的定理：(1)在任何定態下，厄米算符的平均值都是實數。(2)在任何態下。平均值均為實數的算符必為厄米算符。4-33證明幾個關于一維定態薛定諤方程的定理：(1)對于一維定態薛定諤方程，如果v和v是屬于同一個本2征值E的兩個獨立的解，則v(x)v,(x)-v(x)v,(x)=C(常數)。1221態v(x)都有一定的宇稱性。E4-34用測不準關系估計原子核中核子(質子和中子)的動能的數量級。曾經設想電子也是原子核的構成單元之一，試利用測不準關系判斷這個設想是否正確。4-35對于H?的任何一個本征束縛態v,E，證明公式?H=?En，其中入為包含在H?中的任何一個常數nn?入?入(i，m,等等)。 4-36對于一維諧振子，證明U=p2pr0zxyzxyz第五章表象理論xxx?xx?x(2)在P表象中的表示為：=ii?，=p，F?(,)=F(ii?,p)?pxxx?px5-2求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。5-3求一維無限深勢阱中粒子的坐標和動量在能量表象中的矩陣元。?t=ii(vVv*-v*Vv)?t=ii(vVv*-v*Vv)及Tr不因表象而異，或者說矩陣的本征值之和以及本征值之積不因表象而異。iii5-9設任何一個厄米矩陣能用一個么正變換對角化。由此證明，兩個厄米矩陣能用同一個么正變換對角化的充要易。5-11設H?=2+U()，證明求和規則x(E-E)X2=i2/2m2mnknknknknk2nnnn!nnn!0)10)|2L=|2L=iy2 (0-i0i0)-i0)0)-i0)化本征矢為n，則第六章角動量初步zzxy6-3設體系處在v=CY+CY的狀態中，試：(1)將此波函數歸一化；(2)求力學量L2的測量值及相應的10幾率；(3)求力學量L的可能值及相應的幾率；(4)L和L的可能值及相應的幾率。zxyzz征函數，并將它表示成Y的線性疊加。0i0)0)0)6-5求粒子處在態Y時，軌道角動量的x分量和y分量的平均值L和L，并證明lmxyxy26-6設體系處于的本征態Y，求證軌道角動量沿與z軸成θ角方向上的分量的平均值為micos9了。zlmzxyx6-9對于Y11，求Lx的取值及相應的{幾率。}xxxxxxxxr2r2?r?rzzmmzz1士r2r2?r?rzzmmzz1士6-13對于(2,)的共同本征態Y(9,Q)，計算L2和L2的平均值，以及編L,編L，驗證測不準關系。zlmxyxyz6-15將(2,z)的共同本征態Ylm，記為lm，證明x00lm2=xjY00Ylmd業2=1mm)的共同本征矢作為基矢，寫出表示軌道角動量算符2,,和的矩陣。指出從l=0到zz士y6-17(1)在2和是對角的，即以jm作為基矢的表象中，對j=1的體系寫出和矩陣。z2+_(2)對于(1)中的體系導出,,的矩陣。xyz6-18(1)已知j=1的體系在2和的表象中的矩陣(見上題)，試求通過變換S_1JS使對角化的么正2zxxxxyz11z2222z21122221216-20設=+代表兩個角動量與之和,求證： mmz士6-22.證明2和V2的球坐標表達式第七章中心力場rr2rr?r?rrr221102211一1z能值及其幾率，并由此求出它們的平均值。22(1)通過對v的考察，求量子數n,l和m的數值。(2)從v產生具有相同n,l值，但磁量子數等于m+1的另一個本征函數。(3)當Z=1時，求為v所規定的狀態中某電子的最可幾r值。0最大(a0為第一玻爾軌道半徑)07-7氫原子處于基態，(1)求距核二倍玻爾軌道半徑以外發現電子的幾率。(2)如果我們畫一個球面，使得在此這個球面的半徑是多少？7-8如坐標軸繞z軸旋轉一個α角，試問氫原子波函數的角度部分Y(9,Q)將如何變化？此種變化是否觀察到？7-9試求出在Y及Y態下，電子按角度的分布幾率取極大值和極小值的9角。zzlm7-12求出氫原子基態波函數在動量表象中的表示。bZe(Z+1)e。對于衰變前處于原子Z的K層(1S層)的電子，在原子核衰變后仍舊處于原子(Z+1)的K層的幾率等于多少？7-14粒子在半徑為a，高度為h的圓筒中運動，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外勢能為無限大，求粒子的能征函數。rrs4冗e007-16對于類氫原子(核電荷Ze)l=n一1(nr=0)的狀態，計算：(1)最可幾半徑rn(2)平均半徑r(3)漲落編r，并將它和r相比較。7-17討論二維氫原子，其中的電子為庫侖力束縛于原子核，并限制在一個平面中運動。(1)試求此體系的本征7-18三維各向同性諧振子勢U(r)如下：U(r)=mO2r2，式中m為粒子質量，O是常數。試求該體系的2能級和波函數，并討論能級的簡并情況。7-19一個電子被限制在一塊電介質(無限大)平面的上方(x>0)運動。介質的介電常數為e，不可穿透。按xe+1第八章自旋一Z議xxxxxyzxyxyxy8-7求的本征值和本征函數(取S表象)。yzxxyznnxxzz方向上自旋分量的平均值。Zi測S，可能得何值，各值的幾率為多少？平均值為何？xzei08-15證明eiz0eiii一上”，即S，求t>0時電子自旋S的幾率和S的平均值。z2z2函1212ii8-18設體系有兩個自旋為1/2的非全同粒子組成，粒子1處于S態，粒子2處于S態，(1)寫出粒z2x28-19將兩個自旋為1/2的粒子組成的體系置于均勻磁場中，設磁場沿Z軸方向，體系哈密頓量與自旋有關部分zz28-20兩個自旋1/2的定域非全同粒子的哈密頓量為H?AS?S，t=0時粒子1自旋“向上”(Si)，粒子1z2i2自旋“向下”(S)，求t>0時(1)粒子1自旋“向上”的幾率；(2)粒子1和2自旋均“向上”的幾率；S=1和0的幾率；(4)S和S的平均值。1R(r)Y(,)221103R(r)Y(,)221108-22若電子處于d態，試問它的總角動量可以取哪些值？這時軌道角動量矢量和自旋角動量矢量之間的夾角是8-23對于三電子體系，求總自旋量子數的取值。(x:a(1)a(2)a(3)|x1:3-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)+b(1)a(2)a(3))(x:6-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)-2b(1)a(2)a(3))66(x:2-1/2(a(1)a(2)b(3)-a(1)b(2)a(3))bz-1-2-3-第九章多粒子系的量子力學121222出體系的總能量算符及單粒子狀態的基態和第一激發態(作為一維問題)。(2)將H?用質心坐標X和相對坐標x表示，討論質心運動和相對運動的特征。(3)如一個粒子處于基態，一個粒子處于第一激發態，寫出體系的對稱和反對稱的軌道波函數，并用質心坐標和相對坐標表示。12212129-3設有一體系由兩個自旋量子數為3/2的全同粒子組成。問體系對稱的自旋波函數有幾個？反對稱的自旋波函Urmor的庫侖能和U(r)相9-5一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態。問體系可能的9-6考慮由3個玻色子組成的全同粒子體系。限定單粒子狀態只能是v,v和v，試寫出體系的所有可能狀態abY9-7考慮在無限深勢阱(0<x<a)中運動的兩電子體系，略去電子間的相互作用以及一切與自旋有關的作用。求體系的基態和第一激發態波函數。9-8考慮一個由相同粒子組成的兩粒子體系，設可能的單粒子態為0,0,0，試求體系的可能態數目。分三種情3況討論：(1)粒子為玻色子(玻色統計)，(2)粒子為費米子(費米子統計)，(3)粒子為經典粒子(玻爾茲曼統第十章微擾論與變分法10-1假定類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為r(r~10-12cm)均勻帶電小球，試計算類氫原子基態的能量00(子看成是受到微擾的關在盒子中的粒子，求其能量和波函數的一級近似。值；(2)求波函數的一級近似。2ab2210-5一維非線性諧振子的勢能為U(x)=1kx2+cx3+dx4，若把非諧振項看作微擾，試求基態和第一激發態能2IDc能10-7把正常塞曼效應中磁場引起的附加項看作微擾，試計算堿金屬原子能級Enl的一級修正。2L1210-8耦合諧振子的哈密頓算符為H?2(1m2x2)xx，其中為常數。試用微擾法求其第一激發2L122m2i12i110-9在類氫原子中，電子與原子核的庫侖作用能為U(r)ze，當原子核的電荷增加e時，庫侖能增加rH?'e，試用微擾法計算它引起的能量一級修正，并與嚴格解比較。r10-10設電子受到晶格的一維周期勢U(x)作用，H?'(x)U(x)Ucos2x，其中a為晶格常數，可將U0a(x)看作微擾，無微擾時，電子是自由的，波函數為(x)Lei(kxEkt/i)，Ei2k2/2m，LNa是間距kLL10-11設有自由粒子在長度L的一維區域中運動，波函數滿足周期性邊界條件()()，簡并的波函數LL22LL0求基態和第一激發態(是二重簡并態)的能量修正。10-13設在H0表象中，HE0)ab(a,b為實數)，用微擾論求能量修正(到二級近似)，并與嚴bE0)a10-15一維諧振子受到微擾H?'m2x2(1)的作用，試求能級的一、二級微擾修正，并與精確解比較。22(一級近似)，計算。擾H?'xyz2x2y2z2(1)的作用，(1)計算基態的能級移動(準確到2)，(2)用微擾后的基態(一級近似)，計算。10-17將由兩個自旋為1/2粒子組成的體系置于沿Z方向的均勻磁場中，與自旋有關的哈密頓量為zz2能級(二級近似)，并與精確解比較。02b*a)bbmdx0"1/4mdx0"1/40s數，求基態能量并與精確解比較。00取質子與中子的相對運動試探波函數為R(r)=Ne_入r/2a，試用變分法求氘核的基態能量和基態半徑。H?=_i2d2_DccosQ，Q為旋轉角(從x軸算起)，設電場很強，Dc>>i2/I求基態能量近似值。設試10-24轉動慣量為I，電偶極矩為D的空間轉子受到沿Z軸方向的均勻電場c作用，其哈密頓量為00000分法求基態能級近似值(準確到c2量級)，和微擾論結果比較。mUrUerarUaU值，0a00(1)用測不準關系估算，(2)用變分法估算，取試探波函數為v(入,r)=ce_入r/2a。第十一章量子躍遷11-1電荷為e的諧振子，在時間t=0時處于基態，t>0時，處于c=ce_t/T的電場中(T為常數)，求諧振子處于0第一激發態的幾率。r選擇定則。r11-3設在時刻t=0時，氫原子處于基態，以后受到單色光的照射而電離。設單色光的電場可以近似地表示為sint，與均為常數，電離后電子的波函數近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍0