4.《周髀算經》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

2020-2021學年江蘇省宿遷市高三（下）三模適應性測試數學

雨、立夏、小滿、芒種這十二節氣的日影長依次成等差數列的結論.已知某地立春與

立夏兩個節氣的日影長分別為尺和尺，現在從該地日影長小于尺的節氣中隨

（理）試卷10.54.59

機抽取2個節氣進行日影長情況統計，則所選取這2個節氣中至少有1個節氣的日影長

一、選擇題小于5尺的概率為（）

1.已知集合時={x|y=ln（2-幻},N=[x[y=Vx-1）＞全集/=R，則圖中陰影部

分表示的集合（）

23234s

5.(1+%)(1-2%)=a0+arx+a2x+a3x4-a4x4-a5x,則內的值為()

A.10B.20C.24D.32

6.4sin40o-tan40oM<^J()

A.乎B號

A.(l,+8)B.[l,2)C.[l,+8)D.[2,+OO)C.V2D.V3

2.已知復數Z]=2-3與=1+2i（i為虛數單位），Z3在復平面上對應的點分別為4

7.《九章算術》是我國古代數學經典名著，堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數學

B,C,若四邊形04BC為平行四邊形（0為復平面的坐標原點），則復數Z3的模為名著，在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為"鱉嚅〃.已知某鱉

（）膈4-BCD的外接球半徑為1,則該鱉膈4-BCD的體積最大值為（）

A.V10B.V5C.5D.10

A.gV?B.^A/3C.^V3

927416

3.函數/"（》）在[-匹詞上的圖象大致如下，則下列函數中哪個函數符合函數/'（X）圖象特

征（）8.已知拋物線y=/+加》一2與％軸交于48兩點，點C的坐標為（3,1）,圓Q過A,B,

C三點，當實數m變化時，存在一條定直線I被圓Q截得的弦長為定值，則此定直線I方

程為（）

A.x-3y=0B.3x—y+1=0C.y/3x—y—1=0D.x—V3y=0

9.在棱長為1的正方體ABCO-A/iGDi中，E,尸分別為8當，0D1的中點，則下列

結論中正確的是（）

A.平面A/D_L平面A14CG

B.直線8GL與平面ACCMi所成角為30°

C.直線&E與直線AC所成角為45°

D.四棱錐A-&EC尸的體積為3

二、多選題

直線'=1是函數/■(￡)=sin｛o)x+§3>0)圖像的一條對稱軸，給出3的一個可能

函數/'(X)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=W，則下列結論正確的是

的值為.

()

A.當％V0時，/(x)=

已知反比例函數y=2(k/0)的圖象是雙曲線，兩坐標軸是它的漸近線，那么y=：

B.關于x的不等式/'CO4-f(2x-1)<0的解集為(一8彳)對應的雙曲線的焦點坐標為.

C.關于％的方程/(%)=%有三個實數解

法國著名的軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的?個幾何定理：“以任意三角形的三條邊

DVxxGR，|/(力)-fOi)lv2

v2為邊向外構造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形

的頂點〃.在三角形力BC中，角A=60。，以AB,BC,4c為邊向外作三個等邊三角形,

已知。>0,b>0,下列說法成立的是()其外接圓圓心依次為。1，仇，。3,若三角形。。。3的面積為反則三角形4BC的周長

222

A.(a+b)<2(a+b)最小值為.

2

B.[ln(a+b)]>Ina-Inb四、解答題

C若b(a+b)=4,則a+5h>8

數列｛與｝的前n項和為S”，aj=1,對任意的neN*有a”>0,a”=2瘋-1.

D.存在a,b>。使得31g2Igl2>lgQ+等)

(1)求數列｛an｝的通項公式；

隨著高三畢業日期的逐漸臨近，有n(nN2)個同學組成的學習小組，每人寫了一個祝n+1

(2)設數列也｝,b.=-1,VnSN*,2(6n+1-bn)=an+1,求數列｛b“｝的通項公式.

福的卡片準備送給其他同學，小組長收齊所有卡片后讓每個人從中隨機抽?張作為祝

?？ㄆ瑒t()

A.當n=4時，每個人抽到的卡片都不是自己的概率為士在①c(cos4+sin4)=b,②csinB+bcosC=V2b,③sinB+tanCcosB=這

三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.

B.當n=5時，恰有一人抽到自己的卡片的概率為。△4BC的內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知,c=VI,cosB=

(1)求cos4的值；

C.甲和乙恰好互換了卡片的概率為工-工

n-1n

D.記幾個同學都拿到其他同學的卡片的抽法數為演，則每+2=(九+1)(凝+%+1)，(2)求△ABC的面積.

neN*

三、填空題

如圖，四棱錐C-480E中，4E〃8D,4E=28O=2,點尸是48的中點，點G在線段

DC上，且2DG=GC.

—??

△力BC中，AB=1,AC=V3,NB=120°,BD=2DC,則48?AD的值為.

第3頁共32頁第4頁共32頁

_____?i(ad-bc)2_____

參考公式及數據：2

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

2

P(K>fc0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

(1)求證：BG〃平面CEF；

已知橢圓C：9+?=1,點:P(Xo，y。)為橢圓C在第一象限的點，居，F2為橢圓C的左右

焦點，點P關于原點的對稱點為Q.

(2)若AE1平面ABC,AE=AB,AC=CB=V2,求二面角F-EC-D的正弦值.

(1)設點Q到直線PF1，PF2的距離分別為山，d,求生取值范圍；

2a2

今年兩會期間國家對學生學業與未來發展以及身體素質的重要性的闡述引起了全社會

的共鳴.某大學學生發展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了

如圖所示的直方圖(引體向上個數只記整數).學生發展中心為進一步了解情況，組

(2)已知橢圓在PG。,%)處的切線2的方程為：竽+等=1,射線QFi交/于點R.求證:

織了兩個研究小組.

△

F\RP=Z.RPF1.

函數/(x)=sinx-(1+cosx)?g(x)=a(ex—1).

(1)當。＜0時，函數尸(%)=/(幻+9(外在X6(0片)有極值點，求實數Q的取值范圍；

(1)第一小組決定從單次完成1-15個的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進

行全面的體能測試.

(2)對任意實數％W[0,+8),都有/(x)Wg(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

①單次完成11-15個引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這11人中抽取3人進行個別訪談，記抽到“單次完成引體向上1-5個〃的

人數為隨機變量X,求X的分布列和數學期望；

(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關性角度進行研究，得到了這400人的學

業成績與體育成績之間的2x2列聯表.

學業優秀學業不優秀總計

體育成績不優秀100200300

體育成績優秀5050100

總計150250400

請你根據聯表判斷是否有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關？

—?—?

貝Ijoc=AB,

參考答案與試題解析故(x,y)=(一1,3)=113,11

2020-2021學年江蘇省宿遷市高三(下)三模適應性測試數學Z3=-1+3i,

故IZ3I=V1+9=V10.

(理)試卷故選A.

一、選擇題3.

1.【答案】

【答案】B

D【考點】

【考點】函數的圖象

Venn圖表達集合的關系及運算【解析】

交、并、補集的混合運算由/'(%)為奇函數和/'(兀),0,即可判斷.

【解答】

函數的定義域及其求法

解：由題意可知，f(%)為奇函數，

【解析】因為選項4。是偶函數，

陰影部分用集合表示為GMnN,只要求出M,2進行集合的運算即可.故排除選項A,D；

【解答】又因為/(冗)工0,則排除選項C.

解：圖中陰影部分表示的集合。MnN,故選B.

由N={x\y=Vx—1]={x\x>1},4.

M={x\y=ln(2—x)={x\x<2},

【答案】

則C/M={X|XN2},

D

則GMnN={x\x>2].

【考點】

故選D.

古典概型及其概率計算公式

2.

等差數列的通項公式

【答案】

【解析】

A

分別計算出從該地日影長小于尺的節氣中隨機抽取個節氣和個節氣中至少有個節

【考點】9221

氣的日影長小于尺的基本事件數目，利用古典概型公式計算即可.

復數代數形式的乘除運算5

【解答】

復數的代數表示法及其幾何意義

解：因為立春與立夏兩個節氣的日影長分別為10.5尺和4.5尺，

復數的模所以由十二個節氣日影長形成的等差數列的公差為-1,

【解析】所以該地日影長小于9尺的節氣有驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，共7

由復數的幾何意義求解復數Z3的代數形式，然后求模即可.個節氣，

【解答】其中日影長小于5尺的節氣有立夏、小滿、芒種，共3個節氣，

解：由復數的幾何意義可知，B(l,2).故所求概率為P=喈魚=i|=1.

設CQy).

V四邊形04BC為平行四邊形，故選D.

5.

第7頁共32頁第8頁共32頁

【答案】【答案】

AB

【考點】【考點】

二項展開式的特定項與特定系數柱體、錐體、臺體的體積計算

二項式定理的應用球內接多面體

【解析】導數求函數的最值

由題意的是展開式的含爐項的系數，進而可以求解.

【解析】

【解答】

根據空間幾何體與均值不等式求解.

解:展開式的含爐項為1?它(一2x)3+1.C式一2x)2+22,戲(一2幻】

CXCX【解答】

=(-8+24-6)X3=10X3,

解：設A-8C0外接球，即將其補充完整形成的長方體外接球,

所以的=10-

故選4.

6.

【答案】

D

【考點】

運用誘導公式化簡求值

兩角和與差的正弦公式設長方體長寬高分別為a，b,c

222222

【解析】則1=gxy/a+b+cfa+b4-c=4,

此題暫無解析

所以M+b2=4—c2>2ab,

【解答】

解：4sin40°-tan40°所以ab<2—

11

匕一BCD=§xxc

_2sin800-sin400

cos400

sin800+（sin80°—sin40°）

cos400令/(c)=2(4c-c2),

_sin800+2cos60°sin200

-cos400-則尸(c)=》4-3c2),

_sin800+sin200

一cos400-由r(c)=o,解得c=竽，

_sin（50。+30。）+sin（50。-30。）

sin50°所以f(c)在(0,苧)上單調遞增，在(學,+8)上單調遞減,

_6sin50°_灰

~sin500-'?所以f(c)max=f(竽)=祟.

故選。.

故選B.

7.

8.

【答案】BD1平面4/CG.

A又???BDu平面4$。，

【考點】???平面4801平面44CG，故4正確；

直線和圓的方程的應用B,設AC,BD交于0,連接QO,BG，

直線與圓相交時的弦長問題

【解析】

利用圓系方程，結合圓的一般方程和題目條件設圓Q方程為/+y2+mx+ny-2=

0,再利用題目條件得/+y2+巾工-3my-10=0,即％2+y2一+加(無一3y)=

0,再利用圓系方程得圓Q是過圓X2+y2-10=0與直線工-3y=0交點的圓，而直

線"3y=0被圓/+y2_10=0截得的弦長為定值，從而得結論.

【解答】

解：因為曲線y=%?+加工-2與x軸交于A,B兩點，圓Q過4,B兩點,

所以可設圓Q方程為/+y2+mx+ny-2=0.

由4知：BD1平面ACCi&,

又圓Q過點C(3,l),

???直線8cl與平面ACG4所成角為/BCiO,且DB10c,

所以10+3m+n-2=0,即n=-3m-8,l

因此圓Q的方程為/+y2+7nx_3my-8y-2=0,08=泗=今

B|Jx2+y2_8y_2+m(x-3y)=0,

又2

因此圓Q是過圓/+y2_8y_2=0與直線x-3y=0交點的圓，BQ=yjBC+CCf=V2,

所以當實數m變化時，直線x-3y=0被圓Q截得的弦長，即直線％-3y=0被圓sinzOQB=鼠/

x2+y2-8y-2=0截得的弦長為定值，

KOC'B=30",故B正確：

因此定直線1方程為x-3y=0.

C,連接&E,GE,

故選A.

由題知〃

9.&G4C,

&E與4c所成的角為4隹與A1G所成的角，

【答案】41cl=必同+BG=y/2,

A,B,D

【考點】&E=GE=

棱柱的結構特征??.△AGE是等腰三角形，

兩直線的夾角

22

A1E+C1E=^A1C?=2f

平面與平面垂直的判定

??.△AGE不是等腰直角三角形，

棱柱、棱錐、棱臺的體積

???々GAiE。45°,

直線與平面所成的角直線&E與直線4c所成的角不為45。，故C錯誤；

【解析】D,連接41尸，AE,CF,CE.

此題暫無解析..E,尸是中點,

【解答】???多面體4DF&-BCE的體積正方體體積的一半，即匕=%

解：A,正方形ABC。中，ACLBD,

又???4遇_L平面A8C0,BDu平面4BC0,^A-AiECF=^ADFAi-BCE-^E-ABC

AA11BD.又%-ABC=|xlXlx|=^,

AA1AC=A,4Ai，ACu平面4遇Cq,

第11頁共32頁第12頁共32頁

【答案】

匕-AECF="故D正確.

A,C

故選48D.【考點】

二、多選題基本不等式

【答案】對數的運算性質

B,D

【解析】

【考點】利用基本不等式逐個選項驗證其正誤即可.

奇偶性與單調性的綜合

【解答】

函數的零點與方程根的關系

解：A,2(a2+b2)>(a24-b2)+2ab=(a4-b)2,

【解析】當且僅當Q=b時取等號，故4成立；

根據題意，依次分析選項是否正確，綜合即可得答案.B,由于ln(a+b)>Ina,ln(a4-b)>Inb,

【解答】所以當Ina>0,Ind>0時,

解：；f(x)在R上為奇函數，???/(%)+f(r)=O.才有[ln(a+b)]2>Ina?Inb成立，

4，當XV0時，/■(%)=—/(一%)=—三=七，

???當x<0時，/(X)=5P故A錯誤；[ln(a+b)]2=(in'=1,

B,原不等式可化為f(%)<一<2%-1)，即〃》)<〃1一2外.Ina?Inb=(ln()=(—In2e)2

???x>0時，fM=1一-二遞增，

=(In2e)2

在R上遞增，=(In2+I)2>1,

???x<1—2x,所以[吊(。+8)]2〈|的1帥，故8錯誤；

???%Vg故8正確；C,由題意可得Q+b=：,

b

C,當尤>0時，—=x,1+x=1無解：所以Q+5b=Q+b+4b=：+4bN2：?4b=8,

l+xby]b

當X=。時，—=X;當且僅當?=4b,即b=l時取等號，故C成立；

1+xb

D，由丁吟+等)加(2局

當x<0時，—=x,.*.1—%=1無解，

l-x

???/(%)=%只有％=0這一個解，故C錯誤；=IglO=1,

D,當工>0時，f(x)=1———,當且僅當2=竽，即b=5a時取等號，

7X+1ab

/(x)<1.

3lg2-Igl2=Ig8Igl2<

當x<0時，/-(%)=-1+—>-1,

1-X

-1</(X)<1,=再<小蘿=1，故D錯誤.

???Vxx,x2GR,|/(x2)一v2,故D正確.

故選BD.故選4c.

【答案】—?—?—?—?

/.AD-AB=2AC-2AD,

A,C,D

【考點】

AD=^(2AC+AB^

古典概型及其概率計算公式t

排列、組合的應用

/.AB-AD=AB-^2AC+AB)

【解析】

2TT1-~

將卡片按照題目中要求進行排列組合，再根據古典概型公式進行求解.=-AC+—-AB

【解答】

解：全錯位排列遞推公式：幾個元素全放錯為國種，=-xlxV3x—4--xlxl=-.

3233

S”=(n—l)(Sn-i+Su-?),其中S?=1，$3=2,

當n=4時，S4=3(S3+S2)=9(種)，故答案為：J

所以每個人抽到的卡片不是自己的概率=竟號，故正確：

P4【答案】

(滿足該等式任意一個均可)

當n=5時，恰有一人抽到自己的卡片的概率P=^=j故B錯誤；co=^+kn,kEN

【考點】

甲和乙恰好互換了卡片的概率為二7-工，故C正確；正弦函數的對稱性

【解析】

由全錯位排列公式％=(n—l)(a-i+。71-2)得/1+2=(n+l)(a+a),neN*,

nn+1n利用三角函數的對稱性，即可得出答案.

故。正確.

【解答】

故選4CD.

三、填空題解：由題意可知1,3+g=]+kjt,/cGZ,

【答案】

4則3=￡+kn,kEZ.

3