第2章方程求根

2.1問題提出對方程，若存在，使得，則稱為根，或稱為零點。①當為多項式形式時，即則

稱為代數方程。②若可寫成形式,為m重根，或稱m重零點。則第1頁③代數方程公式解（當次數時有）令，原方程又可寫為：對三次方程（卡當公式）：這類方程有公式解：

其中,（有可能出現復數根）對四次方程，可找相關文件。第2頁對高次方程，使用數值方法求解，即在滿足一定精度前提下，求根近似值。詳細步驟：①找到根隔離區間當在內連續，且則內有解；

當在內嚴格單調，則內有唯一解。②求根準確化找出一個根近似值后，經過迭代方法計算，直至近似值到達一定精度。第3頁例1：求有根區間。有根區間：[0,2]內有解;

縮小區間可知:[1,2]內有解;

再繼續縮小區間知:[1.5,2]內有解。例2：求有根區間.即,e=2.71828…,可由作圖知,[0,1]內有解。

第4頁2.2二分法思緒：找到一區間，滿足在上連續單調，且。（有唯一解）經過迭代法，將有根區間縮小，使在足夠小區間內有唯一解。（滿足誤差精度）記：，取中點，分成兩區間：若，則找到方程根；

不然有：，或

第5頁若，記，若，記，

…………經過k次迭代，得到一區間，有取中點作為近似解，∴可經過誤差公式反算出迭代次數k。

誤差為：第6頁例：求在[0，1]內根，要求到達3為有效數字。已知：，；

，所以當時，有唯一根，

此時：

可滿足精度。經過上機計算可知，第7頁二分法特點：1：計算簡單，方法可靠，但收斂速度普通，且無法求重根和復根；2：可經過該方法找到足夠小有根區間，為別求根方法提供好初值。作業：證實方程

在[0,1]中有且只有1個根。根，需求多少次迭代？使用二分法求誤差小于（無須求出根）第8頁2.3迭代法慣用數值求根方法，包含方程組求解，主要考慮是否收斂，收斂快慢問題。思緒：給一初值，經過迭代產生，……幾何意義如右圖：

第9頁考慮問題：1.φ(x)形式多樣性，不一樣φ(x)，迭代結果不一樣，可能收斂，可能發散。若有極限值，則收斂，極限值可作為方程根。2.收斂快慢。例：,

∈[2,4]，=4。φ(x)形式有：①②

③

第10頁（收斂）

（發散）

（發散）第11頁由幾何作圖可知：迭代是否收斂與迭代函數相關，詳細有以下定理：定理2.1

迭代函數φ(x)含有一階連續導數，且滿足（1）當∈[a,b]時,φ(x)∈[a,b],（2）存在正常數L＜1，使得當x∈[a,b]時有|φ’(x)|≤L，則迭代方程收斂，且有以下性質：（1）方程在[a,b]內有唯一根。第12頁證實：記

∵φ(x)∈[a,b],∴,∴在［a,b]內最少有一個根（端點處也能夠）又∵，∴單調。（2）對任意∈[a,b]經過φ(x)迭代，結果收斂，有第13頁證實：∵,∴由拉格朗日中值定理知：，

∈[a,b]∴,

∈[]∈[a,b]∵＜L，∴∴，即（3）第14頁證實：(反推法)不等式即為：，

由性質（2）知：，∴若即可。這顯然是成立，因為

該結果可用于判斷迭代次數是否到達誤差范圍.∴由前后兩次迭代結果判斷稱為誤差事后公式。（4）第15頁證實：由性質（3）得又∵∴因為還未計算，即能預計出迭代次數，該式稱為誤差事先公式。第16頁（5）

∵，∴又∵，∴⑥若時，，則對任意初值，迭代公式發散.

,逐步遠離.第17頁

例：判斷迭代函數收斂性.（同時滿足定理2個條件）①

當時,,

迭代收斂.(該題可作習題，準確4位有效數字,)第18頁②

當時，,迭代發散.例：利用迭代法求根,區間為[0,1]

當時，，條件1滿足.但，不能滿足條件2.第19頁方法:縮小區間使得同時滿足兩個條件,可使用二分法或等距法.等距法更加快,從開始以為步長，確定區間使.,所以內有根..但此時閉區間在端點處不滿足.這是由引發.繼續縮小區間為.此時:.可經過迭代方法求出.第20頁注意:若有根區間較大,不能滿足兩個條件.可經過縮小有根區間方法，或采取下面局部收斂判別定理.2.3.2迭代法局部收斂性.(因為原來定理兩個條件較難同時滿足)定義:對方程，若在某個鄰域內,對任意初值，迭代公式都收斂.則稱該迭代公式在附近局部收斂.第21頁定理:設有根，且在鄰域內存在一階連續導數，則當時,迭代公式局部收斂.當時,迭代公式局部發散.證實:(先證實第2個條件：尋找某區間,有)第22頁為一階導數連續，即.對任意給定正數，總存在當時,有可令,則有

(絕對值性質)第23頁再證第一個條件。當時，有，值域也滿足條件.兩個條件都成立，迭代收斂，即滿足條件.反之,可證實當時，迭代公式發散.第24頁注意:未知,可使用初值來判斷.即使用|φ'(x0)|>1來判斷（但需選擇靠近x0上適當初值）例:用迭代法求方程f(x)=x(x+1)2-1=0在x=0.4附近根。x=φ(x)=

φ'(x)=-

|φ'(0.4)|=0.72<1迭代收斂第25頁2.3.3迭代法收斂速度（不但考慮是否收斂，還考慮收斂快慢）定義：設{xk}收斂于x*，記ek=xk-x*（k=0,1,2,……），假如存在非零常數

C

和正常數

p，滿足=C，則{xk}是

p

階收斂。可使用p值大小反應收斂快慢：當p=1，且0<|C|<1時，為線性收斂；當p>1時，為超線性收斂；當p=2時，為平方收斂。第26頁考慮線性收斂時，需注意：=φ’(x*)=C，這是因為：若C=0，則xk+1-x*=0，但xk+1另外需滿足收斂條件|φ’(x*)|<1，所以︱C︱<1。x*不相等；例：已知，其中e0=,，若取誤差精度為10-10，分別計算迭代次數。需確保第27頁解：ek=

ek-1=,，取k=32。可得,(2)

可得算出k>3.72，取k=4。一階收斂和二階收斂迭代次數相差較大。(1)第28頁普通地，收斂階可經過下面定理判斷：

定理：若φ(x)在x*附近某個領域內有p階連續導數，且φ(x*)=x*，φ’(x*)=0，……φ(p-1)(x*)=0，φp(x*)0,則對一個任意靠近x*初始值，迭代公式xk+1=φ(xk)是p階收斂，且有常數C證實：當p>1時，首先考慮局部收斂條件:φ'(x*)=0<1

此時滿足局部收斂條件.第29頁利用泰勒公式在x*處展開，取n