關于微積分對稱性的研究

0微織構函數的簡化運算它在數學領域發揮著重要作用。在這項研究中，我們可以應用數學對象本身的適應性問題。就微積分部分,許多問題用“正規”的方法解決十分麻煩,但根據函數奇偶性、積分區域、函數圖象的對稱性便可以簡化運算。文研究了微積分的對稱性,文、研究了曲線、曲面積分的對稱性,本文在此基礎上進一步研究了微積分的對稱性,取得了一些新的結果,便于教學,利于學生理解和記憶。1元輪對稱函數定義1若f(x1,x2,k,xn)中任意兩個變元對換而函數不變,則稱f(x1,x2,k,xn)是對稱函數。定理1可以推廣到求高階偏導的情況。定理2若函數的偏導f(x,y)數存在,且f(x,y)=-f(y,x),則?/?yf/(x,y)=-?/?xf(y,x)。定義2如果函數f(x,y,z)在輪換:x換y,y換z,z換x(記為x→y,y→z,z→x)下不變,則稱f(x,y,z)為三元輪換對稱函數。定理3若u=f(x,y,z)是一個三元輪換對稱函數,則它對任一變元所的得n階偏導數的結果都可以經輪換x→y,y→z,z→x直接轉換為其他變元的n階偏導數。2在累積理論中，對稱應用2.1[-a,a]定理4設如果我們放寬條件,只要求積分區間對稱,則可將定理4推廣到:定理5設f(x),g(x)∈C[-a,a],則注意:不能因為積分區間有對稱性而盲目地利用對稱性簡化計算,如處不連續,并且[-1,1]在上無界,所以它在[-1,1]上不可積,這時就不能用對稱性簡化計算。定理6設f(x)∈C[a-c,a+c],則∫a-ca+cf(x)dx=定理7若∫0+∞f(x)dx存在,則∫-∞+∞f(x)dx=2.2采用對稱曲線積分方法2.2.1曲線lx,y軸對稱定理8設分段光滑的平面曲線l關于y=a對稱,而f(x,y)在l上連續,那么其中l1是l在y=a上半平面部分。(a,K∈R)證明設l=l1+l2,∫l=∫l1+∫l2,選x為參數,有故結論成立。曲線l關于x=b對稱有類似結論。推論1設分段光滑的平面曲線l關于x(y)軸對稱,而f(x,y)在l上是連續函數,那么1)若f(x,y)是y(x)的奇函數,則∫lf(x,y)ds=0;2)若f(x,y)是y(x)的偶函數,則∫lf(x,y)ds=2∫l1f(x,y)ds。其中l1是l在上(右)半平面的部分。2.2.2x,y型定理9設分段光滑的平面曲線l關于y=a對稱,l在y=a上半平面與下半平面部分走向相反,而f(x,y)在l上連續,那么1)若f(x,2a-y)=f(x,y),則∫lf(x,y)dx=0;2)若f(x,2a-y)=-f(x,y),則∫lf(x,y)dx=2∫l1f(x,y)dx;3)若f(x,2a-y)=kf(x,y),則∫lf(x+y)dx=(1-k)∫l1f(x,y)dx。其中l1是l在y=a上半平面部分。(a、k∈R)曲線l關于x=b對稱有類似結論。推論2設分段光滑的平面曲線l關于x(y)軸對稱,l在上(右)半平面與下(左)半平面部分走向相反,而在l上f(x,y)是連續函數,那么1)若f(x,y)是y(x)的偶函數,則∫lf(x,y)dx=0,(∫lf(x,y)dy=0);2)若f(x,y)是y(x)的奇函數,則∫lf(x,y)dx=2∫l1f(x,y)dx,(∫lf(x,y)dy=2∫l1f(x,y)dy)。其中l1是l在上(右)半平面的部分。2.3采用對稱積分法2.3.1公函1:有條件說明的閉曲面,有定理10設分片光滑曲面Σ關于平面Z=a對稱,而f(x,y,z)在Σ上是連續函數,那么1)若f(x,y,2a-z)=-f(x,y,z),則∫∫f(x,y,z)ds=0;其中其中證明設,選x,證明設Σ=∑1+∑2,∑2為∑1與關于z=a面對稱的曲面,Σ2:z=2a-z(x,y),∑2、∑1在xoy面故結論成立。類似地可以證明Σ關于平面y=b,x=c對稱的情況。y為參數,有故結論成立。的投影為Dxy,z(x,y)與2a-z(x,y)是Dxy上的單值函數,所以類似地可以證明Σ關于平面y=b,x=c對稱的情況。推論4.設分片光滑的閉曲面Σ關于平面xoy對稱,法方向取外側,而f(x,y,z)在Σ上是連續函數,那么推論3設分片光滑曲面Σ關于平面xoy對稱,而f(x,y,z)在Σ上是連續函數,那么其中Σ1是∑在xoy平面上側的部分。(積分區域并不要求封閉,只要求對稱。)其中Σ1是∑在xoy平面上側的部分。曲面關于yoz,xoz平面對稱有類似的結論。2.3.2xz的平面對稱定理11設分片光滑的閉曲面Σ關于平面Z=a對稱,法方向取外側,而f(x,y,z)在Σ上是連續函數,那么曲面關于yoz,xoz平面對稱有類似的結論。2.4對稱結論:“x、y有進行環保混合成本”的微積計算若積分區域具有輪換對稱性,則對被積函數進行輪換后積分值不