第第頁【解析】2023-2024學年初中數學八年級上冊25.3相似三角形同步分層訓練基礎卷(冀教版)2023-2024學年初中數學八年級上冊25.3相似三角形同步分層訓練基礎卷(冀教版)

一、選擇題

1．（2023九上·杭州期末）兩個相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）

A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3

【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是4：9，

∴兩個相似三角形的面積之比為.

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得答案.

2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分別是AB，AC邊上的點，且AD=2.若△ABC和△ADE相似，則AE=（）

A．5B．3C．D．3或

【答案】D

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，

∴當△ADE∽△ABC，可得，

即

解得AE＝；

當△AED∽△ABC，得，

即

解得AE=3，

綜上AE的長為：3或.

故答案為：D.

【分析】分類討論：當△ADE∽△ABC，當△AED∽△ABC，根據相似的性質得比例式，然后分別利用比例性質求解即可．

3．（2022九上·柯城月考）如圖，在直角梯形中，，，，，點為邊上一動點，若與是相似三角形，則滿足條件的點的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，

，

.，，，

設AP的長為x，則BP長為8-x.

若AB邊上存在P點，使與相似，那么分兩種情況：

①若，則，

即，解得；

②若，則，

即，解得或.

滿足條件的點的個數是3個，

故答案為：C.

【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，設AP的長為x，則BP長為8-x，此題分兩種情況：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分別根據相似三角形對應邊成比例建立方程可求出x的值，從而即可得出滿足條件的點P的個數.

4．（2022九上·拱墅期中）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為16，則的周長是（）

A．54B．36C．27D．21

【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF

∴相似比為：，

△ABC的周長為：，

∴△DEF的周長為：，

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比即可得出答案.

5．（2022九上·義烏期中）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長邊的比是（）

A．1：2B．1：4C．1：16D．無法確定

【答案】A

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：解：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，

∴它們的相似比為1：2.

故答案為：A.

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．

6．（2023九上·高邑期中）如圖所示，，則的度數為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】∵，，

∴，

又∵，，

∴，

故答案為：C．

【分析】根據相似三角形的性質可得，再結合，，可求出。

7．△ABC與△DEF的周長之比為4：9，則△ABC與△DEF的相似比為（）

A．2：3B．4：9C．16：81D．9：4

【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF的周長之比為4：9，

∴△ABC與△DEF的相似比為4：9，

故選：B．

【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比解答即可．

8．（2022九上·東陽月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，下列結論中錯誤的是（）

A．AC2＝ADABB．BC2＝BDBAC．CD2＝ADDBD．CD2＝CACB

【答案】D

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，

∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．

故答案為：D.

【分析】直接根據射影定理結論，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，對各選項進行判斷即可.

二、填空題

9．（2022九上·楊浦期中）如果兩個相似三角形的面積比為3：4，那么它們對應高之比為．

【答案】

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比為3：4，

∴它們對應高之比為：2.

故答案為：：2.

【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

10．（2023九上·沭陽期末）如圖，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的動點，若，且ΔADE與ΔABC相似，則AD的長度是.

【答案】4或

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：當△ADE∽△ABC時，可得，

即，

解得AD＝；

當△AED∽△ABC時，可得，

即，

解得AD＝4，

綜上所述，AD的長為4或.

故答案為：4或.

【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例進行計算即可.

11．（2022·路北模擬）如圖，在中，，點P從A出發，以的速度向B運動，同時點Q從C出發，以的速度向A運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動的時間為t．

（1）用含t的代數式表示：=；

（2）當以A，P，Q為頂點的三角形與相似時，運動時間t=

【答案】（1）16-3t

（2）秒或4秒

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：（1）由題意可知：，

（2）連接PQ，

∵∠PAQ=∠BAC，

∴當時，，即，解得

當時，，即，解得t=4．

∴運動時間為秒或4秒．

故答案為：16-3t；秒或4秒

【分析】（1）根據題意直接列出代數式即可；

（2）分類討論：①當時，，②當時，，再分別列出比例式求解即可。

12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為12cm，則△A′B′C′的周長為.

【答案】16cm

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比為，

∵△ABC的周長為12cm

∴△A′B′C′的周長為12÷=16cm.

故答案為：16cm.

【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比進行計算.

13．（2023九上·崇左期末）如圖，、交于點，且，，，當時，與相似.

【答案】54或37.5

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：當△AOC∽△BOD時，

∴

當△AOC∽△DOB時，

∴

綜上得：OA=54或37.5

故答案為：54或37.5.

【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根據相似三角形的對應邊成比例進行求解.

三、解答題

14．（2022九上·溫州期中）如圖，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的長．

【答案】解：∵△ABC∽△ADE，

∴AB：AD＝BC：DE，

∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，

∴15：（15+3）＝12：DE，

解得DE＝．

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【分析】根據相似三角形的性質可得AB∶AD＝BC∶DE，然后將已知條件代入計算即可.

15．（2023九上·禮泉期末）如圖所示，點D、E分別在AB、AC上，連接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積.

【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面積是1，

∴S四邊形

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【分析】利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，利用△ADE的面積，可求出△ABC的面積，再利用四邊形DBCE的面積等于△ABC的面積減去△ADE的面積，代入計算可求出結果.

四、作圖題

16．（2023九上·義烏期末）如圖，在的方格中，點A、B、C均在格點上.（要求：①只用無刻度的直尺按要求作圖，各畫出一條即可；②所作的點P，點Q均在格點上；③先用鉛筆畫，再用簽字筆描黑.）

（1）在圖1作平分；

（2）在圖2作垂直平分；

（3）在圖3中作，與線段的交點為D，使.

【答案】（1）解：如圖所示，

（2）解：如圖所示，

（3）解：如圖所示，作，且，則

【知識點】矩形的性質；正方形的性質；相似三角形的性質

【解析】【解答】解：（1）理由：如圖APBQ是矩形，

∴PQ、AB互相平分；

（2）理由：，

∴四邊形APBQ是菱形，

又，則，

則是直角三角形，

∴四邊形APBQ是正方形，

∴PQ垂直平分AB，

（3）理由如下，

∵，，

∴，

∴，

∴.

【分析】（1）根據矩形的對角線互相平分，作圖即可；

（2）根據正方形的對角線互相垂直平分，作圖即可；

（3）根據相似三角形對應邊成比例作圖即可.

五、綜合題

17．（2022九上·西安月考）如圖，矩形中，，，動點從點出發，沿邊以的速度向點勻速移動，動點從點出發，沿邊以的速度向點勻速移動，一個動點到達端點時，另一個動點也停止運動，點，同時出發，設運動時間為.

（1）當為何值時，的面積為？

（2）為何值時，以A，，為頂點的三角形與相似.

【答案】（1）解：由題意知，，，

的面積為，

，

解得或，

，

時，的面積為；

（2）解：，

當或時，以，，為頂點的三角形與相似，

或，

解得或，

或時，以A，，為頂點的三角形與相似.

【知識點】三角形的面積；相似三角形的性質

【解析】【分析】（1）由題意可得AP=2t，AQ=10-t，根據三角形的面積公式可得t的值，根據AP（2）當或時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，然后代入求解即可.

18．（2022九上·西山期中）如圖，一塊三角形材料ABC中，，，cm，用這塊材料剪出一個矩形CDEF，其中點D，E，F分別在BC，AB，AC上．

（1）若EF的長度為xcm，則cm；（用含x的代數式表示）

（2）要使剪出的矩形CDEP的面積最大，則矩形的長、寬分別是多少？

【答案】（1）

（2）解：

當時，S最大，這時矩形的寬為1.5米，長為米

【知識點】矩形的性質；相似三角形的性質

【解析】【解答】解：（1）在中

又，cm

∴cm

∵

∴

又∵

∴

【分析】（1）利用銳角三角函數先求出cm，再利用相似三角形的性質計算求解即可；

（2）利用矩形的面積公式計算求解即可。

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一、選擇題

1．（2023九上·杭州期末）兩個相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）

A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3

2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分別是AB，AC邊上的點，且AD=2.若△ABC和△ADE相似，則AE=（）

A．5B．3C．D．3或

3．（2022九上·柯城月考）如圖，在直角梯形中，，，，，點為邊上一動點，若與是相似三角形，則滿足條件的點的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2022九上·拱墅期中）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為16，則的周長是（）

A．54B．36C．27D．21

5．（2022九上·義烏期中）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的最長邊的比是（）

A．1：2B．1：4C．1：16D．無法確定

6．（2023九上·高邑期中）如圖所示，，則的度數為（）

A．B．C．D．

7．△ABC與△DEF的周長之比為4：9，則△ABC與△DEF的相似比為（）

A．2：3B．4：9C．16：81D．9：4

8．（2022九上·東陽月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，下列結論中錯誤的是（）

A．AC2＝ADABB．BC2＝BDBAC．CD2＝ADDBD．CD2＝CACB

二、填空題

9．（2022九上·楊浦期中）如果兩個相似三角形的面積比為3：4，那么它們對應高之比為．

10．（2023九上·沭陽期末）如圖，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的動點，若，且ΔADE與ΔABC相似，則AD的長度是.

11．（2022·路北模擬）如圖，在中，，點P從A出發，以的速度向B運動，同時點Q從C出發，以的速度向A運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動的時間為t．

（1）用含t的代數式表示：=；

（2）當以A，P，Q為頂點的三角形與相似時，運動時間t=

12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為12cm，則△A′B′C′的周長為.

13．（2023九上·崇左期末）如圖，、交于點，且，，，當時，與相似.

三、解答題

14．（2022九上·溫州期中）如圖，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的長．

15．（2023九上·禮泉期末）如圖所示，點D、E分別在AB、AC上，連接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積.

四、作圖題

16．（2023九上·義烏期末）如圖，在的方格中，點A、B、C均在格點上.（要求：①只用無刻度的直尺按要求作圖，各畫出一條即可；②所作的點P，點Q均在格點上；③先用鉛筆畫，再用簽字筆描黑.）

（1）在圖1作平分；

（2）在圖2作垂直平分；

（3）在圖3中作，與線段的交點為D，使.

五、綜合題

17．（2022九上·西安月考）如圖，矩形中，，，動點從點出發，沿邊以的速度向點勻速移動，動點從點出發，沿邊以的速度向點勻速移動，一個動點到達端點時，另一個動點也停止運動，點，同時出發，設運動時間為.

（1）當為何值時，的面積為？

（2）為何值時，以A，，為頂點的三角形與相似.

18．（2022九上·西山期中）如圖，一塊三角形材料ABC中，，，cm，用這塊材料剪出一個矩形CDEF，其中點D，E，F分別在BC，AB，AC上．

（1）若EF的長度為xcm，則cm；（用含x的代數式表示）

（2）要使剪出的矩形CDEP的面積最大，則矩形的長、寬分別是多少？

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是4：9，

∴兩個相似三角形的面積之比為.

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得答案.

2．【答案】D

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，

∴當△ADE∽△ABC，可得，

即

解得AE＝；

當△AED∽△ABC，得，

即

解得AE=3，

綜上AE的長為：3或.

故答案為：D.

【分析】分類討論：當△ADE∽△ABC，當△AED∽△ABC，根據相似的性質得比例式，然后分別利用比例性質求解即可．

3．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，

，

.，，，

設AP的長為x，則BP長為8-x.

若AB邊上存在P點，使與相似，那么分兩種情況：

①若，則，

即，解得；

②若，則，

即，解得或.

滿足條件的點的個數是3個，

故答案為：C.

【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，設AP的長為x，則BP長為8-x，此題分兩種情況：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分別根據相似三角形對應邊成比例建立方程可求出x的值，從而即可得出滿足條件的點P的個數.

4．【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF

∴相似比為：，

△ABC的周長為：，

∴△DEF的周長為：，

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比即可得出答案.

5．【答案】A

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：解：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，

∴它們的相似比為1：2.

故答案為：A.

【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．

6．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】∵，，

∴，

又∵，，

∴，

故答案為：C．

【分析】根據相似三角形的性質可得，再結合，，可求出。

7．【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF的周長之比為4：9，

∴△ABC與△DEF的相似比為4：9，

故選：B．

【分析】根據相似三角形周長的比等于相似比解答即可．

8．【答案】D

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，

∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．

故答案為：D.

【分析】直接根據射影定理結論，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，對各選項進行判斷即可.

9．【答案】

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比為3：4，

∴它們對應高之比為：2.

故答案為：：2.

【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

10．【答案】4或

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：當△ADE∽△ABC時，可得，

即，

解得AD＝；

當△AED∽△ABC時，可得，

即，

解得AD＝4，

綜上所述，AD的長為4或.

故答案為：4或.

【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例進行計算即可.

11．【答案】（1）16-3t

（2）秒或4秒

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：（1）由題意可知：，

（2）連接PQ，

∵∠PAQ=∠BAC，

∴當時，，即，解得

當時，，即，解得t=4．

∴運動時間為秒或4秒．

故答案為：16-3t；秒或4秒

【分析】（1）根據題意直接列出代數式即可；

（2）分類討論：①當時，，②當時，，再分別列出比例式求解即可。

12．【答案】16cm

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比為，

∵△ABC的周長為12cm

∴△A′B′C′的周長為12÷=16cm.

故答案為：16cm.

【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比進行計算.

13．【答案】54或37.5

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：當△AOC∽△BOD時，

∴

當△AOC∽△DOB時，

∴

綜上得：OA=54或37.5

故答案為：54或37.5.

【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根據相似三角形的對應邊成比例進行求解.

14．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，

∴AB：AD＝BC：DE，

∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，

∴