北師大版九年級數學下冊第三章3.5確定圓的條件同步測試（原卷版）

一.選擇題

1.已知。。的半徑為4,點P到圓心0的距離為4.5,則點P與。。的位置關系

是（）

A.P在圓內B.P在圓上C.P在圓外D.無法確定

2.給定下列圖形可以確定一個圓的是（）

A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.已知三個點

3.如圖，圓0是AABC的外接圓，連接OA、OC,Z0AC=20°,則NABC的度數

為（）

A.140°B.110°C.70°D.40°

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（1,4）、（5,4）、

（1,-2）,則^ABC外接圓的圓心坐標是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（1,3）D.（3,1）

7

5.到三角形各頂點的距離相等的點是三角形（）

A.三邊的垂直平分線的交點B.三條高的交點

C.三條角平分線的交點D.三條中線的交點

6.下列語句中正確的是（）

A.直徑是弦，弦是直徑.

B.相等的圓心角所對的弦相等

C.經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

1

D.三點確定一個圓

7.直角三角形兩直角邊長分別為“和1,那么它的外接圓的直徑是（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知等邊三角形的外接圓半徑為2,則該等邊三角形的邊長是（）

A.2B.4C.V3D.2相

9.如圖，AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圓。0的直徑，且AC=5,DC=3,

AB=4&

,則。0的直徑AE=（）

A.5也B.5C.4后D.3加

10.下列說法正確的是（）

A.任意三點可以確定一個圓

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分該弦所對的弧

C.相等圓周角所對的弧也相等

D.等弧所對的圓周角相等

11.如圖，AABC中，NA、/B、/C所對的三邊分別記為a,b,c,0是AABC

的外心，OD±BC,OE±AC,OF±AB,貝UOD：OE：0F=（）

A.a：b：cB.一：一：-C.cosA：cosB：cosCD.sinA：sinB：

abc

sinC

12.如圖，AABC是。。的內接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,AD是直徑，AD

=8,則AC的長為（)

2

A.4B.473C.173D.2b

3

二.填空題

13.如圖，點A,B,C均在6X6的正方形網格格點上，過A,B,C三點的外接

圓除經過A,B,C三點外還能經過的格點數為一.

14.平面直角坐標系內的三個點A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)確

定一個圓(填“能”或“不能”).

15.如圖，△48。是。。的內接三角形，/C=45°,4?=6,則。。的半徑

為.

16.在坐標系中，以。為圓心，5為半徑的。。與點尸(-4,4)的位置關系是：

點尸在(填”內”、"上”或“外”).

17.我們把兩個三角形的外心之間的距離叫做外心距.如圖，在RtAABC和比△

ACD中，NACB=NACD=90°,點D在邊BC的延長線上，如果BC=DC=3,那么△

ABC和4ACD的夕卜心距是.

3

18.在中，Z6^90°,AC=5,BC=3,則其外接圓的直徑為.

三.解答題

19.小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意

兩點PNx”y,),P2(x2,y2),可通過構造直角三角形利用勾股定理得到結論：

PR=J(x2-Xi)2+(y2-yi)2；他還證明了線段PR的中點P(x,y)的坐標公

式

是：y=勺22

22

啟發應用

請利用上面的信息，解答下面的問題：

如圖，在平面直角坐標系中，已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),。乂經

過原點0及點A、B.

(1)求。M的半徑及圓心M的坐標；

(2)判斷點C與。M的位置關系，并說明理由.

4

20.已知：如圖，BD、CE是aABC的高，M為BC的中點.試說明點B.C.D.E

在以點M為圓心的同一個圓上.

21.“不在同一直線上的三點確定一個圓”.請你判斷平面直角坐標系內的三

個點A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以確定一個圓.

22.如圖，在aABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，AE_LAB交BC于點D,交

3

。0于點E,F在DA的延長線上，且AF=AD.若AF=3,tanZABD=-,求。0的直

4

徑.

5

23.如圖1,。。是AABC的外接圓，連接A0,若/BAC+N0AB=90°.

(1)求證：AB=BC

（2）如圖2,作CD_LAB交于D,A0的延長線交CD于E,若A0=3,AE=4,求

線段AC的長.

24.如圖，△力比'內接于。0,是。。的直徑，。是俞中點，弦出1/8于點區

連結A9,分別交區8c于點只Q,連結物.

（1）求證：尸是線段力0的中點；

（2）若。。的半徑為5,〃是它的中點，求弦力的長.

6

25.如圖，。。是△/劭的外接圓，46為直徑，點。是弧49的中點，連接0C,

a'分別交/〃于點EE.

(1)求證：NABD=24C.

(2)若48=10,BC=8,求劭的長.

26.如圖，在△/a'中，ZC=90°,AB=lQcm,BC=6cm,點."從。點開始以

lcWs的速度沿％向6點運動，點A，從4點開始以2cWs的速度沿〃1向。點運

動，點瓶N同時出發，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動.

(1)2秒時，△就邪的面積是；

(2)求經過幾秒，△助冰的面積是3/；

(3)試說明△放不外接圓的半徑能否是炎讖.

7

北師大版九年級數學下冊第三章3.5確定圓的條件同步測試（解析版）

一.選擇題

1.已知。。的半徑為4,點P到圓心0的距離為4.5,則點P與。。的位置關系

是（）

A.P在圓內B.P在圓上C.P在圓外D.無法確定

解：Vr=4,d=4.5,

d>r,

...點P在。0外.

故選：C.

2.給定下列圖形可以確定一個圓的是（）

A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.已知三個點

解：A、不能確定.因為半徑不確定，故不符合題意；

B,不能確定.因為圓心的位置不確定，故不符合題意；

C、能確定，給定一直徑，則圓心和半徑確定，所以可以確定一個圓，故符合題

意；

D、不能確定，不在同一直線上三點可以確定一個圓.故不符合題意；

8

故選：c.

3.如圖，圓0是AABC的外接圓，連接OA、OC,Z0AC=20°,則NABC的度數

為()

A.140°B.110°C.70°D.40°

解：在優弧AMC上任取一點P,連接AP,CP,

V0A=0C,

.".Z0AC=Z0CA=20o,

ZA0C=180°-2X20°=140°,

：.ZP=70°,

VZABC+ZP=180°,

.,.ZABC=110°,

故選：B.

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為(1,4)、(5,4)、

(1,-2),則aABC外接圓的圓心坐標是()

A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)

解：如圖：

9

根據垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點a即為圓心，且坐標

是（3,1）.

故選D.

5.到三角形各頂點的距離相等的點是三角形（）

A.三邊的垂直平分線的交點

B.三條高的交點

C.三條角平分線的交點

D.三條中線的交點

解：因為到三角形各頂點的距離相等的點，需要根據垂直平分線上的點到線段

兩端點的距離相等，只有分別作出三角形的兩邊的垂直平分線，交點才到三個

頂點的距離相等.

故選：A

6.下列語句中正確的是（）

A.直徑是弦，弦是直徑.

B.相等的圓心角所對的弦相等

C.經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

D.三點確定一個圓

解：A、直徑是圓中特殊的弦，它經過圓心，但弦不一定是直徑，故本選項不符

合題意；

B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，故本選項

不符合題意；

C、經過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故本選項符合題意；

D、不共線的三點確定一個圓，故本選項不符合題意.

故選：C.

7.直角三角形兩直角邊長分別為正和1,那么它的外接圓的直徑是（）

10

A.1B.2C.3D.4

解：由勾股定理得，直角三角形的斜邊長=｛（晶）2+/=2,

,它的外接圓的直徑是2,

故選：B.

8.已知等邊三角形的外接圓半徑為2,則該等邊三角形的邊長是（）

A.2B.4C.V3D.273

解：如圖所示：是等邊△/a'的外接圓，0B=2,

：.40BD=3G,

過點。作皿BC于點、D,則BD=LBC,OD=^OB=\,

22

在Rt△物中，

物=UOB2-OD2=?，

：.BC=2BD=243,

故選：D.

9.如圖，AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圓。0的直徑，且AC=5,DC=3,

AB=4夜

,則。0的直徑AE=（）

A.572B.5C.472D.3及

解：如圖:

11

A

連接BE,則NBEA=NACB,且三角形ABE是直角三角形.

在RtAACD中，AC=5,DC=3,

則AD=4AC1-DC2=752-32=4

sinZBEA=sinZACB=—=-

AC5

故。0的直徑AE=AB5夜

sinDBEA

故選A.

10.下列說法正確的是()

A.任意三點可以確定一個圓

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分該弦所對的弧

C.相等圓周角所對的弧也相等

D.等弧所對的圓周角相等

解：A、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項說法錯誤；

B、平分弦的直徑，垂直于弦并且平分弦所對的弧，此弦不能是直徑，故本選項

說法錯誤；

C、在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等，故本選項說法錯誤；

D、等弧所對的圓周角相等，故本選項說法正確.

故選:D.

11.如圖，^ABC中，NA、NB、NC所對的三邊分別記為a,b,c,0是4ABC

的外心，OD±BC,OE±AC,OF±AB,則OD：OE：0F=()

12

A.a：b：cB.—:—C.cosA：cosB：cosCD.sinA：

ahc

sinB：sinC

解：設三角形的外接圓的半徑是R.

連接OB,OC.

?；0是AABC的外心，且ODLBC.

/.ZB0D=ZC0D=ZA

在直角△OBD中，0D=0B?cosNB0D=R?cosA.

同理，OE=R?cosB,0F=R,cosC.

/.OD：OE：0F=cosA：cosB：cosC.

故選C.

12.如圖，Z^ABC是。。的內接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,AD是直徑，AD

=8,則AC的長為（）

C.D.2T

解：連接CD,

VAB=BC,ZBAC=30°,

AZACB=ZBAC=30°,

.*.ZB=180°-30°-30°=120°,

.,.ZD=180°-ZB=60°,

VAD是直徑,

13

ZACD=90°,

VZCAD=30°,AD=8,

.-.CD=1AD=4,

2

*'-AC=VAD2-CD2=V82-42=46

故選：B.

二.填空題

13.如圖，點A,B,C均在6X6的正方形網格格點上，過A,B,C三點的外接

圓除經過A,B,C三點外還能經過的格點數為5.

解：如圖，分別作AB、BC的中垂線，兩直線的交點為0,

與

,0

\/

D*乂G

EF**

以。為圓心、0A為半徑作圓，則。0即為過A,B,C三點的外接圓，

由圖可知，。。還經過點D、E、F、G、H這5個格點，

故答案為：5.

14.平面直角坐標系內的三個點A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)確

定一個圓(填“能”或“不能”).

解：VB(0,-3)、C(2,-3),

，BC〃x軸,

而點A(1,0)在x軸上，

14

...點A、B、C不共線,

三個點A(1,0)、B(0,-3)、C(2,-3)能確定一個圓.

故答案為：能.

15.如圖，是。。的內接三角形，NC=45°,AB=6,則。。的半徑為3

V2_.

VZACB=45°,

:./AOB=2/ACB=g。。,

'：OA=OB,

仍是等腰直角三角形，

：.OA=OB=J^AB=3r,

即。。的半徑是3我，

故答案為：3&.

16.在坐標系中，以。為圓心，5為半徑的。。與點尸(-4,4)的位置關系是:

點P在。。外(填“內”、"上”或“外”).

解::點尸(-4,4),

???。-日1=4加,

.??0尸大于圓的半徑5,

...點尸在。。外，

15

故答案為：外.

17.我們把兩個三角形的外心之間的距離叫做外心距.如圖，在RtaABC和

ACD中，NACB=NACD=90°,點D在邊BC的延長線上，如果BC=DC=3,那么△

ARtAABC和RtAACD分別是AB,AD的中點，

兩三角形的外心距為AABD的中位線，即為gBD=3.

故答案為：3.

18.在Rt△力回中，Z(7=90°,AC=5,BC=3,則其外接圓的直徑為

V34_.

解:在Rt△力比'中,

?.?//%=90°,AC=5,BC=3,

AB=VAC*2+BC2=VS2+32=颯'

???直角三角形的外心為斜邊中點，

，Rt△力優的外接圓的直徑為技.

故答案為：V34-

三.解答題

19.小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發現，對于平面直角坐標系內任意

兩點R(x”y,),P2(x2,y2),可通過構造直角三角形利用勾股定理得到結論：

22;

P1P2=^(x2-x1)+(y2-y1)他還證明了線段PR的中點P(x,y)的坐標公

式是：x=3y=U

22

啟發應用

請利用上面的信息，解答下面的問題：

16

如圖，在平面直角坐標系中，已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),。11經

過原點0及點A、B.

(1)求。M的半徑及圓心M的坐標；

(2)判斷點C與。M的位置關系，并說明理由.

解：⑴VZA0B=90°,

...AB是。M的直徑，

VA(8,0),B(0,6),

AB=V(O-8)2+(6-O)2=1°，

.?.(DM的半徑為5,

由線段中點坐標公式x=2B,y=*22,得x=4,y=3,

22

AM(4,3),

(2)點C在。M上，

理由：VC(1,7),M(4,3),

CM=V(l-4)2+(7-3)2=5'

.,.點C在。M上.

20.已知：如圖，BD、CE是AABC的高，M為BC的中點試說明點B.C.D.E

在以點M為圓心的同一個圓上.

證明：連接ME、MD,

17

?；BD、CE分別是AABC的高，M為BC的中點,

，ME=MD=MC=MB=工BC,

2

...點B、C、D、E在以點M為圓心的同一圓上.

21.“不在同一直線上的三點確定一個圓”.請你判斷平面直角坐標系內的三

個點A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以確定一個圓.

解：設經過A,B兩點的直線解析式為y=kx+b,

由A(2,3),B(-3,-7),

得(2k+b=3,

1-3k+b=_7

解得，k=2.

lb=-l

.?.經過A,B兩點的直線解析式為y=2x-1；

當x=5時y=2x-1=2X5-1=9^11,

所以點C(5,11)不在直線AB上，

即A,B,C三點不在同一直線上，

因為“兩點確定一條直線”，

所以A,B,C三點可以確定一個圓.

22.如圖，在AABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，AE_LAB交BC于點D,交

3

。0于點E,F在DA的延長線上，且AF=AD.若AF=3,tanZABD=-,求。0的直

解：如圖，連接BE.

18

VAF=AD,AB_LEF,

ABF=BD.是直徑

VAB=AC,

/.ZFBA=ZABC=ZC=ZE.

*.*tanZABD=—,

4

3

tanE=tanZFBA=—.

4

在Rt^ABF中，ZBAF=90°.

Af3

VtanZFBA=——=-，AF=3,

AB4

AAB=4.

VZBAE=90°,

ABE是。0的直徑.

3

VtanE=tanZFBA=—，AB=4,

4

...設AB=3x,AE=4x,

；.BE=5x,

V3x=4,

20

/.BE=5x=——，

3

即。0的直徑是2手0.

23.如圖1,。。是AABC的外接圓，連接A0,若/BAC+N0AB=90°.

19

(1)求證：AB=BC

(2)如圖2,作CD_LAB交于D,AO的延長線交CD于E,若A0=3,AE=4,求

線段AC的長.

(1)證明：連B0并延長B0交AC于T.

VA0=B0,

AZ0AB=Z0BA,

又?；NBAC+N0AB=90°,

.,.ZBAC+Z0BA=90°,

.,.ZBTA=90°,

/.BT±AC,

AB=BC.

(2)延長AO并交。。于F,連接CF.

VCD1AB于D,

.,.ZCDA=90°,

/.Z0AB+ZAED=90°,

VZ0AB+ZBAC=90°,

/.ZAED=ZBAC=ZFEC,

lAF為。0直徑,

.,.ZACF=90°,

同理：ZFCE=ZBAC,

...ZFEC=ZFCE,

/.FE=FC,

VA0=3,AE=4,

.,.OE=1,FE=FC=2,

20

在RtAFCA中

.,.AC=47=4我

B

24.如圖，△4阿內接于。0,4?是。。的直徑，。是俞中點，弦見48于點，,

連結分別交四、8c于點只Q,連結物.

(1)求證：尸是線段/0的中點；

(2)若。。的半徑為5,〃是它的中點，求弦位的長.

(1)證明：???血/8,48是直徑，

??AC=AE，

又??,前=而

：.ZCAD=ZACE,

：.AP=CP,

?.36是。。的直徑，

，ZACB=90°,

：.^ACE+ZBCP=^°,ZC4ZXZ(7e4=90°,

：.ABCP=ACQA,

：.CP=PQ,

：.AP=PQ,

21

即P是線段40的中點；

（2）VAC=CD=DB>是直徑，

：.ZACB=^O°,ZABC=30°,

又：46=5X2=10,

：,AC=5,BC=5?,

：.CH=^BC=^^,