關(guān)于微積分對(duì)稱性的研究

0微織構(gòu)函數(shù)的簡(jiǎn)化運(yùn)算它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。在這項(xiàng)研究中，我們可以應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)象本身的適應(yīng)性問(wèn)題。就微積分部分,許多問(wèn)題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩,但根據(jù)函數(shù)奇偶性、積分區(qū)域、函數(shù)圖象的對(duì)稱性便可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。文研究了微積分的對(duì)稱性,文、研究了曲線、曲面積分的對(duì)稱性,本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了微積分的對(duì)稱性,取得了一些新的結(jié)果,便于教學(xué),利于學(xué)生理解和記憶。1元輪對(duì)稱函數(shù)定義1若f(x1,x2,k,xn)中任意兩個(gè)變?cè)獙?duì)換而函數(shù)不變,則稱f(x1,x2,k,xn)是對(duì)稱函數(shù)。定理1可以推廣到求高階偏導(dǎo)的情況。定理2若函數(shù)的偏導(dǎo)f(x,y)數(shù)存在,且f(x,y)=-f(y,x),則?/?yf/(x,y)=-?/?xf(y,x)。定義2如果函數(shù)f(x,y,z)在輪換:x換y,y換z,z換x(記為x→y,y→z,z→x)下不變,則稱f(x,y,z)為三元輪換對(duì)稱函數(shù)。定理3若u=f(x,y,z)是一個(gè)三元輪換對(duì)稱函數(shù),則它對(duì)任一變?cè)牡胣階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換x→y,y→z,z→x直接轉(zhuǎn)換為其他變?cè)膎階偏導(dǎo)數(shù)。2在累積理論中，對(duì)稱應(yīng)用2.1[-a,a]定理4設(shè)如果我們放寬條件,只要求積分區(qū)間對(duì)稱,則可將定理4推廣到:定理5設(shè)f(x),g(x)∈C[-a,a],則注意:不能因?yàn)榉e分區(qū)間有對(duì)稱性而盲目地利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,如處不連續(xù),并且[-1,1]在上無(wú)界,所以它在[-1,1]上不可積,這時(shí)就不能用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。定理6設(shè)f(x)∈C[a-c,a+c],則∫a-ca+cf(x)dx=定理7若∫0+∞f(x)dx存在,則∫-∞+∞f(x)dx=2.2采用對(duì)稱曲線積分方法2.2.1曲線lx,y軸對(duì)稱定理8設(shè)分段光滑的平面曲線l關(guān)于y=a對(duì)稱,而f(x,y)在l上連續(xù),那么其中l(wèi)1是l在y=a上半平面部分。(a,K∈R)證明設(shè)l=l1+l2,∫l=∫l1+∫l2,選x為參數(shù),有故結(jié)論成立。曲線l關(guān)于x=b對(duì)稱有類似結(jié)論。推論1設(shè)分段光滑的平面曲線l關(guān)于x(y)軸對(duì)稱,而f(x,y)在l上是連續(xù)函數(shù),那么1)若f(x,y)是y(x)的奇函數(shù),則∫lf(x,y)ds=0;2)若f(x,y)是y(x)的偶函數(shù),則∫lf(x,y)ds=2∫l1f(x,y)ds。其中l(wèi)1是l在上(右)半平面的部分。2.2.2x,y型定理9設(shè)分段光滑的平面曲線l關(guān)于y=a對(duì)稱,l在y=a上半平面與下半平面部分走向相反,而f(x,y)在l上連續(xù),那么1)若f(x,2a-y)=f(x,y),則∫lf(x,y)dx=0;2)若f(x,2a-y)=-f(x,y),則∫lf(x,y)dx=2∫l1f(x,y)dx;3)若f(x,2a-y)=kf(x,y),則∫lf(x+y)dx=(1-k)∫l1f(x,y)dx。其中l(wèi)1是l在y=a上半平面部分。(a、k∈R)曲線l關(guān)于x=b對(duì)稱有類似結(jié)論。推論2設(shè)分段光滑的平面曲線l關(guān)于x(y)軸對(duì)稱,l在上(右)半平面與下(左)半平面部分走向相反,而在l上f(x,y)是連續(xù)函數(shù),那么1)若f(x,y)是y(x)的偶函數(shù),則∫lf(x,y)dx=0,(∫lf(x,y)dy=0);2)若f(x,y)是y(x)的奇函數(shù),則∫lf(x,y)dx=2∫l1f(x,y)dx,(∫lf(x,y)dy=2∫l1f(x,y)dy)。其中l(wèi)1是l在上(右)半平面的部分。2.3采用對(duì)稱積分法2.3.1公函1:有條件說(shuō)明的閉曲面,有定理10設(shè)分片光滑曲面Σ關(guān)于平面Z=a對(duì)稱,而f(x,y,z)在Σ上是連續(xù)函數(shù),那么1)若f(x,y,2a-z)=-f(x,y,z),則∫∫f(x,y,z)ds=0;其中其中證明設(shè),選x,證明設(shè)Σ=∑1+∑2,∑2為∑1與關(guān)于z=a面對(duì)稱的曲面,Σ2:z=2a-z(x,y),∑2、∑1在xoy面故結(jié)論成立。類似地可以證明Σ關(guān)于平面y=b,x=c對(duì)稱的情況。y為參數(shù),有故結(jié)論成立。的投影為Dxy,z(x,y)與2a-z(x,y)是Dxy上的單值函數(shù),所以類似地可以證明Σ關(guān)于平面y=b,x=c對(duì)稱的情況。推論4.設(shè)分片光滑的閉曲面Σ關(guān)于平面xoy對(duì)稱,法方向取外側(cè),而f(x,y,z)在Σ上是連續(xù)函數(shù),那么推論3設(shè)分片光滑曲面Σ關(guān)于平面xoy對(duì)稱,而f(x,y,z)在Σ上是連續(xù)函數(shù),那么其中Σ1是∑在xoy平面上側(cè)的部分。(積分區(qū)域并不要求封閉,只要求對(duì)稱。)其中Σ1是∑在xoy平面上側(cè)的部分。曲面關(guān)于yoz,xoz平面對(duì)稱有類似的結(jié)論。2.3.2xz的平面對(duì)稱定理11設(shè)分片光滑的閉曲面Σ關(guān)于平面Z=a對(duì)稱,法方向取外側(cè),而f(x,y,z)在Σ上是連續(xù)函數(shù),那么曲面關(guān)于yoz,xoz平面對(duì)稱有類似的結(jié)論。2.4對(duì)稱結(jié)論:“x、y有進(jìn)行環(huán)?；旌铣杀尽钡奈⒎e計(jì)算若積分區(qū)域具有輪換對(duì)稱性,則對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行輪換后積分值不